Esercizio sui vettori (da vedere)
Ci sono tre forze complanari
$F_1=3N$
$F_2=4N$
$F_3=5N$
il punto deve essere in equilibrio, trovare gli angoli compresi tra le forse.
mio svolgimento:
per l'equilibrio: $ F_1++F_2+F_3=0 $
per gli angoli: $alpha+beta+gamma=0$
a sistema queste condizioni
$|F_1-F_2|=sqrt((F_1)^2+(F_2)^2-2*F_1*F_2*cos(alpha))$
$|F_3-F_2|=sqrt((F_3)^2+(F_2)^2-2*F_3*F_2*cos(beta))$
$|F_3-F_1|=sqrt((F_3)^2+(F_1)^2-2*F_3*F_1*cos(gamma))$
inoltre pongo $alpha=180-(beta+gamma)$
come condizioni ci sono anche:
$(|F_1-F_2|/sin(alpha)) = |F_3-F_2|/(sin(beta)) = |F_3-F_1| /(sin(gamma))$
facendo i vari passaggi mi sono trovato in una posizione critica:
$34-30*cos(gamma)=(36-40*cos(beta))*(1-cos^2(gamma))/(1-cos^2(beta))$
vorrei trovare il $cos(gamma)$ in funzione di $cos(beta)$ e poi trovarmi che:
$cos(alpha)= cos(180-(beta+gamma))= -cos(beta+gamma)= - (cos(beta)*cos(gamma)-sin(beta)*sin(alpha))$
$F_1=3N$
$F_2=4N$
$F_3=5N$
il punto deve essere in equilibrio, trovare gli angoli compresi tra le forse.
mio svolgimento:
per l'equilibrio: $ F_1++F_2+F_3=0 $
per gli angoli: $alpha+beta+gamma=0$
a sistema queste condizioni
$|F_1-F_2|=sqrt((F_1)^2+(F_2)^2-2*F_1*F_2*cos(alpha))$
$|F_3-F_2|=sqrt((F_3)^2+(F_2)^2-2*F_3*F_2*cos(beta))$
$|F_3-F_1|=sqrt((F_3)^2+(F_1)^2-2*F_3*F_1*cos(gamma))$
inoltre pongo $alpha=180-(beta+gamma)$
come condizioni ci sono anche:
$(|F_1-F_2|/sin(alpha)) = |F_3-F_2|/(sin(beta)) = |F_3-F_1| /(sin(gamma))$
facendo i vari passaggi mi sono trovato in una posizione critica:
$34-30*cos(gamma)=(36-40*cos(beta))*(1-cos^2(gamma))/(1-cos^2(beta))$
vorrei trovare il $cos(gamma)$ in funzione di $cos(beta)$ e poi trovarmi che:
$cos(alpha)= cos(180-(beta+gamma))= -cos(beta+gamma)= - (cos(beta)*cos(gamma)-sin(beta)*sin(alpha))$
Risposte
scusami, ma non è una terna pitagorica?
No, i tre vettori sono messi non in modo tale da usare la 'terna pitagorica'.
Potrei fare un disegno e postarlo, se non è chiaro :S
Potrei fare un disegno e postarlo, se non è chiaro :S
sì, forse è opportuno.
però, dici che i tre vettori sono complanari e che devono farsi equilibrio, dunque, a meno dei punti di applicazione che coinvolgono i momenti e non le forze, la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore, dunque in particolare deve avere modulo uguale a quello del terzo vettore. e come sono messi i due vettori di 3 e 4 newton se la risultante deve misurare 5 N ?
però, dici che i tre vettori sono complanari e che devono farsi equilibrio, dunque, a meno dei punti di applicazione che coinvolgono i momenti e non le forze, la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore, dunque in particolare deve avere modulo uguale a quello del terzo vettore. e come sono messi i due vettori di 3 e 4 newton se la risultante deve misurare 5 N ?
ada, ti riporto tutto il testo, che ho cambiato i numeri, ma in sostanza è sempre lo stesso.
