Esercizio sui sistemi di riferimento
Un punto P è descritto dalle coordinate (x,y) rispetto a un sistema di coordinate cartesiane .(http://www.gpmeneghin.com/schede/analitica/coord.htm ) <-- (uno generico insomma) . Trovare che le coordinate (x',y') di questo punto nel sistema di coordinate ruotato x',y', sono connesse ad (x,y) ed all'angolo di rotazione alfa dalle espressioni
x'=x*cos (alfa)+y*sen(alfa) ; y'=-x*sen(alfa)+y*cos(alfa) .
Facendo qualche prova ,per quanto la precisione me l'abbia permesso ,ho visto che è abbastanza intuitivo e sicuramente centra con il fatto che all'aumentare del coseno il seno diminuisce e viceversa .Come caso estremo se voglio rimanere sul primo sistema di coordinate vedo che in x' il fattore x*cos(alfa) vale proprio x mentre y*sen(alfa) si annulla (per y' otterrò analogamente y) . Spero non ci sia bisogno della figura dell'altro sistema (quello ruotato) e di essermi fatto capire!
x'=x*cos (alfa)+y*sen(alfa) ; y'=-x*sen(alfa)+y*cos(alfa) .
Facendo qualche prova ,per quanto la precisione me l'abbia permesso ,ho visto che è abbastanza intuitivo e sicuramente centra con il fatto che all'aumentare del coseno il seno diminuisce e viceversa .Come caso estremo se voglio rimanere sul primo sistema di coordinate vedo che in x' il fattore x*cos(alfa) vale proprio x mentre y*sen(alfa) si annulla (per y' otterrò analogamente y) . Spero non ci sia bisogno della figura dell'altro sistema (quello ruotato) e di essermi fatto capire!
Risposte
"Umbreon93":
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Facendo qualche prova ,per quanto la precisione me l'abbia permesso ,ho visto che è abbastanza intuitivo e sicuramente centra con il fatto che all'aumentare del coseno il seno diminuisce e viceversa .......
Non è questione di precisione o di intuizione. Le formule di trasformazione delle coordinate, per rotazione degli assi (ma anche per traslazione) si dimostrano rigorosamente.
Spero tu abbia scritto quelle giuste, non le ho verificate!
Però non ho capito il tuo dubbio, se ne hai uno....
Lo so ..ed è proprio per quello che chiedo! Se fai attenzione noterai che la domanda è nelle prime righe ossia appunto dimostrare quelle due formule! Ti ringrazio per l'attenzione 
Ma non è più semplice dire subito quello che si vuole? Bisogna lavorare spesso di fantasia, con alcuni studenti!
Comunque, la dimostrazione si trova in tutti i libri di Geometria analitica, anche delle superiori credo.
E la trovi anche qui :
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
È una questione di triangoli rettangoli.
Comunque, la dimostrazione si trova in tutti i libri di Geometria analitica, anche delle superiori credo.
E la trovi anche qui :
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
È una questione di triangoli rettangoli.
In generale nei libri di geometria sotto la voce di
cambio di riferimento affine.
Ciao e buono studio
Mino
cambio di riferimento affine.
Ciao e buono studio
Mino
Innanzitutto grazie per le risposte! Se noti,come già detto,la domanda era nelle prime righe del primo post
Era inteso come dimostrazione! Ho copiato esattamente la traccia del libro XD
Comunque ho capito tutto perfettamente da quel sito solo che adesso ho dei dubbi su come eseguire il procedimento inverso.Qui : http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
si ottengono le vecchie coordinate dalle nuove quindi se non sbaglio un'esercizio potrebbe chiederti ,date le nuove coordinate, quali erano le vecchie quando il sistema non era ruotato di alfa .Io adesso vorrei l'incontrario ossia l'argomento della mia domanda : date due coordinate di partenza voglio trovare le nuove coordinate in un sistema di riferimento ruotato di alfa rispetto al precedente (non so se sono stato chiaro!) .Conosco i teoremi sui triangoli rettangoli però non riesco comunque ad andare avanti . Rileggendo continuamente ho notato che su quel link c'è scritto in piccolo una cosa che cito : " Poiche' negli esercizi dovremo sostituire le nuove coordinate alle vecchie conviene considerare solamente le formule con prima dell'uguale le vecchie coordinate; non conviene ricavare le formule inverse anche per la complessita' dei calcoli" .Questo significa che ciò che voglio dimostrare io è più difficile ? A me sembra una cosa complementare alla precedente .. mi preme saperlo perchè dovrebbe servire per risolvere diversi problemi di fisica! Sapete se nei problemi si richiedono sempre le vecchie coordinate oppure serve anche dimostrare le formule per le nuove ?
