Esercizio sul momento d'inerzia
Ciao a tutti, sono alle prese con i primi esercizi di meccanica razionale e comincio ad avere i primi dubbi. Posto l'esercizio:
Un sistema materiale omogeneo è costituito di tre aste saldate ad angolo retto ( formano una C capovolta verso il basso).
1)Si determini l'ubicazione del baricentro;
2)Si scriva la matrice principale centrale d'inerzia.
Le coordinate del baricentro mi risultano $G=(L;2/3L)$.
Per il secondo punto considero la matrice $((I_x,0,0),(0,I_y,0),(0,0,C))$ dove,
$I_x$ e $I_y$ sono la somma dei singoli momenti di inerzia delle tre aste rispetto i due assi, mentre $C=I_x + I_y$.
a) E' giusto considerare (per le singole aste) la formula $I_(x1)= 1/3 m*l^2 sin^2(theta) + m*d^2$?
b) Oppure il termine $m*d^2$ lo devo aggiungere solo alle aste parallele all'asse d riferimento?
Spero sia stato chiaro..
Grazie per l'aiuto,
Carmelo
Un sistema materiale omogeneo è costituito di tre aste saldate ad angolo retto ( formano una C capovolta verso il basso).
1)Si determini l'ubicazione del baricentro;
2)Si scriva la matrice principale centrale d'inerzia.
Le coordinate del baricentro mi risultano $G=(L;2/3L)$.
Per il secondo punto considero la matrice $((I_x,0,0),(0,I_y,0),(0,0,C))$ dove,
$I_x$ e $I_y$ sono la somma dei singoli momenti di inerzia delle tre aste rispetto i due assi, mentre $C=I_x + I_y$.
a) E' giusto considerare (per le singole aste) la formula $I_(x1)= 1/3 m*l^2 sin^2(theta) + m*d^2$?
b) Oppure il termine $m*d^2$ lo devo aggiungere solo alle aste parallele all'asse d riferimento?
Spero sia stato chiaro..
Grazie per l'aiuto,
Carmelo
Risposte
Trovato il baricentro: $G=(L/2, (2L)/3)$, collochi il sistema di riferimento nel baricentro:
$I_x=2(mL^2/12+m(L/2-(2L)/3)^2)+m(L-(2L)/3)^2$ (2 volte gli elementi verticali + 1 elemento orizzontale)
$I_y=mL^2/12+2m(L/2)^2$ (1 elemento orizzontale +2 volte gli elementi verticali)
Ovvero, per ogni elemento, il momento d’inerzia rispetto all’asse che passa per il baricentro dell’elemento, più la massa per la distanza, tra l’asse dell’elemento e l’asse baricentrico della figura, elevata al quadrato.
NB: spessore elementi << $L$
SE&O
$I_x=2(mL^2/12+m(L/2-(2L)/3)^2)+m(L-(2L)/3)^2$ (2 volte gli elementi verticali + 1 elemento orizzontale)
$I_y=mL^2/12+2m(L/2)^2$ (1 elemento orizzontale +2 volte gli elementi verticali)
Ovvero, per ogni elemento, il momento d’inerzia rispetto all’asse che passa per il baricentro dell’elemento, più la massa per la distanza, tra l’asse dell’elemento e l’asse baricentrico della figura, elevata al quadrato.
NB: spessore elementi << $L$
SE&O
Ciao e grazie per la risposta.
Mi chiedo:
a) Perche la coordinata x del baricentro risulta $L/2$ e non $L$?
b) Per quanto riguarda i momenti d'inerzia Ix e Iy, ho impostato il sistema di riferimento come in figura, ed ottengo:
$I_x=5/3mL^2$ e $I_y=16/3mL^2$
non capisco dove sbaglio...devo necessariamente collocare il sistema di riferimento nel baricentro??
Ciao e grazie ancora
Carmelo
ps: Buon 1° Maggio a tutti!!
Mi chiedo:
a) Perche la coordinata x del baricentro risulta $L/2$ e non $L$?
b) Per quanto riguarda i momenti d'inerzia Ix e Iy, ho impostato il sistema di riferimento come in figura, ed ottengo:
$I_x=5/3mL^2$ e $I_y=16/3mL^2$
non capisco dove sbaglio...devo necessariamente collocare il sistema di riferimento nel baricentro??
Ciao e grazie ancora
Carmelo
ps: Buon 1° Maggio a tutti!!
.. perché il tratto orizzontale è stato considerato $L$ e non $2L$. Adatta i calcoli, baricentro compreso ( $(L, 3/4L)$ ), e trovi quello che cerchi.
"...devo necessariamente collocare il sistema di riferimento nel baricentro?? "
Sì, se vuoi trovare i momenti principali d'inerzia.
"...devo necessariamente collocare il sistema di riferimento nel baricentro?? "
Sì, se vuoi trovare i momenti principali d'inerzia.
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