Esercizio sul moto rotatorio
Ciao ragazzi, vi chiedo un aiuto su questo esercizio
Un carrello di massa $ Mc = 0.3 Kg $ su una rotaia orizzontale a cuscino d’aria è attaccato ad un filo. Il filo passa su una puleggia di massa $ Mp = 0.08 Kg $ e raggio $ r = 0.015 m $ (e momento di inerzia $ I=1/2 mr^2 $) ed è tirato verticalmente verso il basso con forza costante $ F=1,1 N $. Calcolare:
1. La tensione sul filo tra la puleggia e il carrello
2. L’accelerazione del carrello
3. il lavoro totale $W$ compiuto per spostare il carrello di $50 cm$ sulla rotaia
4. Qual è la forza massima applicabile affinché l’accelerazione angolare della puleggia non sia maggiore di $200 (rad)/s^2$?
Credo che il mio sia un problema di impostazione del problema...
Questi sono alcuni ragionamenti. Schematizzando:
Le forze che agiscono sul carrello sono:
La forza Normale e la forza peso che si annullano.
La tensione del filo tra il carrello e la puleggia
Le forze sulla puleggia sono:
La tensione $T$ del filo tra il carrello e la puleggia
La forza $F$ applicata verticalmente sul filo. (primo dubbio) Questa è uguale alla tensione del filo tra la puleggia e la sua estremità?
Essendo la forza e la tensione perpendicolari all'asse di rotazione, il momento è
$ tau = r*(F - T) = I*alpha$
da questo ricavo
$alpha=(r*(F-T))/I$
La tensione del filo tra il carrello e la puleggia è
$ T = Mc*a$ e, in relazione con la puleggia, $a$ dovrebbe essere uguale all'accelerazione tangenziale $ a = alpha*r$
sostituendo la $T$ sopra, ottengo
$alpha=(-r*F-Mc*alpha*r)/I = (-r*F)/(I-Mc*r^2) = 282.05 (rad)/s^2$
quindi
$a=alpha*r = 4.23 m/s^2$
a questo punto la tensione è
$T = m*a = 0.08*4.23=0.33N$
È corretto come ragionamento?
Per il terzo punto, il lavoro totale è la somma del lavoro svolto dalla forza sul carrello
$Wc = Mc * d = 0.03 * 0.5 = 0.015 J$
più il lavoro svolto per far ruotare la puleggia. Per calcolarlo, avevo pensato di ricavarmi lo spostamento angolare $theta$ dalla relazione $theta = s/r$ dove $s=50cm$
$theta = 0.5/0.015 = 33.3 rad$
$Wp = tau*Delta theta = I*alpha*theta=0.084J$
Da qui
$W = Wc + Wp = 0.1 J$
Prima di addentrarmi nel punto 4, volevo un parere da voi esperti.
Chiedo scusa, davvero, per le eventuali castronerie che ho scritto
....
Grazie a tutti per la disponibilità, il tempo e la passione che dedicate a questo spazio.
Un carrello di massa $ Mc = 0.3 Kg $ su una rotaia orizzontale a cuscino d’aria è attaccato ad un filo. Il filo passa su una puleggia di massa $ Mp = 0.08 Kg $ e raggio $ r = 0.015 m $ (e momento di inerzia $ I=1/2 mr^2 $) ed è tirato verticalmente verso il basso con forza costante $ F=1,1 N $. Calcolare:
1. La tensione sul filo tra la puleggia e il carrello
2. L’accelerazione del carrello
3. il lavoro totale $W$ compiuto per spostare il carrello di $50 cm$ sulla rotaia
4. Qual è la forza massima applicabile affinché l’accelerazione angolare della puleggia non sia maggiore di $200 (rad)/s^2$?
Credo che il mio sia un problema di impostazione del problema...
Questi sono alcuni ragionamenti. Schematizzando:
Le forze che agiscono sul carrello sono:
La forza Normale e la forza peso che si annullano.
La tensione del filo tra il carrello e la puleggia
Le forze sulla puleggia sono:
La tensione $T$ del filo tra il carrello e la puleggia
La forza $F$ applicata verticalmente sul filo. (primo dubbio) Questa è uguale alla tensione del filo tra la puleggia e la sua estremità?
