Esercizio su forze
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Un corpo P di massa m viene poggiato sopra la faccia liscia (inclinata di un angolo [tex]\alpha[/tex]) di un blocco B a sua volta poggiato su una superficie orizzontale liscia.
Qual è l'accelerazione del blocco?
Io ho ragionato così: la forza peso di P si può scomporre in due componenti, una parallela alla faccia di B e una normale ad esso; la componente normale (che ha modulo [tex]mg \cdot cos\alpha[/tex]) viene equilibrata dalla reazione vincolare di B, [tex]R[/tex], mentre l'altra (che è responsabile del moto di P e che ha modulo [tex]mg \cdot sin\alpha[/tex]), chiamiamola [tex]F[/tex], causa una forza uguale ed opposta esercitata su B la cui componente verticale viene equilibrata dal peso di quest'ultimo, al contrario di quella orizzontale che invece accelera B (e che ha modulo [tex]mg \cdot cos\alpha \cdot sin\alpha[/tex])
Quest'ultima parte però non mi convince molto.
Per quanto riguarda le coppie azione reazione, ho pensato che il peso di P fa coppia con la forza esercitata sulla Terra e la forza che P esercita su B ha come reazione [tex]R + F[/tex], come vi sembra?
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Un corpo P di massa m viene poggiato sopra la faccia liscia (inclinata di un angolo [tex]\alpha[/tex]) di un blocco B a sua volta poggiato su una superficie orizzontale liscia.
Qual è l'accelerazione del blocco?
Io ho ragionato così: la forza peso di P si può scomporre in due componenti, una parallela alla faccia di B e una normale ad esso; la componente normale (che ha modulo [tex]mg \cdot cos\alpha[/tex]) viene equilibrata dalla reazione vincolare di B, [tex]R[/tex], mentre l'altra (che è responsabile del moto di P e che ha modulo [tex]mg \cdot sin\alpha[/tex]), chiamiamola [tex]F[/tex], causa una forza uguale ed opposta esercitata su B la cui componente verticale viene equilibrata dal peso di quest'ultimo, al contrario di quella orizzontale che invece accelera B (e che ha modulo [tex]mg \cdot cos\alpha \cdot sin\alpha[/tex])
Quest'ultima parte però non mi convince molto.
Per quanto riguarda le coppie azione reazione, ho pensato che il peso di P fa coppia con la forza esercitata sulla Terra e la forza che P esercita su B ha come reazione [tex]R + F[/tex], come vi sembra?
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Risposte
Se ho capito bene il problema io ho una pallina che scivola su un corpo e questo corpo, a sua volta, scivola lungo la superficie di appoggio, giusto? La forza peso della pallina si può scomporre come giustamente dici tu nelle due componenti normale e parallela alla superficie di B. Se non vi è attrito la componente parallela del moto non ha effetto alcuno sul blocco B. Hai quindi una sola forza (quella perpendicolare alla superficie di scorrimento) che agisce su B. La componente verticale non ha effetto alcuno sul moto di B in quanto appoggiato su una superficie piana, mentre la componente orizzontale pari a $mg⋅cosα⋅sinα$ è la responsabile del moto.
"dRic":
La forza peso della pallina si può scomporre ...
Sei sicuro di quello che hai scritto?
"marco.ve":
... (e che ha modulo $mgcos\alphasin\alpha$).
Quest'ultima parte però non mi convince molto.
Fai bene a non essere convinto.
Quando detti fisica 1 questi esercizi li avevo capiti così. Se ho scritto qualche cavolata, mi scuso, e magari fammela notare per il futuro perché a me sembra sensato come ragionamento...
Ps: tolto l'ultima parte perché mi sono accorto che avevo detto una cosa senza senso, ma per il resto mi pareva giusto
Pss: ci ho ripensato e secondo me era giusta lo stesso... Non la sto a rimettere perché era inutile al problema. Comunque aspetto correzioni perché se ho certe lacune meglio che le vada a colmare.
Ps: tolto l'ultima parte perché mi sono accorto che avevo detto una cosa senza senso, ma per il resto mi pareva giusto
Pss: ci ho ripensato e secondo me era giusta lo stesso... Non la sto a rimettere perché era inutile al problema. Comunque aspetto correzioni perché se ho certe lacune meglio che le vada a colmare.
La forza che accelera il blocco è la componente orizzontale della reazione vincolare interna che si esercita tra il corpo e il blocco medesimo. Nel sistema di riferimento non inerziale solidale al blocco, le forze che agiscono sul corpo sono tre:
1. La forza peso diretta lungo la verticale (verso il basso).
2. La forza apparente di trascinamento diretta lungo l'orizzontale (verso destra).
3. La reazione vincolare interna diretta perpendicolarmente al piano inclinato (verso l'alto).
Poiché in questo sistema di riferimento il corpo accelera lungo la direzione del piano inclinato, la somma delle loro componenti ad essa perpendicolari deve essere nulla:
$[-mgcos\alpha+m|a_t|sin\alpha+|R|=0] rarr [|R|=mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha] ^^ [|a_t| lt (gcos\alpha)/sin\alpha]$
Scrivendo il secondo principio della dinamica per il blocco in un sistema di riferimento inerziale:
$[M|a_t|=|R|sin\alpha] rarr [M|a_t|=(mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha)sin\alpha] rarr [|a_t|=(mgcos\alphasin\alpha)/(M+msin^2\alpha)]$
Giova la pena sottolineare che la condizione di cui sopra è sempre verificata:
$[|a_t| lt (gcos\alpha)/sin\alpha] rarr [(mgcos\alphasin\alpha)/(M+msin^2\alpha) lt (gcos\alpha)/sin\alpha] rarr [Mgcos\alpha gt 0]$
Più intuitivamente, poiché la forza apparente di trascinamento tende a staccare il corpo dal blocco, la reazione vincolare interna, rispetto al caso in cui il blocco non possa accelerare, è senz'altro minore:
$[|R|=mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha]$
Motivo per il quale la soluzione proposta in precedenza non può essere considerata corretta.
1. La forza peso diretta lungo la verticale (verso il basso).
2. La forza apparente di trascinamento diretta lungo l'orizzontale (verso destra).
3. La reazione vincolare interna diretta perpendicolarmente al piano inclinato (verso l'alto).
Poiché in questo sistema di riferimento il corpo accelera lungo la direzione del piano inclinato, la somma delle loro componenti ad essa perpendicolari deve essere nulla:
$[-mgcos\alpha+m|a_t|sin\alpha+|R|=0] rarr [|R|=mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha] ^^ [|a_t| lt (gcos\alpha)/sin\alpha]$
Scrivendo il secondo principio della dinamica per il blocco in un sistema di riferimento inerziale:
$[M|a_t|=|R|sin\alpha] rarr [M|a_t|=(mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha)sin\alpha] rarr [|a_t|=(mgcos\alphasin\alpha)/(M+msin^2\alpha)]$
Giova la pena sottolineare che la condizione di cui sopra è sempre verificata:
$[|a_t| lt (gcos\alpha)/sin\alpha] rarr [(mgcos\alphasin\alpha)/(M+msin^2\alpha) lt (gcos\alpha)/sin\alpha] rarr [Mgcos\alpha gt 0]$
Più intuitivamente, poiché la forza apparente di trascinamento tende a staccare il corpo dal blocco, la reazione vincolare interna, rispetto al caso in cui il blocco non possa accelerare, è senz'altro minore:
$[|R|=mgcos\alpha-m|a_t|sin\alpha]$
Motivo per il quale la soluzione proposta in precedenza non può essere considerata corretta.
Intanto grazie mille per le risposte,
Si, era quello che intendevo
Sergeant Elias, con forza vincolare interna intendi la forza esercitata dal blocco sul corpo (come al punto 3), che però non capisco come possa essere responsabile dell'accelerazione del blocco avendo la sua componente orizzontale lo stesso verso del moto orizzontale del corpo oppure qualcos'altro (spero di essermi spiegato); per il resto mi sembra di aver capito il tuo ragionamento.
