Esercizio su urto tra punto materiale e corpo rigido
Salve, ho dei dubbi su un esercizio di un urto tra una pallina( cioè un punto materiale) e un disco.
In particolare il dubbio sta nel calcolare il momento angolare finale(dopo l'urto) del sistema, rispetto al centro di massa del sistema(cioè avendo scelto come polo il centro di massa del sistema).
Un disco non vincolato (cioè non vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso) fermo su un piano orizzontale senza
attrito viene urtato tangenzialmente da una pallina (punto materiale) che vi rimane attaccata.
Dopo l'urto il disco farà un moto roto-traslatorio, cioè ci sarà un traslazione del centro di massa (del sistema disco più pallina) e una rotazione intorno al centro di massa.
Essendo un urto completamente anelastico, visto che la pallina rimane attaccata al disco, e poichè il disco non
è vincolato allora la quantità di moto del sistema si conserverà.
La quantità di moto del sistema prima dell'urto è uguale alla quantità di moto solo della pallina, infatti il disco
prima dell'urto sta fermo. La quantità di moto dopo l'urto invece è uguale alla quantità di moto della pallina più
la quantità di moto del disco.
E fino a qui tutto chiaro.
Arriviamo al momento angolare e scegliamo come polo il centro di massa del sistema.
Il momento angolare si conserva scegliendo come polo il centro di massa del sistema, infatti scegliendo come polo il
centro di massa il momento delle forze esterne agenti sul sistema (reazione vincolare del piano e forza di gravita)
si annulla.
Quindi rispetto al centro di massa del sistema si ha conservazione del momento angolare del sistema.
Perciò il momento angolare totale del sistema iniziale deve essere a quello finale.
Il momento angolare (rispetto al centro di massa del sistema che abbiamo scelto come polo) iniziale è uguale
al momento angolare della pallina, e sarà uguale a m*v (m: massa pallina e v: velocità prima dell'urto della pallina).
Rispetto al centro di massa del sistema il momento angolare della pallina non sarà nullo.
Quindi abbiamo calcolato il momento angolare totale del sistema iniziale, adesso dobbiamo calcolare quello finale.
Qui iniziano i dubbi, sul valore del momento angolare finale del sistema.
Dopo l'urto pallina e disco sono uniti come se fossero un unico corpo, quindi si comporteranno come un corpo che rotola
e striscia, vero?? Però tra piano e disco non c'è attrito.
Disco e pallina viaggeranno nella traslazione con la stessa velocità (cioè la velocità del centro di massa) essendo l'urto completamente anelastico, corretto?
Il momento angolare finale del sistema dopo l'urto sarà il momento angolare della pallina più il momento angolare del
disco.Il momento angolare della pallina vale R*m*Vcm? e quello del disco? momento inerziale rispetto al centro
di massa del sistema per la velocità angolare del sistema?? ma il disco non ruota solamente, trasla anche, quindi
si dovrebbe tenere conto anche di questa traslazione...
Grazie.
In particolare il dubbio sta nel calcolare il momento angolare finale(dopo l'urto) del sistema, rispetto al centro di massa del sistema(cioè avendo scelto come polo il centro di massa del sistema).
Un disco non vincolato (cioè non vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso) fermo su un piano orizzontale senza
attrito viene urtato tangenzialmente da una pallina (punto materiale) che vi rimane attaccata.
Dopo l'urto il disco farà un moto roto-traslatorio, cioè ci sarà un traslazione del centro di massa (del sistema disco più pallina) e una rotazione intorno al centro di massa.
Essendo un urto completamente anelastico, visto che la pallina rimane attaccata al disco, e poichè il disco non
è vincolato allora la quantità di moto del sistema si conserverà.
La quantità di moto del sistema prima dell'urto è uguale alla quantità di moto solo della pallina, infatti il disco
prima dell'urto sta fermo. La quantità di moto dopo l'urto invece è uguale alla quantità di moto della pallina più
la quantità di moto del disco.
E fino a qui tutto chiaro.
Arriviamo al momento angolare e scegliamo come polo il centro di massa del sistema.
Il momento angolare si conserva scegliendo come polo il centro di massa del sistema, infatti scegliendo come polo il
centro di massa il momento delle forze esterne agenti sul sistema (reazione vincolare del piano e forza di gravita)
si annulla.
Quindi rispetto al centro di massa del sistema si ha conservazione del momento angolare del sistema.
Perciò il momento angolare totale del sistema iniziale deve essere a quello finale.
Il momento angolare (rispetto al centro di massa del sistema che abbiamo scelto come polo) iniziale è uguale
al momento angolare della pallina, e sarà uguale a m*v (m: massa pallina e v: velocità prima dell'urto della pallina).
Rispetto al centro di massa del sistema il momento angolare della pallina non sarà nullo.
Quindi abbiamo calcolato il momento angolare totale del sistema iniziale, adesso dobbiamo calcolare quello finale.
Qui iniziano i dubbi, sul valore del momento angolare finale del sistema.
Dopo l'urto pallina e disco sono uniti come se fossero un unico corpo, quindi si comporteranno come un corpo che rotola
e striscia, vero?? Però tra piano e disco non c'è attrito.
Disco e pallina viaggeranno nella traslazione con la stessa velocità (cioè la velocità del centro di massa) essendo l'urto completamente anelastico, corretto?
Il momento angolare finale del sistema dopo l'urto sarà il momento angolare della pallina più il momento angolare del
disco.Il momento angolare della pallina vale R*m*Vcm? e quello del disco? momento inerziale rispetto al centro
di massa del sistema per la velocità angolare del sistema?? ma il disco non ruota solamente, trasla anche, quindi
si dovrebbe tenere conto anche di questa traslazione...
Grazie.