Essendo la forza e la tensione perpendicolari all'asse di rotazione, il momento è
$ tau = r*(F - T) = I*alpha$
da questo ricavo
$alpha=(r*(F-T))/I$
La tensione del filo tra il carrello e la puleggia è
$ T = Mc*a$ e, in relazione con la puleggia, $a$ dovrebbe essere uguale all'accelerazione tangenziale $ a = alpha*r$
sostituendo la $T$ sopra, ottengo
$alpha=(-r*F-Mc*alpha*r)/I = (-r*F)/(I-Mc*r^2) = 282.05 (rad)/s^2$
quindi
$a=alpha*r = 4.23 m/s^2$
a questo punto la tensione è
$T = m*a = 0.08*4.23=0.33N$
È corretto come ragionamento?
Per il terzo punto, il lavoro totale è la somma del lavoro svolto dalla forza sul carrello
$Wc = Mc * d = 0.03 * 0.5 = 0.015 J$
più il lavoro svolto per far ruotare la puleggia. Per calcolarlo, avevo pensato di ricavarmi lo spostamento angolare $theta$ dalla relazione $theta = s/r$ dove $s=50cm$
$theta = 0.5/0.015 = 33.3 rad$
$Wp = tau*Delta theta = I*alpha*theta=0.084J$
Da qui
$W = Wc + Wp = 0.1 J$
Prima di addentrarmi nel punto 4, volevo un parere da voi esperti.
Chiedo scusa, davvero, per le eventuali castronerie che ho scritto
....Grazie a tutti per la disponibilità, il tempo e la passione che dedicate a questo spazio.
Risposte
"alexinfurs":
(primo dubbio) Questa è uguale alla tensione del filo tra la puleggia e la sua estremità?
Sì sono uguali. Se il filo è ideale (massa nulla, inestensibile) e non è sottoposto ad altre forze se non quelle alle estremità, allora la tensioni alle estremità sono sempre uguali in modulo.
"alexinfurs":
È corretto come ragionamento?
Sì è corretto (no ho controllato i calcoli però eh....)
"alexinfurs":
Per il terzo punto, ...
mi sembra ci sia un errore nella formula per il lavoro del carrello: hai scambiato la tensione con la massa (anche se poi numericamente hai messo correttamente la forza...). Però mi pare che per la forza hai messo un valore diverso da quello calcolato sopra (hai messo 0,03N al posto di 0,33N).
Non ho controllato il resto dei calcoli ma potevi più semplicemente usare il teorema delle forze vive: il lavoro fatto sul carrello è pari alla variazione della sua energia cinetica. Poiché conosci l'accelerazione con cui si muove i carrello, puoi ricavarti facilmente la velocità raggiunta dopo uno spostamento di 50cm. Prova a fare il conto con questo metodo e confronta i due risultati così avrai una conferma o una smentita
"mathbells":
Sì è corretto (no ho controllato i calcoli però eh....)
Grazie, al di là dei calcoli, l'importante era capire se il ragionamento filava o avevo tralasciato qualcosa.
"mathbells":
mi sembra ci sia un errore nella formula per il lavoro del carrello: hai scambiato la tensione con la massa (anche se poi numericamente hai messo correttamente la forza...). Però mi pare che per la forza hai messo un valore diverso da quello calcolato sopra (hai messo 0,03N al posto di 0,33N).
Ok, ho fatto un gran casino a trascrivere la formula. Evidentemente lì dev'esserci la forza e non la massa...
ed ho anche sbagliato il valore
: Per calcolare $T$ ho inserito, per errore, il valore della massa della puleggia.Quindi
$T = Mc⋅a =0.3⋅4.23=1.269N$
$Wc=T⋅d=1.269⋅0.5=0.63J$
"mathbells":
Non ho controllato il resto dei calcoli ma potevi più semplicemente usare il teorema delle forze vive: il lavoro fatto sul carrello è pari alla variazione della sua energia cinetica. Poiché conosci l'accelerazione con cui si muove i carrello, puoi ricavarti facilmente la velocità raggiunta dopo uno spostamento di 50cm. Prova a fare il conto con questo metodo e confronta i due risultati così avrai una conferma o una smentita
Provando a trovare il lavoro del carrello così, ottengo
$v = sqrt(V_0+2*a*(x-x_0)) = sqrt(2*a*(0.5)) = 2.05 m/s$
L'energia cinetica (e quindi il lavoro) è
$K = 1/2*m*v^2 = 1/2*0.5*4.21 = 0.63J$
Adesso mi trovo!
Grazie!
Ora, per l'ultimo punto, dovrebbe bastare usare questa:
$alpha = (-r*F)/(I-(Mc*r^2))=200(rad)/sec$
$F = -(200 * (I-Mc*r^2)/r) = 0.78N$
che, "a naso", sembra anche un valore attendibile...
Giusto?
Grazie di tutto
"alexinfurs":
Ora, per l'ultimo punto, dovrebbe bastare usare questa:...
Mi sa che c'è qualche errore. La formula di partenza, che hai scritto correttamente sopra è:
\(\displaystyle \alpha = \frac{r(F-T)}{I} \) dove $T$ a sua volta dipende da $\alpha$,
\(\displaystyle T=M_C\alpha r \)
Mettendo tutto insieme si trova
\(\displaystyle F_{max}=\frac{I+M_Cr^2}{r}\alpha_{max} \)
L'errore parte dalla formula per $\alpha$ che hai ricavato al punto 2) (hai messo erroneamente un segno $-$ al termine $M_Cr^2$; ricontrolla i calcoli e vedrai che ti torna tutto
)
Hai ragione, ho fatto un casino con i segni (avevo inizialmente pensato di dare un'accelerazione negativa alla puleggia immaginandola "sulla destra", per poi dimenticarmene)
Rifacendo i calcoli sembra che tutto torni.
Grazie infinite.
Rifacendo i calcoli sembra che tutto torni.
Grazie infinite.
Ciao a tutti.
Riesumo questo thread perché ho un metodo alternativo alla risoluzione di questo problema che vorrei porre alla vostra attenzione.
Sapendo che $alpha= a/r$ lo sostituisco nell'equazione dei momenti così
$r(F - M_c*a)= (1/2)*M_p*r^2*(a/r)$ dove semplificando $r$ ho che
$F - M_c*a= (1/2)*M_p*a rArr a= F/(M_c* + (1/2)*M_p*a)= 3.235 m/s^2$
La tensione vale allora $T= M_c*a= 0.970 N$
Ed il lavoro totale è pari a (sapendo che $alpha= a/r= 215,7 text{rad}/s^2$)
$W= W_c + W_p= (T*d) + ((1/2)*M_p*r^2*alpha*Delta theta)= 0,485 J+ 0,065 J= 0,55 J$
Per l'ultimo punto non ho eseguito i calcoli ma mi trovo completamente d'accordo con la formula proposta.
Questo metodo di risoluzione è valido a suo modo? Se no, dove sbaglio?
Thank you in advance
Riesumo questo thread perché ho un metodo alternativo alla risoluzione di questo problema che vorrei porre alla vostra attenzione.
Sapendo che $alpha= a/r$ lo sostituisco nell'equazione dei momenti così
$r(F - M_c*a)= (1/2)*M_p*r^2*(a/r)$ dove semplificando $r$ ho che
$F - M_c*a= (1/2)*M_p*a rArr a= F/(M_c* + (1/2)*M_p*a)= 3.235 m/s^2$
La tensione vale allora $T= M_c*a= 0.970 N$
Ed il lavoro totale è pari a (sapendo che $alpha= a/r= 215,7 text{rad}/s^2$)
$W= W_c + W_p= (T*d) + ((1/2)*M_p*r^2*alpha*Delta theta)= 0,485 J+ 0,065 J= 0,55 J$
Per l'ultimo punto non ho eseguito i calcoli ma mi trovo completamente d'accordo con la formula proposta.
Questo metodo di risoluzione è valido a suo modo? Se no, dove sbaglio?
Thank you in advance
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