Esercizio sul momento d'inerzia
Si consideri un peso di massa M appeso verticalmente tramite una fune inestensibile. La fune è avvolta ad un disco rotante di R con momento d'inerzia I come in figura. Mentre la fune si srotola, il peso scende con accelerazione con modulo pari ad a.
Dati:
$ M=3.00 kg $
$ a=3.00 m/s^2 $
$ g=9.80 m/s^2 $
$ R=20.0 cm = 0.20 m $
Determinare il momento di inerzia I
Ho dei problemi nel risolvere questo esercizio..io ho impostato il ragionamento in questo modo:
Siccome ho trovato già in un punto precedente che il momento angolare totale in funzione di $ omega $ è $ L=MomegaR^2 + Iomega $, allora ho pensato di trovarlo con la formula: $ Sigma tau = Ialpha $
Quindi segue $ (dL)/(dt) = Ia_t/R rArr (d(MomegaR^2+Iomega))/(dt) = MR^2 (domega)/dt rArr (MR^2+I) (domega)/dt=MR^2(domega)/dt $ a questo punto mi blocco perché non so bene come andare avanti. Cioè, devo considerare $ omega=v/R $?
Sicuramente mi sfugge qualcosa, qualcuno mi da una mano??
Dati:
$ M=3.00 kg $
$ a=3.00 m/s^2 $
$ g=9.80 m/s^2 $
$ R=20.0 cm = 0.20 m $
Determinare il momento di inerzia I
Ho dei problemi nel risolvere questo esercizio..io ho impostato il ragionamento in questo modo:
Siccome ho trovato già in un punto precedente che il momento angolare totale in funzione di $ omega $ è $ L=MomegaR^2 + Iomega $, allora ho pensato di trovarlo con la formula: $ Sigma tau = Ialpha $
Quindi segue $ (dL)/(dt) = Ia_t/R rArr (d(MomegaR^2+Iomega))/(dt) = MR^2 (domega)/dt rArr (MR^2+I) (domega)/dt=MR^2(domega)/dt $ a questo punto mi blocco perché non so bene come andare avanti. Cioè, devo considerare $ omega=v/R $?
Sicuramente mi sfugge qualcosa, qualcuno mi da una mano??
Risposte
Se ho capito bene la tua intenzione è quella di applicare la seconda equazione cardinale della dinamica al sistema costituito da massa e disco, e fin qui mi sembra giusto.
Calcoli il momento angolare dei due corpi, con polo nel centro del disco di raggio R, che nel sistema di riferimento rispetto a cui viene descritto il moto dei due corpi, inerziale, è fisso. Questo permette di sfruttare la forma semplificata in cui si presenta la seconda eqazione cardinale della dinamica, valida appunto avendo scelto un polo fisso, nella definizione di momento angolare, o un polo che si muove con la stessa velocità del centro di massa del sistema meccanico considerato.
L'espressione che hai scritto di questo momento angolare mi risulta giusta, mentre l'equazione cardinale mi sembra che tu l'abbia scritta sbagliata.
Dovrebbe essere
$vecM_r(O)=(dvecL(O))/(dt)$
Dove O è il polo rispetto al quale si calcola il momento risultante delle forze esterne agenti nel sistema meccanico $vecM_r$ e il momento angolare dello stesso $vecL$, con O, ripeto, fisso o con velocità uguale a quella del centro di massa del sistema.
Appurato che il sistema di riferimento è inerziale, quali sono le forze esterne agenti nel sistema meccanico?
Calcoli il momento angolare dei due corpi, con polo nel centro del disco di raggio R, che nel sistema di riferimento rispetto a cui viene descritto il moto dei due corpi, inerziale, è fisso. Questo permette di sfruttare la forma semplificata in cui si presenta la seconda eqazione cardinale della dinamica, valida appunto avendo scelto un polo fisso, nella definizione di momento angolare, o un polo che si muove con la stessa velocità del centro di massa del sistema meccanico considerato.
L'espressione che hai scritto di questo momento angolare mi risulta giusta, mentre l'equazione cardinale mi sembra che tu l'abbia scritta sbagliata.
Dovrebbe essere
$vecM_r(O)=(dvecL(O))/(dt)$
Dove O è il polo rispetto al quale si calcola il momento risultante delle forze esterne agenti nel sistema meccanico $vecM_r$ e il momento angolare dello stesso $vecL$, con O, ripeto, fisso o con velocità uguale a quella del centro di massa del sistema.
Appurato che il sistema di riferimento è inerziale, quali sono le forze esterne agenti nel sistema meccanico?
Ok, mi è venuto.
Ho ragionato su quello che hai scritto tu, e penso che le forze esterne agenti sul sistema siano $ tau =F\cdot d=MgR $ quindi ho eguagliato $ (MR^2+I) (domega)/dt=MgR $ e ho ricavato $ I=MR^2(g/a-1) $ ed il risultato torna
Ho ragionato su quello che hai scritto tu, e penso che le forze esterne agenti sul sistema siano $ tau =F\cdot d=MgR $ quindi ho eguagliato $ (MR^2+I) (domega)/dt=MgR $ e ho ricavato $ I=MR^2(g/a-1) $ ed il risultato torna
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