Risposte
"jack066":
Il momento angolare (rispetto al centro di massa del sistema che abbiamo scelto come polo) iniziale è uguale
al momento angolare della pallina, e sarà uguale a m*v (m: massa pallina e v: velocità prima dell'urto della pallina).
E il braccio dov'è? Tieni presente inoltre che il centro di massa non è il centro del disco, ma è spostato verso il punto dove la pallina è rimasta attaccata. No, è $mvR$ dove $R$ è la distanza del punto di urto dal centro di massa risultante
Nota che un istante prima dell'urto, la pallina ha una velocità angolare rispetto al CM data da $omega_0 = v/R$, quindi il MA iniziale è $Iomega_0 = mR^2omega_0$
"jack066":
Disco e pallina viaggeranno nella traslazione con la stessa velocità (cioè la velocità del centro di massa) essendo l'urto completamente anelastico, corretto?
Sì
"jack066":
Il momento angolare finale del sistema dopo l'urto sarà il momento angolare della pallina più il momento angolare del
disco.Il momento angolare della pallina vale R*m*Vcm?
No, cosa c'entra la velocità del CM? E' $m * R^2 * omega_1$ dove $R$ è la distanza della pallina dal CM, $m R^2$ è il momento d'inerzia della pallina rispetto al polo scelto (esattamente come prima dell'urto) e $omega_1$ è la velocità angolare del sistema
"jack066":
e quello del disco? momento inerziale rispetto al centro
di massa del sistema per la velocità angolare del sistema??
Proprio così
"jack066":
ma il disco non ruota solamente, trasla anche, quindi
si dovrebbe tenere conto anche di questa traslazione...
E perchè mai? Parliamo di momento angolare...
Riguardo all'ultima domanda, si può parlare di momento angolare anche se c'è una traslazione. Ad esempio prima dell'urto la pallina trasla solamente e il momento angolare della pallina rispetto al centro di massa del sistema non è nullo.
Il mio dubbio sta proprio qui: perchè prima dell'urto consideriamo la traslazione e dopo l'urto invece solo la rotazione??
Il mio dubbio sta proprio qui: perchè prima dell'urto consideriamo la traslazione e dopo l'urto invece solo la rotazione??
Ti ho messo apposta l'espressione del momento angolare della pallina, prima e dopo l'urto, nella stessa forma, $mR^2omega$,
dove quel che cambia è solo $omega$ prima e dopo, in modo di vedere che parlando di momento angolare è meglio avere in mente la velocità angolare
Se vuoi usare la forma $mvR$ anche dopo l'urto dovresti usare come $v$ la velocità della pallina rispetto al CM, non la velocità del CM, e ho l'impressione che le cose si complichino
dove quel che cambia è solo $omega$ prima e dopo, in modo di vedere che parlando di momento angolare è meglio avere in mente la velocità angolare
Se vuoi usare la forma $mvR$ anche dopo l'urto dovresti usare come $v$ la velocità della pallina rispetto al CM, non la velocità del CM, e ho l'impressione che le cose si complichino
Ho capito.
Invece per quanto riguarda il momento inerziale della pallina rispetto al centro di massa del sistema, sicuro che sia m*R^2 e non m*R^2 + m*d^2 (dove R è la distanza della pallina dal centro di massa del disco e d la distanza tra l'asse di rotazione del disco e l'asse di rotazione del centro di massa). Questo perchè possiamo vedere la pallina come un punto del disco che si trova sul bordo, quindi vediamo la pallina dal centro del disco e ne sappiamo calcolare il momento inerziale rispetto a quel punto, e poi ci sommiamo m*d^2 per il teorema di Steiner.
Invece per quanto riguarda il momento inerziale della pallina rispetto al centro di massa del sistema, sicuro che sia m*R^2 e non m*R^2 + m*d^2 (dove R è la distanza della pallina dal centro di massa del disco e d la distanza tra l'asse di rotazione del disco e l'asse di rotazione del centro di massa). Questo perchè possiamo vedere la pallina come un punto del disco che si trova sul bordo, quindi vediamo la pallina dal centro del disco e ne sappiamo calcolare il momento inerziale rispetto a quel punto, e poi ci sommiamo m*d^2 per il teorema di Steiner.
Ma se vuoi il momento d'inerzia rispetto al CM, perchè lo vuoi calcolare rispetto ad un altro punto? Siamo d'accordo che lo puoi calcolare rispetto a tutti i punti che vuoi, e poi traslarlo con HS, ma perchè complicarsi la vita?
Hai perfettamente ragione, infatti non capisco perchè il prof ce l'abbia fatto calcolare così.
Invece ritornando al momento angolare iniziale della pallina, la velocità angolare della pallina, sarebbe diciamo la velocità di un punto che si trova sul bordo del disco (la pallina inizerà a ruotare solo dopo l'urto, prima trasla solamente, quindi non può avere velocità angolare). E' corretto pensarla così?
Invece ritornando al momento angolare iniziale della pallina, la velocità angolare della pallina, sarebbe diciamo la velocità di un punto che si trova sul bordo del disco (la pallina inizerà a ruotare solo dopo l'urto, prima trasla solamente, quindi non può avere velocità angolare). E' corretto pensarla così?
"jack066":
Invece ritornando al momento angolare iniziale della pallina, la velocità angolare della pallina, sarebbe diciamo la velocità di un punto che si trova sul bordo del disco (la pallina inizerà a ruotare solo dopo l'urto, prima trasla solamente, quindi non può avere velocità angolare).
Se ha un momento angolare che puoi scrivere $L = mvR$ e anche $L = I omega$ tenendo conto che $I = mR^2$ ricavi che ha anche una velocità angolare $omega = v / R$
Ho capito, grazie mille per aver risolto i miei dubbi ancora una volta 
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