Esercizio su stati coerenti

[m2d]

Buonasera ragazzi, ho un dubbio su un esercizio su stati coerenti. In particolare ho qualche difficoltà a calcolare il valore atteso dell'energia sullo stato coerente. Lo stato è il seguente:
$ | psi> = e^-(|lamda|^2) e^(lambda a^+)| 0> $ , che ho già normalizzato. Mi viene chiesto di calcolare il valore atteso dell'energia, calcolo che ho impostato nel seguente modo:

$ = = $ , dove ho dubbi è nel punto seguente:

$ = $ , sfruttando il fatto che lo stato è coerente, quindi è autofunzione dell'operatore distruzione. Da cui ho:
$ = $ $ lamda = $ , il problema è che da qui non riesco a sviluppare il prodotto interno. Come potrei continuare?

[roccolaroccia]

Ti propongo un approccio secondo me migliore, che è molto generale.

Un modo per calcolare il valore di aspettazione dell'hamiltoniana $H$ è quello di espandere $|\psi>$ nella base degli autostati di $H$ (quindi nella base $|n>$ con $n=0,1,2,...$) e poi il valore di aspettazione di $H$ sullo stato $|\psi>$ sarà $H=c_0*E_0+c_1*E_1+...$ dove $c_i=$, mentre $E_i$ è l'energia (autovalore dell'operatore $H$) dello stato $|i>$; ed è davvero semplice da calcolare questo ultimo bracket, per il seguente motivo:

Tu devi calcolare una cosa del genere:
$ $, dove i vari elementi della somma corrispondono a diverse potenze dell'operatore creazione. Se fai agire l'elemento della somma $n=0$ su $|0>$, ottieni lo stato $|1>$, analogamente se fai agire l'elemento n-esimo della somma ottieni lo stato $|i+1>$.

A te interessano solo i termini della somma che, applicati a $|0>$ restituiscono lo stato |i>, perche nel bracket che devi fare il bra è $$ (l'idea è che troverai c_i come una funzione dell'indice i).

A questo punto, conosci i $c_i$ e sai a memoria gli autovalori dell'oscillatore armonico, quindi puoi trovare $=c_0*E_0+c_1*E_1+...$.


Fammi sapere.

[cooper1]

scusate, magari dico io una scemenza ma secondo me la si sta facendo più complicata di quello che è.
sapendo che l'operatore di annichilazione ha autovettore $| \psi >$ con autovalore $\lambda$ allora si ha anche $ < \psi | \hat{\lambda}^{\text{+}} = < \psi | \lambda^{\star} $.
Per cui si ha $ < \psi | \hat{\lambda}^{\text{+}} \hat{\lambda} | \psi > = |\lambda|^2$

[roccolaroccia]

Si sono d'accordo, così è molto più facile.

L'operatore di creazione agisce sul bra come il suo daggerato, ovvero l'operatore distruzione, facendo il complesso coniugato del risultato. Ovvero:

$<\psi|a^+ = (a|\psi>)^* = (λ|\psi>)^* = λ^*<\psi|$
Dove per $λ^*$ intendo il complesso coniugato di $λ$

[m2d]

"cooper":scusate, magari dico io una scemenza ma secondo me la si sta facendo più complicata di quello che è.
sapendo che l'operatore di annichilazione ha autovettore $| \psi >$ con autovalore $\lambda$ allora si ha anche $ < \psi | \hat{\lambda}^{\text{+}} = < \psi | \lambda^{\star} $.
Per cui si ha $ < \psi | \hat{\lambda}^{\text{+}} \hat{\lambda} | \psi > = |\lambda|^2$

E hai proprio ragione, preso dalla sommatoria non mi sono accorto che l'esercizio era già praticamente risolto . Grazie mille.