Esercizio sui corpi rigidi, ragionamenti corretti?
Ciao a tutti,
a breve dovrei dare l'esame di fisica (facoltà di Informatica), purtroppo non ho seguito il corso e sono un po' in crisi...mi dite se il mio modo di ragionare nella risoluzione di questo esercizio è corretto?
TESTO: Un'asta pesante M e lunga L=1m è incernierata nel centro e si trova in equilibrio in posizione orizzontale. Una pallina di massa m=M/3 cade sull'estremo destro dell'asta da un'altezza ]H=2m rimanendovi attaccata.
Per rendere un'idea più precisa allego un disegno (spero sia chiaro):
Calcolare:
A) La velocità v0 della pallina poco prima dell'urto con l'asta
Ok, questa domanda dovrebbe essere semplice: Inizialmente l'unica forza in gioco è la FORZA PESO DELLA PALLINA che cade che è una forza conservativa ---> NON CI SONO FORZE NON CONSERVATIVE IN GIOCO ---> IL LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE è NULLO ---> SI CONSERVA L'ENERGIA MECCANICA in quanto:
\(L_{NC} = [K+U]_F - [K+U]_I\) ---> L'energia meccanica iniziale è uguale all'energia meccanica finale (si conserva)
Quando la pallina è ferma a 2 metri di altezza la sua energia cinetica K è nulla e c'è solo energia potenziale U. Quando la pallina arriva a toccare l'asta la sua energia potenziale è nulla ed è interamente energia cineticca. Quindi in formule ho che:
\(\frac{1}{2}m{v_0}^2 = mgh\) e da quà semplicemente ricavo v0 (che è la velocità con cui la pallina tocca l'asta):
\(v_0 = \sqrt{2gh}\) OK, questo dovrebbe essere giusto...
B) LA VELOCITA' ANGOLARE DEL SISTEMA SUBITO DOPO L'URTO w_0:
In pratica adesso la pallina ha toccato l'asta nel suo estremo destro con la velocità v_0 appena calcolata, l'asta ora tende a ruotare intorno al centro dove è presente la cerniera (sul testo dell'esercizio dice di usare la conservazione del momento angolare) E quì ho un po' di dubbi teorici...
IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA SE IL MOMENTO RISULTANTE DELLE FORZE IN GIOCO è NULLO.
Io considero il centro dell'asta O come polo.
Le forze in gioco a questo punto saranno le seguenti: il PESO DELL'ASTA (diretto verso il basso dal centro di massa dell'asta), la REAZIONE della cerniera (diretto verso l'alto dal centro di massa e di modulo uguale alla forza peso dell'asta), la FORZA PESO DELLA PALLINA che cada con velocità v_0.
Calcolo i momenti risultanti delle forze rispetto al polo O scelto e vedo che:
\(\tau_{PA} = \tau_R = 0\) (perchè le forze sono applicate proprio dal polo O, quindi hanno braccio nullo e quindi momento nullo)
Il momendo della forza peso della pallina però è: \(\tau_{PP} = mg\frac{L}{2}\) che è chiaramente diverso da 0 in quanto il braccio della forza è metà dell'asta...quindi anche il momento risultante \(\tau_{RIS} = mg\frac{L}{2}\) sarebbe diverso da 0 ed in teoria non potrei usare la conservazione del momento angolare
Però io sò che devo usare la conservazione del momento angolare per risolvere questo punto del problema (suggerimento dato sul testo dal docente), allora io me la sono giustificata così la questione per poter applicare comunque la conservazione del momento angolare:
Il momento risultante delle forze agenti è uguale alla varizione del momento angolare nel tempo. Per qusto motivo se il momento risultante delle forze esterne fosse 0, il momento angolare sarebbe COSTANTE e quindi si conserverebbe nel tempo , cioè in formule: \(\tau_{RIS} = \frac{dL}{dt} = 0 => L = COSTANTE\) (dove con L indico il MOMENTO ANGOLARE, non il lavoro...scusate ma a me hanno insegnato così e non sò se esiste una notazione più chiara per il momento angolare)
Allora, visto che nel testo mi dice di calcolare la velocità angolare nell'istante dell'urto io posso appunto considerare l'istante infinitesimo in cui la pallina tocca l'asta sul suo estremo destro, e dico:
\(dL = \tau_{RIS} dt = 0\) perchè dt tende a 0
In pratica dico che nell'istante infinitesimo in cui la pallina tocca l'asta la variazione del momento angolare nel tempo (infinitesimo) è infinitesima e quindi L=COSTANTE per cui in quell'istante preciso il momento angolare si conserva
(Come condizione ulteriore per stare tranquillo posso anche assumere il momento delle forze risultante costante durante l'urto).
