Esercizio su operatori hermitiani
Buonasera ragazzi,
sono nuova e spero di non sbagliare a scrivere il post.
Avrei bisogno di una mano con un esercizio che non riesco a svolgere dato che non ho appunti completi per questa lezione.
Mi si chiede di calcolare alcuni commutatori e dimostrare che non sono hermitiani.
Parto con \( [\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}] \)
Per la prima parte ho trovato che:
\( [\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}]=2i\hbar \hat{p}\hat{x} \)
Ora devo far vedere che non è hermitiano, quindi devo calcolare l'operatore aggiunto:
\( ([\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}])^+=(\hat{p}\hat{p}\hat{x}\hat{x})^+- (\hat{x}\hat{p}\hat{p}\hat{x})^+
= \hat{x}^+\hat{x}^+ \hat{p}^+\hat{p}^+-\hat{x}^+\hat{p}^+\hat{p}^+ \hat{x}^+ \)
Qui mi sono bloccata. Avete qualche buon suggerimento per proseguire? Grazie!
[xdom="Martino"]Sposto in fisica[/xdom]
sono nuova e spero di non sbagliare a scrivere il post.
Avrei bisogno di una mano con un esercizio che non riesco a svolgere dato che non ho appunti completi per questa lezione.
Mi si chiede di calcolare alcuni commutatori e dimostrare che non sono hermitiani.
Parto con \( [\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}] \)
Per la prima parte ho trovato che:
\( [\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}]=2i\hbar \hat{p}\hat{x} \)
Ora devo far vedere che non è hermitiano, quindi devo calcolare l'operatore aggiunto:
\( ([\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}])^+=(\hat{p}\hat{p}\hat{x}\hat{x})^+- (\hat{x}\hat{p}\hat{p}\hat{x})^+
= \hat{x}^+\hat{x}^+ \hat{p}^+\hat{p}^+-\hat{x}^+\hat{p}^+\hat{p}^+ \hat{x}^+ \)
Qui mi sono bloccata. Avete qualche buon suggerimento per proseguire? Grazie!
[xdom="Martino"]Sposto in fisica[/xdom]
Risposte
Sei un fisico, vero? E' prerogativa dei fisici credere che le lettere dell'alfabeto possiedano significato intrinseco e immutabile e che gli esercizi si risolvano senza definire gli oggetti in uso.
Cosa è $\hat p$? cosa è $\hat x$? Stai componendo mappe lineari in quale spazio? La parentesi di Lie è definita nell'ovvio modo valido in ogni anello (cioè $[x,y]=xy-yx$), o in altra maniera? cosa è $T^+$ se $T$ è una mappa lineare?
P.S.: hai dimostrato che \(([\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}])^+= [\hat x^+, (\hat p^2 \hat x)^+]\). Ora che potresti fare?
Cosa è $\hat p$? cosa è $\hat x$? Stai componendo mappe lineari in quale spazio? La parentesi di Lie è definita nell'ovvio modo valido in ogni anello (cioè $[x,y]=xy-yx$), o in altra maniera? cosa è $T^+$ se $T$ è una mappa lineare?
P.S.: hai dimostrato che \(([\hat{p}^2\hat{x},\hat{x}])^+= [\hat x^+, (\hat p^2 \hat x)^+]\). Ora che potresti fare?
Perdonami, ho dato per scontato che fossero gli operatori posizione e impulso. L'esame è di meccanica quantistica.
Sono negli spazi di Hilbert. E sì, quella è la definizione, visto che chiede il commutatore.
E no sono un matematico, ma solo molto stanca.
è qui che mi son bloccata. Non so se il mio collega nei suoi appunti ha saltato proprietà per me utili.
Sono negli spazi di Hilbert. E sì, quella è la definizione, visto che chiede il commutatore.
E no sono un matematico, ma solo molto stanca.
è qui che mi son bloccata. Non so se il mio collega nei suoi appunti ha saltato proprietà per me utili.
"un matematico troppo stanco per ragionare nel modo giusto" è un'ottima definizione operativa di "fisico".
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