Esercizio su momento di inerzia e momenti angolari
The problem is...
Ho un disco di raggio R, massa M che ruota attorno ad un asse perpendicolare passante per il suo centro C ad una velocità angolare x.
Un proiettile di massa m viaggia perpendicolarmente al disco (parallelamente all'asse del disco) a velocità costante e lo incontra con un urto totalemente anaelastico in un punto R/2 rispetto al centro C, bloccandolo istantaneamente.
Ora mi chiede la 1) velocità v del proiettile, 2) la variazione di quantità di moto e 3) l'energia meccanica dissipata.
la 1) il mio docente la trova giustamente con un'equazione sui momenti angolari.
$ Ix−mvR/2=0$ e risolve. con $I=1/2mR^2$
Dalla teoria ho compreso che la seconda equazione cardinale della meccanica afferma che se la sommatoria dei momenti di forza è uguale a 0, allora i momenti angolare finale e iniziale sono uguali.
Non comprendo come posso capire se la sommatoria è nulla e come ha posto tale equazione.
Io avrei posto, con L momento angolare:
$ Li=mvR/2 +Ix$ e$ Lf=0$ e avrei risolto!
2) Il proiettile blocca istantaneamente il sistema, portando la velocità del centro di massa a 0.
Ciò mi dice che $deltaP=P(f)−P(i)=−P(i)$
Perfetto, quindi la quantità di moto del sistema sarà la quantità di moto del proiettile più la quantità di moto del disco.
Il risultato però è −mv, quindi comprende solo la q.d.m. del proiettile. Sapresti indicarmi il perché? (penso perchè il disco ha velocità nel centro di massa nulla e quindi la quantità di moto si annulla, ma non sono sicuro)
3) la quantità di energia dissipata la trovo rendendomi conto che l'energia cinetica finale è nulla, quindi tutta l'energia cinetica iniziale è stata dissipata, ovvero K è ciò che sto cercando:
$E=K(f) − K(i) = 0 − K(i)=−(1/2mv^2+1/2Ix^2)$ [da formule]
Grazie!
Ho un disco di raggio R, massa M che ruota attorno ad un asse perpendicolare passante per il suo centro C ad una velocità angolare x.
Un proiettile di massa m viaggia perpendicolarmente al disco (parallelamente all'asse del disco) a velocità costante e lo incontra con un urto totalemente anaelastico in un punto R/2 rispetto al centro C, bloccandolo istantaneamente.
Ora mi chiede la 1) velocità v del proiettile, 2) la variazione di quantità di moto e 3) l'energia meccanica dissipata.
la 1) il mio docente la trova giustamente con un'equazione sui momenti angolari.
$ Ix−mvR/2=0$ e risolve. con $I=1/2mR^2$
Dalla teoria ho compreso che la seconda equazione cardinale della meccanica afferma che se la sommatoria dei momenti di forza è uguale a 0, allora i momenti angolare finale e iniziale sono uguali.
Non comprendo come posso capire se la sommatoria è nulla e come ha posto tale equazione.
Io avrei posto, con L momento angolare:
$ Li=mvR/2 +Ix$ e$ Lf=0$ e avrei risolto!
2) Il proiettile blocca istantaneamente il sistema, portando la velocità del centro di massa a 0.
Ciò mi dice che $deltaP=P(f)−P(i)=−P(i)$
Perfetto, quindi la quantità di moto del sistema sarà la quantità di moto del proiettile più la quantità di moto del disco.
Il risultato però è −mv, quindi comprende solo la q.d.m. del proiettile. Sapresti indicarmi il perché? (penso perchè il disco ha velocità nel centro di massa nulla e quindi la quantità di moto si annulla, ma non sono sicuro)
3) la quantità di energia dissipata la trovo rendendomi conto che l'energia cinetica finale è nulla, quindi tutta l'energia cinetica iniziale è stata dissipata, ovvero K è ciò che sto cercando:
$E=K(f) − K(i) = 0 − K(i)=−(1/2mv^2+1/2Ix^2)$ [da formule]
Grazie!
Risposte
Della, avevo capito bene, il proiettile viaggia parallelamente all'asse di rotazione del disco.
E allora il problema è sbagliato, se non ho le traveggole ( ma potrebbe anche darsi, visto il caldo che fa!....)