Quindi dico: \(L_{PRIMA DELL'URTO} = L_{DOPO URTO}\)
A questo punto il momento angolare nell'istante prima dell'urto dipende solo dalla pallina di massa m=M\3: \(L_{PRIMA DELL'URTO} = mv_0\frac{L}{2}\)
Mentre il momento angolare nell'istante subito dopo l'urto dipende sia dalla pallina di massa m che dalla sbarra di massa M:
visto che la pallina rimane attaccata alla sbarra (lo dice il testo) il momento di inerzia del sistema è:
\(I = \frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2\)
Per cui: \(L_{DOPO URTO} = I \omega_0 = (\frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2)\omega_0\)
Quindi impostando la conservazione del momento angolare ho che:
\(mv_0(\frac{L}{2})^2 = (\frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2)\omega_0\)
Da cui con un po' di algebra ricavo ciò che mi veniva chiesto (la velocità angolare del sistema nell'istante dell'impatto della pallina con l'asta): \(\omega_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{L}\)
E' corretto come ragionamento? Può andare bene la mia giustificazione?
Grazie
Andrea
a breve dovrei dare l'esame di fisica (facoltà di Informatica), purtroppo non ho seguito il corso e sono un po' in crisi...mi dite se il mio modo di ragionare nella risoluzione di questo esercizio è corretto?
TESTO: Un'asta pesante M e lunga L=1m è incernierata nel centro e si trova in equilibrio in posizione orizzontale. Una pallina di massa m=M/3 cade sull'estremo destro dell'asta da un'altezza ]H=2m rimanendovi attaccata.
Per rendere un'idea più precisa allego un disegno (spero sia chiaro):
Calcolare:
A) La velocità v0 della pallina poco prima dell'urto con l'asta
Ok, questa domanda dovrebbe essere semplice: Inizialmente l'unica forza in gioco è la FORZA PESO DELLA PALLINA che cade che è una forza conservativa ---> NON CI SONO FORZE NON CONSERVATIVE IN GIOCO ---> IL LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE è NULLO ---> SI CONSERVA L'ENERGIA MECCANICA in quanto:
\(L_{NC} = [K+U]_F - [K+U]_I\) ---> L'energia meccanica iniziale è uguale all'energia meccanica finale (si conserva)
Quando la pallina è ferma a 2 metri di altezza la sua energia cinetica K è nulla e c'è solo energia potenziale U. Quando la pallina arriva a toccare l'asta la sua energia potenziale è nulla ed è interamente energia cineticca. Quindi in formule ho che:
\(\frac{1}{2}m{v_0}^2 = mgh\) e da quà semplicemente ricavo v0 (che è la velocità con cui la pallina tocca l'asta):
\(v_0 = \sqrt{2gh}\) OK, questo dovrebbe essere giusto...
B) LA VELOCITA' ANGOLARE DEL SISTEMA SUBITO DOPO L'URTO w_0:
In pratica adesso la pallina ha toccato l'asta nel suo estremo destro con la velocità v_0 appena calcolata, l'asta ora tende a ruotare intorno al centro dove è presente la cerniera (sul testo dell'esercizio dice di usare la conservazione del momento angolare) E quì ho un po' di dubbi teorici...