Il testo dice:
'Tre forze complanari applicate in un punto hanno intensità: $4$, $5$, $6N$; se il punto è in equilibrio, quali sono gli angoli fra le tre forze? calcolare a meno di $1'$
Se la prima forza viene diminuita di $0,01N$ di quanto variano gli angoli?
Risultati:
$alpha=97$
$beta=138$
$gamma=124$ (tutti in gradi)
quando tu dici '' la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore,''
l'avevo proposto al prof di esercitazione, e mi disse che il testo non specificava ciò, dunque è sbagliato.
:S io ho dato un mio svolgimento (quello di stamane) credo andasse bene....
Il testo dice:
'Tre forze complanari applicate in un punto hanno intensità: $4$, $5$, $6N$; se il punto è in equilibrio, quali sono gli angoli fra le tre forze? calcolare a meno di $1'$
Se la prima forza viene diminuita di $0,01N$ di quanto variano gli angoli?
Risultati:
$alpha=97$
$beta=138$
$gamma=124$ (tutti in gradi)
quando tu dici '' la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore,''
l'avevo proposto al prof di esercitazione, e mi disse che il testo non specificava ciò, dunque è sbagliato.
:S io ho dato un mio svolgimento (quello di stamane) credo andasse bene....
... segui il consiglio di adaBTTLS.
cioè:
$F_1+F_2= -F_3$ ?
$F_1+F_2= -F_3$ ?
con Carnot si trovano gli angoli $theta, phi$, tali che $alpha=theta+phi, beta=pi-theta, gamma=pi-phi$
in gradi sessagesimali, approssimati ai primi, si hanno questi risultati:
$alpha=97^circ 11', beta=138^circ 14', gamma=124^circ 35'$
che variano così secondo le richieste successive:
$alpha=97^circ 05', beta=138^circ 42', gamma=124^circ 13'$
in gradi sessagesimali, approssimati ai primi, si hanno questi risultati:
$alpha=97^circ 11', beta=138^circ 14', gamma=124^circ 35'$
che variano così secondo le richieste successive:
$alpha=97^circ 05', beta=138^circ 42', gamma=124^circ 13'$
... la chiave di problema è il triangolo e in generale la risultante è nulla se il poligono delle forze è chiuso.
"adaBTTLS":
con Carnot si trovano gli angoli $theta, phi$, tali che $alpha=theta+phi, beta=pi-theta, gamma=pi-phi$
in gradi sessagesimali, approssimati ai primi, si hanno questi risultati:
$alpha=97^circ 11', beta=138^circ 14', gamma=124^circ 35'$
che variano così secondo le richieste successive:
$alpha=97^circ 05', beta=138^circ 42', gamma=124^circ 13'$
come hai applicato Carnot? A quali triangoli?
I risultati sono esatti.
Vorrei capire il disegno xD
@Gibi
la chiave di problema è il triangolo e in generale la risultante è nulla se il poligono delle forze è chiuso. (cit)
per poligono delle forze cosa intendi?
ho cercato di mantenere i nomi degli angoli in base ai risultati.
da un punto V partono i due vettori VA e VB di intensità 4 N e 5 N.
$alpha$ è l'angolo compreso tra VA e VB.
risolvo graficamente il problema sommando questi due vettori con la regola del parallelogramma, imponendo che la risultante VR sia di 6N. VC è il terzo vettore, opposto a VR, di 6N.
nel parallelogramma VARB, VA=BR e VB=AR.
ho chiamato $phi=hat(AVR), theta=hat(BVR)$, e con Carnot (ai triangoli VAR e VRB) ho trovato $cos phi$ e $cos theta$.
poi, come ho detto nell'altro post, $alpha=phi+theta=hat(AVB)$, mentre $hat(AVC)=gamma=180^circ-phi, hat(CVB)=beta=180^circ-theta$
forse posso anche risponderti io per GIBI: dire che la somma dei tre vettori dà come il risultato il vettore nullo può significare, con la risoluzione grafica, il fatto che la somma di due vettori sia opposta al terzo, così come abbiamo fatto ora, ma anche che, se sommi i tre vettori non con la regola del parallelogramma ma con il metodo del punto-coda, la risultante è nulla se e solo se la coda del primo vettore coincide con la punta del terzo, cioè proprio se i tre vettori sono i lati di un triangolo.
da un punto V partono i due vettori VA e VB di intensità 4 N e 5 N.