Non si può fermare un disco che ruota attorno ad un asse, che chiamo $z$, di versore $vec(k)\$ , con un proiettile che viaggia parallelamente a $z$, cioè con velocità $ vecv = v*veck$
Il momento angolare iniziale del disco è infatti un vettore giacente su $z$ , diciamo : $ vecL_d=I\omegavec(k)$
Il momento angolare del proiettile rispetto al centro del disco $O$, detto $vecr$ il raggio vettore, è uguale in ogni istante a : $vecL_p=vecr\timesmv*\veck\$
Questo vettore è perpendicolare al piano che contiene sia l'asse del disco che la retta su cui si muove il proiettile, cioè su cui giace $vecv$.
Perciò, il vettore momento angolare del proiettile è in ogni istante parallelo al piano $Oxy$ , normale all'asse del disco.
I due vettori $ vecL_d$ e $vecL_p$ sono perpendicolari tra loro, dunque, e non potranno mai farsi equilibrio.
Ma può darsi che mi sbagli...sai , mi succede spesso in questi ultimi tempi...sono un rozzo marinaio...
E allora ti chiedo: sei proprio sicuro che il proiettile viaggi parallelamente all'asse del disco? Per caso, non è che il proiettile viaggi perpendicolarmente all'asse del disco? Solo così il suo momento angolare rispetto al centro del disco può essere un vettore giacente interamente sull'asse di rotazione, ed equilibrare quello iniziale del solo disco.
In quanto alla variazione della qdm, in questa ipotesi più corretta, essendo fisso l'asse del disco esso assorbe l'urto, quindi si azzera la qdm del proiettile. Il disco ha qdm nulla rispetto al proprio centro, che è cdm.
Comunque, è vero che il momento angolare di un sistema, calcolato rispetto ad un polo (in genere fisso o coincidente col cdm) può variare se c'è un momento di forze esterne rispetto allo stesso polo. Qui non ci sono momenti di forze esterne.
Scusa ma sei M o F ?
E allora il problema è sbagliato, se non ho le traveggole ( ma potrebbe anche darsi, visto il caldo che fa!....)
Non si può fermare un disco che ruota attorno ad un asse, che chiamo $z$, di versore $vec(k)\$ , con un proiettile che viaggia parallelamente a $z$, cioè con velocità $ vecv = v*veck$
Il momento angolare iniziale del disco è infatti un vettore giacente su $z$ , diciamo : $ vecL_d=I\omegavec(k)$
Il momento angolare del proiettile rispetto al centro del disco $O$, detto $vecr$ il raggio vettore, è uguale in ogni istante a : $vecL_p=vecr\timesmv*\veck\$
Questo vettore è perpendicolare al piano che contiene sia l'asse del disco che la retta su cui si muove il proiettile, cioè su cui giace $vecv$.
Perciò, il vettore momento angolare del proiettile è in ogni istante parallelo al piano $Oxy$ , normale all'asse del disco.
I due vettori $ vecL_d$ e $vecL_p$ sono perpendicolari tra loro, dunque, e non potranno mai farsi equilibrio.
Ma può darsi che mi sbagli...sai , mi succede spesso in questi ultimi tempi...sono un rozzo marinaio...
E allora ti chiedo: sei proprio sicuro che il proiettile viaggi parallelamente all'asse del disco? Per caso, non è che il proiettile viaggi perpendicolarmente all'asse del disco? Solo così il suo momento angolare rispetto al centro del disco può essere un vettore giacente interamente sull'asse di rotazione, ed equilibrare quello iniziale del solo disco.
In quanto alla variazione della qdm, in questa ipotesi più corretta, essendo fisso l'asse del disco esso assorbe l'urto, quindi si azzera la qdm del proiettile. Il disco ha qdm nulla rispetto al proprio centro, che è cdm.
Comunque, è vero che il momento angolare di un sistema, calcolato rispetto ad un polo (in genere fisso o coincidente col cdm) può variare se c'è un momento di forze esterne rispetto allo stesso polo. Qui non ci sono momenti di forze esterne.
Scusa ma sei M o F ?
M, mi chiamo Luca 
Ti cito il testo così vediamo se ho cannato io la comprensione:
"Un disco omogeneo di raggio R = 40 cm e massa M = 4.0 Kg ruota in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il suo centro C con una velocità angolare w= 10 rad/s.