IL MOMENTO ANGOLARE SI CONSERVA SE IL MOMENTO RISULTANTE DELLE FORZE IN GIOCO è NULLO.
Io considero il centro dell'asta O come polo.
Le forze in gioco a questo punto saranno le seguenti: il PESO DELL'ASTA (diretto verso il basso dal centro di massa dell'asta), la REAZIONE della cerniera (diretto verso l'alto dal centro di massa e di modulo uguale alla forza peso dell'asta), la FORZA PESO DELLA PALLINA che cada con velocità v_0.
Calcolo i momenti risultanti delle forze rispetto al polo O scelto e vedo che:
\(\tau_{PA} = \tau_R = 0\) (perchè le forze sono applicate proprio dal polo O, quindi hanno braccio nullo e quindi momento nullo)
Il momendo della forza peso della pallina però è: \(\tau_{PP} = mg\frac{L}{2}\) che è chiaramente diverso da 0 in quanto il braccio della forza è metà dell'asta...quindi anche il momento risultante \(\tau_{RIS} = mg\frac{L}{2}\) sarebbe diverso da 0 ed in teoria non potrei usare la conservazione del momento angolare
Però io sò che devo usare la conservazione del momento angolare per risolvere questo punto del problema (suggerimento dato sul testo dal docente), allora io me la sono giustificata così la questione per poter applicare comunque la conservazione del momento angolare:
Il momento risultante delle forze agenti è uguale alla varizione del momento angolare nel tempo. Per qusto motivo se il momento risultante delle forze esterne fosse 0, il momento angolare sarebbe COSTANTE e quindi si conserverebbe nel tempo , cioè in formule: \(\tau_{RIS} = \frac{dL}{dt} = 0 => L = COSTANTE\) (dove con L indico il MOMENTO ANGOLARE, non il lavoro...scusate ma a me hanno insegnato così e non sò se esiste una notazione più chiara per il momento angolare)
Allora, visto che nel testo mi dice di calcolare la velocità angolare nell'istante dell'urto io posso appunto considerare l'istante infinitesimo in cui la pallina tocca l'asta sul suo estremo destro, e dico:
\(dL = \tau_{RIS} dt = 0\) perchè dt tende a 0
In pratica dico che nell'istante infinitesimo in cui la pallina tocca l'asta la variazione del momento angolare nel tempo (infinitesimo) è infinitesima e quindi L=COSTANTE per cui in quell'istante preciso il momento angolare si conserva
(Come condizione ulteriore per stare tranquillo posso anche assumere il momento delle forze risultante costante durante l'urto).
Quindi dico: \(L_{PRIMA DELL'URTO} = L_{DOPO URTO}\)
A questo punto il momento angolare nell'istante prima dell'urto dipende solo dalla pallina di massa m=M\3: \(L_{PRIMA DELL'URTO} = mv_0\frac{L}{2}\)
Mentre il momento angolare nell'istante subito dopo l'urto dipende sia dalla pallina di massa m che dalla sbarra di massa M:
visto che la pallina rimane attaccata alla sbarra (lo dice il testo) il momento di inerzia del sistema è:
\(I = \frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2\)
Per cui: \(L_{DOPO URTO} = I \omega_0 = (\frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2)\omega_0\)
Quindi impostando la conservazione del momento angolare ho che:
\(mv_0(\frac{L}{2})^2 = (\frac{1}{12}ML^2 + m(\frac{L}{2})^2)\omega_0\)
Da cui con un po' di algebra ricavo ciò che mi veniva chiesto (la velocità angolare del sistema nell'istante dell'impatto della pallina con l'asta): \(\omega_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{L}\)
E' corretto come ragionamento? Può andare bene la mia giustificazione?
Grazie
Andrea
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