$alpha$ è l'angolo compreso tra VA e VB.
risolvo graficamente il problema sommando questi due vettori con la regola del parallelogramma, imponendo che la risultante VR sia di 6N. VC è il terzo vettore, opposto a VR, di 6N.
nel parallelogramma VARB, VA=BR e VB=AR.
ho chiamato $phi=hat(AVR), theta=hat(BVR)$, e con Carnot (ai triangoli VAR e VRB) ho trovato $cos phi$ e $cos theta$.
poi, come ho detto nell'altro post, $alpha=phi+theta=hat(AVB)$, mentre $hat(AVC)=gamma=180^circ-phi, hat(CVB)=beta=180^circ-theta$
forse posso anche risponderti io per GIBI: dire che la somma dei tre vettori dà come il risultato il vettore nullo può significare, con la risoluzione grafica, il fatto che la somma di due vettori sia opposta al terzo, così come abbiamo fatto ora, ma anche che, se sommi i tre vettori non con la regola del parallelogramma ma con il metodo del punto-coda, la risultante è nulla se e solo se la coda del primo vettore coincide con la punta del terzo, cioè proprio se i tre vettori sono i lati di un triangolo.
... solo un complemento a quello che ha ottimamente scritto adaBTTLS.
Geometricamente le forze possono essere rappresentate da segmenti orientati, cioè a ogni segmento si fissa per convenzione un inizio e una fine.
Se si pongono in successione i segmenti orientati (la fine di uno coincide con l'inizio del successivo) si ottiene una spezzata, il segmento che unisce la fine della spezza con il suo inizio dà la somma delle forze.
A questa figura si da il nome di "poligono delle forze". Per la proprietà commutativa non ha importanza l'ordine dei segmenti e il poligono può anche essere intrecciato.
Questa costruzione è più generare della "regola del parallelogramma" perché non soffre l'eccezione delle forze parallele.
Se si unisce al "poligono delle forze" un'altra costruzione grafica il "poligono funicolare" si possono tradurre graficamente le "equazioni cardinali della Statica".
Praticamente, prima dell'introduzione del computer (circa 30-40 fa), queste due costruzione grafiche sono state il principale mezzo efficiente, veloce e sicuro per trattare la Statica nelle costruzioni.
ps. Tutto questo deve avvenire nel piano, si possono fare anche costruzioni grafiche nello spazio, ma sono troppo complicate per una loro utilizzazione pratica.
Geometricamente le forze possono essere rappresentate da segmenti orientati, cioè a ogni segmento si fissa per convenzione un inizio e una fine.
Se si pongono in successione i segmenti orientati (la fine di uno coincide con l'inizio del successivo) si ottiene una spezzata, il segmento che unisce la fine della spezza con il suo inizio dà la somma delle forze.
A questa figura si da il nome di "poligono delle forze". Per la proprietà commutativa non ha importanza l'ordine dei segmenti e il poligono può anche essere intrecciato.
Questa costruzione è più generare della "regola del parallelogramma" perché non soffre l'eccezione delle forze parallele.
Se si unisce al "poligono delle forze" un'altra costruzione grafica il "poligono funicolare" si possono tradurre graficamente le "equazioni cardinali della Statica".
Praticamente, prima dell'introduzione del computer (circa 30-40 fa), queste due costruzione grafiche sono state il principale mezzo efficiente, veloce e sicuro per trattare la Statica nelle costruzioni.
ps. Tutto questo deve avvenire nel piano, si possono fare anche costruzioni grafiche nello spazio, ma sono troppo complicate per una loro utilizzazione pratica.
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