Un proiettile di massa m=0.1 Kg, che viaggia a velocità costante su una retta distante R/2 dal centro C e giacente sul piano del disco, ci conficca nel bordo del disco con un urto completamente anaelastico e lo blocca istantaneamente"
Credo proprio tu abbia ragione.
Se sono perpendicolari è ragionevole che non possono equilibrarsi!!
Il discorso è: Perchè quando calcolo il momento finale tengo solo conto del proiettile e quando calcolo quello iniziale solo quella del disco?
Ti cito il testo così vediamo se ho cannato io la comprensione:
"Un disco omogeneo di raggio R = 40 cm e massa M = 4.0 Kg ruota in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il suo centro C con una velocità angolare w= 10 rad/s.
Un proiettile di massa m=0.1 Kg, che viaggia a velocità costante su una retta distante R/2 dal centro C e giacente sul piano del disco, ci conficca nel bordo del disco con un urto completamente anaelastico e lo blocca istantaneamente"
Credo proprio tu abbia ragione.
Se sono perpendicolari è ragionevole che non possono equilibrarsi!!
Il discorso è: Perchè quando calcolo il momento finale tengo solo conto del proiettile e quando calcolo quello iniziale solo quella del disco?
Ah ,lo vedi che il proiettile viaggia nel piano del disco, cioè NON parallelamente all'asse! Non poteva essere, Luca! Ok, disguido chiarito.Veniamo a noi.
Tu chiedi :
E non ho capito ( cioè...ho capito...ma vorrei che capissi tu, e chiedessi meglio...) a quale momento finale e iniziale ti riferisci. Ti riferisci al momento angolare giusto?
Allora, per la conservazione del momento angolare TOTALE del sistema, il mom angolare finale (totale!) deve essere uguale a quello iniziale (totale!).
Quello finale del sistema è zero. Quello iniziale, é il risultante vettoriale di due vettori : $vecL = vecL_(dis) + vecL_(pro)$ , i quali sono :
$vecL_(dis)= I\omega*veck$ ....(1)
$vecL_(pro)= - mvd*veck$ .....(2)
dove ho chiamato $d$ la distanza del centro del disco dalla traiettoria del proiettile.
E' chiaro che il vettore mom angolare del proiettile deve avere verso opposto a quello del disco, se non come fa poi il proiettile a bloccare il disco dopo l'urto anelastico?
Se sommi (1) e (2), ottieni il vettore $vecL$ iniziale totale. Uguagliando a quello finale nullo, e passando dai vettori alle componenti sull'asse $z$, ottieni quello che ti serve .
Tu chiedi :
Il discorso è: Perchè quando calcolo il momento finale tengo solo conto del proiettile e quando calcolo quello iniziale solo quella del disco?
E non ho capito ( cioè...ho capito...ma vorrei che capissi tu, e chiedessi meglio...) a quale momento finale e iniziale ti riferisci. Ti riferisci al momento angolare giusto?
Allora, per la conservazione del momento angolare TOTALE del sistema, il mom angolare finale (totale!) deve essere uguale a quello iniziale (totale!).
Quello finale del sistema è zero. Quello iniziale, é il risultante vettoriale di due vettori : $vecL = vecL_(dis) + vecL_(pro)$ , i quali sono :
$vecL_(dis)= I\omega*veck$ ....(1)
$vecL_(pro)= - mvd*veck$ .....(2)
dove ho chiamato $d$ la distanza del centro del disco dalla traiettoria del proiettile.
E' chiaro che il vettore mom angolare del proiettile deve avere verso opposto a quello del disco, se non come fa poi il proiettile a bloccare il disco dopo l'urto anelastico?
Se sommi (1) e (2), ottieni il vettore $vecL$ iniziale totale. Uguagliando a quello finale nullo, e passando dai vettori alle componenti sull'asse $z$, ottieni quello che ti serve .
MOLTO bene.
Ora mi manca il passaggio chiave però. Come posso capire se il momento angolare $L$ si conserva?
Da teoria so che devo guardare la risultante del momento delle forze esterne.
Le forze interne per il III principio di Newton si elidono e danno risultante nulla, implicazione momento nullo
La gravità, inoltre, intercettando il polo del momento, avrà raggio uguale a 0, implicazione momento nullo.