Cioè x'=x * cos (alfa) + y * sen (alfa)
y'=-x * sen (alfa) + y * cos (alfa)
dove x' e y' sono le nuove coordinate !
Trovare che le coordinate (x',y') di questo punto nel sistema di coordinate ruotato x',y', sono connesse ad (x,y) ed all'angolo di rotazione alfa dalle espressioni
x'=x*cos (alfa)+y*sen(alfa) ; y'=-x*sen(alfa)+y*cos(alfa) .
Era inteso come dimostrazione! Ho copiato esattamente la traccia del libro XD
Comunque ho capito tutto perfettamente da quel sito solo che adesso ho dei dubbi su come eseguire il procedimento inverso.Qui : http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
si ottengono le vecchie coordinate dalle nuove quindi se non sbaglio un'esercizio potrebbe chiederti ,date le nuove coordinate, quali erano le vecchie quando il sistema non era ruotato di alfa .Io adesso vorrei l'incontrario ossia l'argomento della mia domanda : date due coordinate di partenza voglio trovare le nuove coordinate in un sistema di riferimento ruotato di alfa rispetto al precedente (non so se sono stato chiaro!) .Conosco i teoremi sui triangoli rettangoli però non riesco comunque ad andare avanti . Rileggendo continuamente ho notato che su quel link c'è scritto in piccolo una cosa che cito : " Poiche' negli esercizi dovremo sostituire le nuove coordinate alle vecchie conviene considerare solamente le formule con prima dell'uguale le vecchie coordinate; non conviene ricavare le formule inverse anche per la complessita' dei calcoli" .Questo significa che ciò che voglio dimostrare io è più difficile ? A me sembra una cosa complementare alla precedente .. mi preme saperlo perchè dovrebbe servire per risolvere diversi problemi di fisica! Sapete se nei problemi si richiedono sempre le vecchie coordinate oppure serve anche dimostrare le formule per le nuove ?
Cioè x'=x * cos (alfa) + y * sen (alfa)
y'=-x * sen (alfa) + y * cos (alfa)
dove x' e y' sono le nuove coordinate !
È semplice, se sai come si risolvono i sistemi di equazioni lineari.
Dato il sistema :
$x' = ax + by$ -----(1)
$y' = cx + dy$ -----(2)
dove le coordinate "nuove" $x' , y'$ sono espresse in funzione delle coordinate "vecchie" $x,y$ , si possono ricavare le coordinate "vecchie" $x,y$ dalle "nuove" $x' , y'$ semplicemente risolvendo il sistema lineare inverso, ovvero ricavando $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ ed $y'$. Quindi si avrà alla fine :
$x = ex' + fy'$ -----(3)
$y = gx' + hy'$ ----(4)
dove i coefficienti $e,f,g,h$ dipendono dai coefficienti $a,b,c,d$ in una certa maniera, che trovi sempre nei libri di Geometria laddove si parla di "sistemi di equazioni lineari".
C'entrano le matrici e i determinanti....Ma ripeto che si può fare anche direttamente.
Dato il sistema :
$x' = ax + by$ -----(1)
$y' = cx + dy$ -----(2)
dove le coordinate "nuove" $x' , y'$ sono espresse in funzione delle coordinate "vecchie" $x,y$ , si possono ricavare le coordinate "vecchie" $x,y$ dalle "nuove" $x' , y'$ semplicemente risolvendo il sistema lineare inverso, ovvero ricavando $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ ed $y'$. Quindi si avrà alla fine :
$x = ex' + fy'$ -----(3)
$y = gx' + hy'$ ----(4)
dove i coefficienti $e,f,g,h$ dipendono dai coefficienti $a,b,c,d$ in una certa maniera, che trovi sempre nei libri di Geometria laddove si parla di "sistemi di equazioni lineari".