"dRic":
Se ho capito bene il problema io ho una pallina che scivola su un corpo e questo corpo, a sua volta, scivola lungo la superficie di appoggio, giusto?
Si, era quello che intendevo
Sergeant Elias, con forza vincolare interna intendi la forza esercitata dal blocco sul corpo (come al punto 3), che però non capisco come possa essere responsabile dell'accelerazione del blocco avendo la sua componente orizzontale lo stesso verso del moto orizzontale del corpo oppure qualcos'altro (spero di essermi spiegato); per il resto mi sembra di aver capito il tuo ragionamento.
"marco.ve":
... con forza vincolare interna intendi la forza esercitata dal blocco sul corpo (come al punto 3) ...
Certamente, visto che le tre forze elencate agiscono sul corpo:
"anonymous_0b37e9":
... le forze che agiscono sul corpo sono tre ...
Per il principio di azione e reazione, sul blocco agisce una reazione vincolare interna che ha verso opposto (per intenderci, quella con componente orizzontale verso sinistra e componente verticale verso il basso).
"anonymous_0b37e9":
Per il principio di azione e reazione, sul blocco agisce una reazione vincolare interna che ha verso opposto (per intenderci, quella con componente orizzontale verso sinistra e componente verticale verso il basso).
Scusa ma più ci penso più mi faccio confusione, potresti spiegare meglio questa frase?
La reazione vincolare interna, per il principio di azione e reazione, agisce su entrambi i sistemi materiali, il corpo e il blocco. In sintesi, essa rappresenta la forza con cui essi interagiscono nel corso della loro evoluzione dinamica. Quando si considera il corpo (e allora la suddetta forza è esercitata dal blocco), la componente orizzontale è diretta verso destra, la componente verticale è diretta verso l'alto (il vettore punta in direzione Nord-Est). Quando si considera il blocco (e allora la suddetta forza è esercitata dal corpo), la componente orizzontale è diretta verso sinistra (rappresenta la forza che accelera il blocco), la componente verticale è diretta verso il basso (il vettore punta in direzione Sud-Ovest). Se non è ancora chiaro, potrebbe aiutarti un diagramma di corpo libero per entrambi.
P.S.
L'errore che hai commesso in apertura della presente discussione è quello di pensare che il corpo e il blocco interagiscano mediante la componente della forza peso del corpo perpendicolare al piano inclinato del blocco. Invece, la forza peso del corpo è una forza che agisce solo sul corpo, se vuoi, dovuta alla sua interazione gravitazionale a lungo raggio con la terra. Come può rappresentare la forza d'interazione a corto raggio dovuta al "contatto" tra il corpo e il blocco? Quest'ultima è la reazione vincolare interna di cui sopra, la cui origine è di natura puramente elettromagnetica.
P.S.
L'errore che hai commesso in apertura della presente discussione è quello di pensare che il corpo e il blocco interagiscano mediante la componente della forza peso del corpo perpendicolare al piano inclinato del blocco. Invece, la forza peso del corpo è una forza che agisce solo sul corpo, se vuoi, dovuta alla sua interazione gravitazionale a lungo raggio con la terra. Come può rappresentare la forza d'interazione a corto raggio dovuta al "contatto" tra il corpo e il blocco? Quest'ultima è la reazione vincolare interna di cui sopra, la cui origine è di natura puramente elettromagnetica.
Ok, quindi partendo dall'inizio e considerando sempre un sistema di riferimento inerziale solidale al suolo: la Terra e il corpo si attraggono, ciò causa una accelerazione del corpo che quando si trova a contatto col blocco esercita una forza su die esso normale al piano inclinato (la cui intensità deve essere determinata), il quale risponde con una reazione vincolare con stessa direzione e verso opposto (e stesso modulo che hai determinato prima ed è [tex]mgcos\alpha -m|a_t|sin\alpha[/tex]).