Come faccio a comprendere se ci sono altre forze esterne al sistema che non permettono la conservazione della quantità angolare? ad esempio, se ci fosse un atrito dinamico nella rotazione del disco, la risultante del momento delle forze esterne non sarebbe più 0, giusto?
Ti ringrazio ancora per la perfetta delucidazione!
Ora mi manca il passaggio chiave però. Come posso capire se il momento angolare $L$ si conserva?
Da teoria so che devo guardare la risultante del momento delle forze esterne.
Le forze interne per il III principio di Newton si elidono e danno risultante nulla, implicazione momento nullo
La gravità, inoltre, intercettando il polo del momento, avrà raggio uguale a 0, implicazione momento nullo.
Come faccio a comprendere se ci sono altre forze esterne al sistema che non permettono la conservazione della quantità angolare? ad esempio, se ci fosse un atrito dinamico nella rotazione del disco, la risultante del momento delle forze esterne non sarebbe più 0, giusto?
Ti ringrazio ancora per la perfetta delucidazione!
Se c'è momento di forze esterne, o se ci sono comunque forze esterne che hanno un momento in grado di causare variazione del momento angolare, il problema te lo dice.
Potresti obiettare, nel caso del tuo problema: ma alla fine il momento angolare è cambiato! Allora c'è stato, un momento di forze esterne che ha azzerato il momento angolare del disco!
E io, che cosa ti risponderei? Per fartela breve, ti direi : puoi considerare il solo disco, col suo momento angolare che si annulla, ma allora il "sistema" non è più "disco+proiettile", ma "disco" soltanto. E allora, il momento esterno che azzera il momento angolare del disco è quello della forza impulsiva del proiettile che urta anelasticamente il disco, in un tempuscolo indefinibile.E' chiaro?
E analogamente, potresti dirmi : il proiettile, che aveva un momento angolare pure lui, si ferma e quindi il suo momento angolare va a zero! E ti direi, per la stessa ragione di prima: stai considerando solo il "sistema proiettile" . Il disco, nell'urto anelastico, funziona in pratica da freno e nello stesso tempuscolo lo frena.
Insomma, tutto dipende da quello che vuoi considerare come "sistema". Siccome però questo benedetto tempuscolo non riusciamo a quantificarlo, saltiamo "a piè pari" le due frenate separate, e consideriamo il sistema "D+P" . Così, le forze che si sono scambiate in quel tempuscolo....ci fanno un baffo !
Ciao.
Potresti obiettare, nel caso del tuo problema: ma alla fine il momento angolare è cambiato! Allora c'è stato, un momento di forze esterne che ha azzerato il momento angolare del disco!
E io, che cosa ti risponderei? Per fartela breve, ti direi : puoi considerare il solo disco, col suo momento angolare che si annulla, ma allora il "sistema" non è più "disco+proiettile", ma "disco" soltanto. E allora, il momento esterno che azzera il momento angolare del disco è quello della forza impulsiva del proiettile che urta anelasticamente il disco, in un tempuscolo indefinibile.E' chiaro?
E analogamente, potresti dirmi : il proiettile, che aveva un momento angolare pure lui, si ferma e quindi il suo momento angolare va a zero! E ti direi, per la stessa ragione di prima: stai considerando solo il "sistema proiettile" . Il disco, nell'urto anelastico, funziona in pratica da freno e nello stesso tempuscolo lo frena.
Insomma, tutto dipende da quello che vuoi considerare come "sistema". Siccome però questo benedetto tempuscolo non riusciamo a quantificarlo, saltiamo "a piè pari" le due frenate separate, e consideriamo il sistema "D+P" . Così, le forze che si sono scambiate in quel tempuscolo....ci fanno un baffo !
Ciao.
Sei una cosa fenomenale a spiegare.
Se martedì mi va bene ti pago da bere con una ricarica postepay, non so dove abiti LoL
Grazie ancora!
Se martedì mi va bene ti pago da bere con una ricarica postepay, non so dove abiti LoL
Grazie ancora!
"Della92":
Sei una cosa fenomenale a spiegare.
Se martedì mi va bene ti pago da bere con una ricarica postepay, non so dove abiti LoL
Grazie ancora!
Sono sicuro che ti andrà bene Martedi. Il mio solo piacere è che chi legge capisca.
Grazie, ma non bevo, anche se in effetti sono un rozzo marinaio che frequenta osterie del porto e ubriaconi...
Prendo però dei gran caffè...
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