C'entrano le matrici e i determinanti....Ma ripeto che si può fare anche direttamente.
Aggiungo ancora questo, affinché sia tutto più chiaro.
Quando sul foglio bianco davanti a te disegni un riferimento cartesiano $Oxy$ con origine in $O$ e asse $x$ orizzontale, positivo verso destra, asse $y$ verticale, positivo verso l'alto, pensi di aver disegnato un riferimento "particolare" , con caratteristiche speciali, sul piano del foglio?
Be', niente affatto. Quel riferimento non ha proprio nulla di particolare. Se a partire dalla stessa origine $O$ disegni ora una coppia di assi $(x',y')$ sempre perpendicolari tra loro ma ruotati rispetto ai precedenti di un angolo $\alpha$ , supponiamo in senso antiorario, questo nuovo riferimento ha, rispetto al vecchio, le stesse qualità, le stesse caratteristiche del "vecchio" riferimento. Un punto P del piano ha coordinate $(x,y)$ rispetto al vecchio riferimento, ha coordinate $(x', y')$ rispetto al nuovo riferimento, e tra le coordinate ci sono le equazioni di trasformazione dette.
Ma il riferimento $(x',y')$ non differisce dal precedente, se non per il fatto che è ruotato di $\alpha$ in verso antiorario.
Se ora pianti uno spillo in $O$ , e fai ruotare il foglio inverso "orario" proprio di un angolo $\alpha' = -\alpha$, in modo da portare l'asse $x'$ orizzontale e l'asse $y'$ verticale rispetto ai tuoi occhi, vedrai che il vecchio riferimento è ruotato di $\alpha'$ in verso orario, proprio come il foglio.
Perciò , tenendo presente che $cos(-\alpha) = cos\alpha$ e che $sen(-\alpha) = - sen\alpha$ , le equazioni per la trasformazione inversa di coordinate dovresti saperle scrivere immediatamente ( o quasi...si tratta di riflettere un po').
Quando sul foglio bianco davanti a te disegni un riferimento cartesiano $Oxy$ con origine in $O$ e asse $x$ orizzontale, positivo verso destra, asse $y$ verticale, positivo verso l'alto, pensi di aver disegnato un riferimento "particolare" , con caratteristiche speciali, sul piano del foglio?
Be', niente affatto. Quel riferimento non ha proprio nulla di particolare. Se a partire dalla stessa origine $O$ disegni ora una coppia di assi $(x',y')$ sempre perpendicolari tra loro ma ruotati rispetto ai precedenti di un angolo $\alpha$ , supponiamo in senso antiorario, questo nuovo riferimento ha, rispetto al vecchio, le stesse qualità, le stesse caratteristiche del "vecchio" riferimento. Un punto P del piano ha coordinate $(x,y)$ rispetto al vecchio riferimento, ha coordinate $(x', y')$ rispetto al nuovo riferimento, e tra le coordinate ci sono le equazioni di trasformazione dette.
Ma il riferimento $(x',y')$ non differisce dal precedente, se non per il fatto che è ruotato di $\alpha$ in verso antiorario.
Se ora pianti uno spillo in $O$ , e fai ruotare il foglio inverso "orario" proprio di un angolo $\alpha' = -\alpha$, in modo da portare l'asse $x'$ orizzontale e l'asse $y'$ verticale rispetto ai tuoi occhi, vedrai che il vecchio riferimento è ruotato di $\alpha'$ in verso orario, proprio come il foglio.
Perciò , tenendo presente che $cos(-\alpha) = cos\alpha$ e che $sen(-\alpha) = - sen\alpha$ , le equazioni per la trasformazione inversa di coordinate dovresti saperle scrivere immediatamente ( o quasi...si tratta di riflettere un po').
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