Dal punto di vista del blocco, questo è soggetto a una forza la cui componente verticale non ha alcun effetto poiché è compensata dalla reazione vincolare tra suolo e blocco, e una orizzontale che invece è responsabile del moto.
Il moto del corpo, invece, è determinato dal suo peso e dalla reazione vincolare.
Ha senso?
(grazie per la pazienza)
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Dal punto di vista del blocco, questo è soggetto a una forza la cui componente verticale non ha alcun effetto poiché è compensata dalla reazione vincolare tra suolo e blocco, e una orizzontale che invece è responsabile del moto.
Il moto del corpo, invece, è determinato dal suo peso e dalla reazione vincolare.
Ha senso?
(grazie per la pazienza)
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"anonymous_0b37e9":
La reazione vincolare interna, per il principio di azione e reazione, agisce su entrambi i sistemi materiali, il corpo e il blocco.
Se considero dunque un corpo appoggiato su una superficie la superficie compie una reazione vincolare sul corpo pari alla forza peso ed il corpo compie una reazione vincolare sulla superficie pari a cosa?
"marco.ve":
... partendo dall'inizio e considerando sempre un sistema di riferimento inerziale solidale al suolo ...
Perfetto.
"dRic":
Se considero dunque un corpo appoggiato su una superficie ...
Nell'ipotesi in cui la superficie sia orizzontale, la superficie esercita sul corpo una reazione vincolare interna opposta alla forza peso del corpo, il corpo esercita sulla superficie una reazione vincolare interna opposta alla prima pari alla forza peso del corpo. Tuttavia, si tratta di un caso particolare che induce spesso a confondere la forza peso del corpo (oppure una sua componente) con la reazione vincolare interna. Per non confondersi basta pensare alla loro differente origine, di natura gravitazionale la prima, di natura elettromagnetica la seconda. In sintesi, senza considerare l'interazione nucleare, se fosse possibile "spegnere" l'interazione elettromagnetica il corpo cadrebbe.
Ma quindi il bilancio di forze come deve essere posto? $ F = P + R_1 + R_2 $ ? dove $ R_1 $ e $ R_2 $ sono le reazioni vincolare dei due corpi l'una rispetto all'altra. Scusa il disturbo, ma non riesco molto ad immaginare questa cosa.
"dRic":
Ma quindi il bilancio di forze come deve essere posto?
Di quale caso stai parlando?
Grazie, ultima domanda: se dovessi tenere fermo il blocco con una forza F, questa dovrebbe avere modulo [tex]|R|sin\alpha = mg \cdot cos\alpha \cdot sin\alpha[/tex], e la risposta non cambierebbe se il corpo inizialmente avesse velocità non nulla, giusto?
"anonymous_0b37e9":
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Di quale caso stai parlando?
Per ora mi sto limitando al caso "semplice" del corpo posto sul piano. Se le reazioni vincolare sono due per soddisfare l'equilibrio dovrei avere $ F = P + R_1 + R_2 = 0 $ cosa che mi sembra un po' strana visto che tutte e tre, da quanto ho capito, hanno lo stesso modulo
Se F indica la risultante delle forze applicate al corpo credo che si abbia [tex]F = P + R_1[/tex] dove P è il peso del corpo e [tex]R_1[/tex] la reazione vincolare esercitata dal suolo sul corpo, mentre [tex]R_2[/tex] è la reazione esercitata dal corpo applicata sul suolo e quindi non va contata nell'equazione.
"marco.ve":
... se dovessi ...
Entrambe affermative.
"dRic":
Se le reazioni vincolari sono due ...
Avendo sempre considerato un sistema alla volta, non si comprende per quale motivo si dovrebbero sommare due forze applicate a due sistemi diversi.
No, intendevo con $ F $ la risultante delle forze del sistema pallina-suolo, ma lascia stare sono partito a fare dei trip su sta cosa assurdi. Ti chiedo scusa se all'inizio ti ho dato una risposta sbagliata, ero veramente convinto che fosse più semplice di quello che è. Ringrazio anche Sergeant per le esaurienti spiegazioni.
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