Esercizio su mutua induzione
Vi riporto un esercizio del Mazzoldi-Nigro-Voci (volume II/seconda edizione/es. 10.15 pag. 417) che non mi quadra molto:
"Una bobina circolare compatta, formata da $ N_1=3*10^3 $ spire di raggio $ R=25cm $, è collegata ad un misuratore di f.e.m.; una seconda bobina compatta, coassiale alla prima (asse x) e ad essa parallela, composta da $ N_2=100 $ spire di raggio $ r=0.5 cm $, è percorsa dalla corrente $ i=15 A $ e si muove lungo l'asse x con velocità costante. Calcolare il coefficiente di mutua induzione $ M(x) $ in funzione della distanza $ x $ tra i centri e il valore della f.e.m. $ E(x) $ misurato nella prima bobina quando la seconda ha velocità $ v=20 m/s $."
La soluzione che dà il libro è la seguente:
" $ M(x)=(mu_0 N_1 N_2 R^2 pi r^2)/(2(x^2+R^2)^(3/2)) $ ;
$ E(x)=-(dPhi)/dt=-i(dM)/dt=3 mu_0 i N_1 N_2 R^2 pi r^2 (xv)/(x^2+R^2)^(5/2) $ . "
La prima cosa che non mi quadra è questa:
per calcolare $ M(x) $ bisogna considerare il flusso $ Phi $ del campo magnetico della spira piccola (che è percorsa dalla corrente $ i $ ) attraverso la spira grande, ma il campo della spira piccola non si può considerare costante su tutta la superficie della spiara grande! Non è che nel testo dell'esercizio c'è un errore consistente nell'aver scambiato i ruoli delle spire? Ossia, ad esemio, la spira piccola, col misuratore di f.e.m., dovrebbe stare ferma, mentre quella grande, percorsa dalla corrente i, si muoverebbe! In tal modo si potrebbe considerare effettivamente costante il campo magnetico della spira grande sulla superficie della spira piccola (perché è appunto molto piccola rispetto all'altra) e calcolarne il flusso senza problemi.
Altro arcano è questo:
pur considerando il caso così come descritto dal problema e calcolando il flusso del campo della spira piccola attraverso la spira grande, a me $ E(x) $ viene la metà rispetto alla soluzione del libro e inoltre nei denominatori di entrambe le grandezze richieste io trovo $ (x^2+r^2)^(tizio) $ e non $ (x^2+R^2)^(tizio) $ ! Se quest'ultima cosa che ho scritto è vera, ciò avvalorerebbe la tesi dell'errore nel testo dell'esercizio perché il fattore $ (x^2+R^2)^(tizio) $ a denominatore deriverebbe dal campo magnetico della spira grande che ha appunto raggio $ R $.
Voi che ne pensate?
Grazie mille!
Simone
"Una bobina circolare compatta, formata da $ N_1=3*10^3 $ spire di raggio $ R=25cm $, è collegata ad un misuratore di f.e.m.; una seconda bobina compatta, coassiale alla prima (asse x) e ad essa parallela, composta da $ N_2=100 $ spire di raggio $ r=0.5 cm $, è percorsa dalla corrente $ i=15 A $ e si muove lungo l'asse x con velocità costante. Calcolare il coefficiente di mutua induzione $ M(x) $ in funzione della distanza $ x $ tra i centri e il valore della f.e.m. $ E(x) $ misurato nella prima bobina quando la seconda ha velocità $ v=20 m/s $."
La soluzione che dà il libro è la seguente:
" $ M(x)=(mu_0 N_1 N_2 R^2 pi r^2)/(2(x^2+R^2)^(3/2)) $ ;
$ E(x)=-(dPhi)/dt=-i(dM)/dt=3 mu_0 i N_1 N_2 R^2 pi r^2 (xv)/(x^2+R^2)^(5/2) $ . "
La prima cosa che non mi quadra è questa:
per calcolare $ M(x) $ bisogna considerare il flusso $ Phi $ del campo magnetico della spira piccola (che è percorsa dalla corrente $ i $ ) attraverso la spira grande, ma il campo della spira piccola non si può considerare costante su tutta la superficie della spiara grande! Non è che nel testo dell'esercizio c'è un errore consistente nell'aver scambiato i ruoli delle spire? Ossia, ad esemio, la spira piccola, col misuratore di f.e.m., dovrebbe stare ferma, mentre quella grande, percorsa dalla corrente i, si muoverebbe! In tal modo si potrebbe considerare effettivamente costante il campo magnetico della spira grande sulla superficie della spira piccola (perché è appunto molto piccola rispetto all'altra) e calcolarne il flusso senza problemi.
Altro arcano è questo:
pur considerando il caso così come descritto dal problema e calcolando il flusso del campo della spira piccola attraverso la spira grande, a me $ E(x) $ viene la metà rispetto alla soluzione del libro e inoltre nei denominatori di entrambe le grandezze richieste io trovo $ (x^2+r^2)^(tizio) $ e non $ (x^2+R^2)^(tizio) $ ! Se quest'ultima cosa che ho scritto è vera, ciò avvalorerebbe la tesi dell'errore nel testo dell'esercizio perché il fattore $ (x^2+R^2)^(tizio) $ a denominatore deriverebbe dal campo magnetico della spira grande che ha appunto raggio $ R $.
Voi che ne pensate?
Grazie mille!
Simone
Risposte
Anche a me il denominatore viene come il tuo e non come quello del libro. Il problema sostanziale è che dovrebbero, i coefficienti M, calcolati nei due casi, uscire uguali...E non avviene. Qualcuno sa spiegare il perchè? O siamo noi che sbagliamo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo