Esercizio su un sistema a massa variabile
Salve a tutti conosco bene le regole del forum ma non riesco a capire proprio questo esercizio quindi non ho nessuna idea di come riuscire ad abbozzare una risposta:
l'esercizio richiede di calcolare la forza esercitata dai cuscinetti di un albero di una turbina dove un getto d'acqua entra al ritmo di 60kg/s con una velocità di 18 m/s e esce con una direzione perpendicolare a quella di ingresso con una velocità di 3 m/s. richiede poi di calcolare la potenza che viene fornita dall'acqua alla turbina ammettendo che l'energia mecanica si conservi.
io pensavo di applicare la formula $ Sigma F^(est)= (drho) / (dt) $ ma non capisco dove si va ad inserire la variazione di massa di 60Kg/s e come influisce la variazione di velocità
avevo pensato ad una cosa del genere: $ Sigma F^(est)= (drho) / (dt) = 60kg/s*(18-3)m/s = 900N $
ma il libro indica come risultato 1.1KN con un angolo di 9.5 gradi dalla direzione di ingresso a quella di uscita.....
Non ho la più pallida idea di come ricavare un angolo...mi viene in mente l'impulso ma non so come inserirlo
l'esercizio richiede di calcolare la forza esercitata dai cuscinetti di un albero di una turbina dove un getto d'acqua entra al ritmo di 60kg/s con una velocità di 18 m/s e esce con una direzione perpendicolare a quella di ingresso con una velocità di 3 m/s. richiede poi di calcolare la potenza che viene fornita dall'acqua alla turbina ammettendo che l'energia mecanica si conservi.
io pensavo di applicare la formula $ Sigma F^(est)= (drho) / (dt) $ ma non capisco dove si va ad inserire la variazione di massa di 60Kg/s e come influisce la variazione di velocità
avevo pensato ad una cosa del genere: $ Sigma F^(est)= (drho) / (dt) = 60kg/s*(18-3)m/s = 900N $
ma il libro indica come risultato 1.1KN con un angolo di 9.5 gradi dalla direzione di ingresso a quella di uscita.....
Non ho la più pallida idea di come ricavare un angolo...mi viene in mente l'impulso ma non so come inserirlo
Risposte
Infatti questo tipo di esercizi è un po' ingannevole.
Pensala in questo modo equivalente: ogni secondo viene sparata sulla pala della turbina una palla di gomma da 60 kg a 18 m/s.
Questa palla, dopo l'urto (che si suppone elastico, perchè ti dicono che l'energia mecc. si conserva) la palla esce a 3 m/s.
Usando la formula $E=1/2mv^2$ risulta tutto molto più chiaro. Fai la differenza tra l'energia entrante e uscente e hai l'energia rilasciata a ogni urto.
Questa energia viene rilasciata ogni secondo quindi la potenza è $P=(\DeltaE)/t=\DeltaE$.
Per vedere la forza sui cuscinetti è più difficile e bisogna lavorare di fantasia.
Sappiamo che la quantità di moto è $P=mv$.
Se pensiamo a $m$ come funzione del tempo e deriviamo rispetto al tempo (ottenendo la forza) abbiamo che $(dP)/(dt)=F=(dm)/(dt)v+ma$.
Chiamiamo $(dm)/(dt)=\mu$ (che sarebbero i 60 kg/s; $\mu=60$), quindi $F=\muv+ma$.
Ora immaginiamo il getto d'acqua come un getto geometricamente ideale (come uscente da un tubo sottile) di sezione zero e massa lineare $\mu=60 (kg)/s$.
La parte di getto che incide sulla pala in ogni istante ha massa infinitesima. (Sarebbe $m=\mu\ dt$ che è un infinitesimo siccome $dt$ è un infinitesimo).
Quindi del nostro $F=\muv+ma$ rimane solo $F=\muv$.
$ma$ è infinitesimo di $\muv$ come detto prima.
Ora, l'angolo di incidenza del getto sulla pala è determinato perchè se $\alpha$ è l'angolo di incidenza (0° = getto perpendicolare), abbiamo che la componente di velocità orizzontale parallela alla pala non subisce variazione, quindi deve essere che $F_o=3 \mu cos\alpha = 18 \mu sin\alpha$, quindi $\alpha=arctan (1/6)$. Dove 3 è la velocità di uscita e 18 quella di ingresso.
Abbiamo allora che la forza che viene scaricata sulla pala (e quindi chi se la subisce è il cuscinetto siccome è parallela all'albero) è la componente verticale $F_v=\mu(3sin\alpha+18cos\alpha)$.
Volendo esplicitare il tutto se
$v_i$ è la velocità di ingresso
$v_o$ è la velocità di uscita
$\mu$ è la massa lineare del getto
la forza è $F_v=\mu(v_i\ sin\ arctan((v_i)/(v_o))+v_o\ cos\ arctan((v_i)/(v_o)))$
PS. Se ti sembra poco chiaro... ti capisco....
Pensala in questo modo equivalente: ogni secondo viene sparata sulla pala della turbina una palla di gomma da 60 kg a 18 m/s.
Questa palla, dopo l'urto (che si suppone elastico, perchè ti dicono che l'energia mecc. si conserva) la palla esce a 3 m/s.
Usando la formula $E=1/2mv^2$ risulta tutto molto più chiaro. Fai la differenza tra l'energia entrante e uscente e hai l'energia rilasciata a ogni urto.
Questa energia viene rilasciata ogni secondo quindi la potenza è $P=(\DeltaE)/t=\DeltaE$.
Per vedere la forza sui cuscinetti è più difficile e bisogna lavorare di fantasia.
Sappiamo che la quantità di moto è $P=mv$.
Se pensiamo a $m$ come funzione del tempo e deriviamo rispetto al tempo (ottenendo la forza) abbiamo che $(dP)/(dt)=F=(dm)/(dt)v+ma$.
Chiamiamo $(dm)/(dt)=\mu$ (che sarebbero i 60 kg/s; $\mu=60$), quindi $F=\muv+ma$.
Ora immaginiamo il getto d'acqua come un getto geometricamente ideale (come uscente da un tubo sottile) di sezione zero e massa lineare $\mu=60 (kg)/s$.
La parte di getto che incide sulla pala in ogni istante ha massa infinitesima. (Sarebbe $m=\mu\ dt$ che è un infinitesimo siccome $dt$ è un infinitesimo).
Quindi del nostro $F=\muv+ma$ rimane solo $F=\muv$.
$ma$ è infinitesimo di $\muv$ come detto prima.
Ora, l'angolo di incidenza del getto sulla pala è determinato perchè se $\alpha$ è l'angolo di incidenza (0° = getto perpendicolare), abbiamo che la componente di velocità orizzontale parallela alla pala non subisce variazione, quindi deve essere che $F_o=3 \mu cos\alpha = 18 \mu sin\alpha$, quindi $\alpha=arctan (1/6)$. Dove 3 è la velocità di uscita e 18 quella di ingresso.
Abbiamo allora che la forza che viene scaricata sulla pala (e quindi chi se la subisce è il cuscinetto siccome è parallela all'albero) è la componente verticale $F_v=\mu(3sin\alpha+18cos\alpha)$.
Volendo esplicitare il tutto se
$v_i$ è la velocità di ingresso
$v_o$ è la velocità di uscita
$\mu$ è la massa lineare del getto
la forza è $F_v=\mu(v_i\ sin\ arctan((v_i)/(v_o))+v_o\ cos\ arctan((v_i)/(v_o)))$
PS. Se ti sembra poco chiaro... ti capisco....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo