Esercizio su urto anelastico.
Salve, ho sempre seguito gli interessanti post degli altri utenti, facendo tesoro dei vostri consigli. Ora però sono di fronte ad un momentaneo vicolo cieco, da cui spero mi facciate uscire 
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Il problema è questo :
Asta ideale rigida di massa M e lunghezza L ha il centro C vincolato a una cerniera di massa trascurabile, che a sua volta può scorrere su di un asse orizzontale senza attrito, permettendo all'asta di ruotare senza attrito in un piano verticale. Il sistema è in equilibrio con l'asta verticale. Un corpo puntiforme di massa m con velocità parallela e concorde $v_0$ all'asse x (asse orizzontale su cui può scorrere l'asta) urta in maniera anelastica l'asta a l/4 dal centro dell'asta rimanendovi quindi attaccato.
Voglio conoscere il modulo w della velocità angolare subito dopo l'urto.
Ho provato a ragionare così:
Scelgo come polo il centro dell'asta e scrivo la conservazione del momento angolare:
$-mv_0l/4 = Iw$
Forza peso e reazione vincolare non hanno momento, resta da capire chi è I, per cui con Huygens-Steiner calcolo che :
$I = (I_o)+ md^2$
$I_o$ è il momento di inerzia della sbarra inerziale con polo il centro di massa e vale $Ml^2/12$, mentre $d=l/4$ visto e considerato che devo tenere conto della pallina attaccata.
Fatte le dovute sostituzioni ricavo $ w = -12 mv_0/((3m+4M)l) $, ma ahimè dovrei invece trovarmi $ w = -12 mv_0/((7m+4M)l) $
Sapreste darmi una dritta sull'errore?
. Il problema è questo :
Asta ideale rigida di massa M e lunghezza L ha il centro C vincolato a una cerniera di massa trascurabile, che a sua volta può scorrere su di un asse orizzontale senza attrito, permettendo all'asta di ruotare senza attrito in un piano verticale. Il sistema è in equilibrio con l'asta verticale. Un corpo puntiforme di massa m con velocità parallela e concorde $v_0$ all'asse x (asse orizzontale su cui può scorrere l'asta) urta in maniera anelastica l'asta a l/4 dal centro dell'asta rimanendovi quindi attaccato.
Voglio conoscere il modulo w della velocità angolare subito dopo l'urto.
Ho provato a ragionare così:
Scelgo come polo il centro dell'asta e scrivo la conservazione del momento angolare:
$-mv_0l/4 = Iw$
Forza peso e reazione vincolare non hanno momento, resta da capire chi è I, per cui con Huygens-Steiner calcolo che :
$I = (I_o)+ md^2$
$I_o$ è il momento di inerzia della sbarra inerziale con polo il centro di massa e vale $Ml^2/12$, mentre $d=l/4$ visto e considerato che devo tenere conto della pallina attaccata.
Fatte le dovute sostituzioni ricavo $ w = -12 mv_0/((3m+4M)l) $, ma ahimè dovrei invece trovarmi $ w = -12 mv_0/((7m+4M)l) $
Sapreste darmi una dritta sull'errore?
Risposte
Dai, almeno farmi capire se il procedimento è corretto 
Il momento angolare dopo l'urto non è quello che hai scritto tu, ovvero la velocità angolare moltiplicata per il momento d'inerzia del corpo composito (asta+massa puntiforme), perché devi tenere conto che dopo l'urto il centro di massa dell'intero sistema, che non coincide col centro dell'asta, trasla in direzione x con velocità determinabile per mezzo della conservazione della quantità di moto.
Ad ogni modo il risultato che "dovresti" trovare mi pare anch'esso sbagliato (ragionando velocemente a lume di naso), ma adesso non ho il tempo di fare i conti.
Ad ogni modo il risultato che "dovresti" trovare mi pare anch'esso sbagliato (ragionando velocemente a lume di naso), ma adesso non ho il tempo di fare i conti.
Quindi dovrebbe essere:
$−m(v_0)l/4=Iw+(M+m)(v_g)r$
dove $v_g$ si ricava dalla conservazione della quantità di moto -> $m(v_o)=(M+m)(v_g) $
mentre r è invece il braccio, avendo scelto come polo C e messo in esso l'origine del mio S.d.R. allora dovrà essere $ml/((M+m)4)$
Rullo di tamburi....non mi trovo
$−m(v_0)l/4=Iw+(M+m)(v_g)r$
dove $v_g$ si ricava dalla conservazione della quantità di moto -> $m(v_o)=(M+m)(v_g) $
mentre r è invece il braccio, avendo scelto come polo C e messo in esso l'origine del mio S.d.R. allora dovrà essere $ml/((M+m)4)$
Rullo di tamburi....non mi trovo
Sei sicuro di aver scritto correttamente il momento di quantità di moto dopo l'urto?
Vale il primo teorema di Konig, secondo cui il momento angolare rispetto ad un punto è pari al momento angolare come se tutta la massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa, più il momento angolare osservato dal centro di massa.
I calcoli credo vengano un po' più lunghi.
Il risultato che hai trovato tu all'inizio vale se il centro di rotazione dell'asta fosse fisso e non potrebbe traslare.
Vale il primo teorema di Konig, secondo cui il momento angolare rispetto ad un punto è pari al momento angolare come se tutta la massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa, più il momento angolare osservato dal centro di massa.
I calcoli credo vengano un po' più lunghi.
Il risultato che hai trovato tu all'inizio vale se il centro di rotazione dell'asta fosse fisso e non potrebbe traslare.
Sì, ho fatto i conti e viene proprio [tex]\omega =- {v_0}\frac{{12m}}{{L\left( {7m + 4M} \right)}}[/tex] (anche se a prima vista mi pareva strano).
Poiché l'asta dopo l'urto trasla e ruota, si deve intendere la velocità angolare nel sistema relativo solidale con il centro dell'asta.
Poiché l'asta dopo l'urto trasla e ruota, si deve intendere la velocità angolare nel sistema relativo solidale con il centro dell'asta.
Ooook, finalmente!
Mi ritrovo con i risultati, sia in formule che in valori.
Grazie mille
Mi ritrovo con i risultati, sia in formule che in valori.
Grazie mille
Salve a tutti, mi trovo alle prese con lo stesso identico problema. Quello che non riesco a capire è come scrivere il secondo termine del teorema di konig cioè il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa del sistema.
$ Delta L=0 $ rispetto al polo $ C $ dove l'impulso della cerniera ha momento nullo
$ -mv_0l/4=(M+m)V_(G')l/16 + L_(G')$
dove $ l/16 $ è la distanza $ CG' $ con $ G'$ centro di massa del sistema dopo che la massa $P$ si è conficcata nella sbarra.
$V_G'$ si ottiene dalla conservazione lungo l'asse x della quantità di moto totale e viene: $V_G'=(mv_0)/(M+m)$
Il mio problema ora è scrivere $L_G'$, mettendomi nel sistema di riferimento del centro di massa con origine in $G'$ avrei $L_G'=mv(l/4-l/16) + I_(G')omega$ ? con $v=omega(l/4-l/16)$, oppure $L_G'=mv(l/4-l/16) + I_Comega$? Dato che Steiner non va utilizzato insieme a Konig.
$ Delta L=0 $ rispetto al polo $ C $ dove l'impulso della cerniera ha momento nullo
$ -mv_0l/4=(M+m)V_(G')l/16 + L_(G')$
dove $ l/16 $ è la distanza $ CG' $ con $ G'$ centro di massa del sistema dopo che la massa $P$ si è conficcata nella sbarra.
$V_G'$ si ottiene dalla conservazione lungo l'asse x della quantità di moto totale e viene: $V_G'=(mv_0)/(M+m)$
Il mio problema ora è scrivere $L_G'$, mettendomi nel sistema di riferimento del centro di massa con origine in $G'$ avrei $L_G'=mv(l/4-l/16) + I_(G')omega$ ? con $v=omega(l/4-l/16)$, oppure $L_G'=mv(l/4-l/16) + I_Comega$? Dato che Steiner non va utilizzato insieme a Konig.
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