Esercizio su elettrostatica di un cilindro

[luiginapoli47]

Un cilindro indefinito di raggio $r_0$ ha una densità di carica non uniforme $ρ(r)=ρ_0(1-r/r_0)$. Calcolare
il campo elettrico in funzione della distanza r dall'asse del cilindro. Calcolare la differenza di
potenziale tra due punti a distanza $r_0/2$ e $4r_0$ dall'asse del cilindro.
(r0=10 cm, ρ0=10-8 C/m3)
io ho ragionato in questo modo:

per $r calcolando il campo e la carica interna esce:
$E=(\rho_0r)/(2\epsilon_0)(1-2/3r)$
mentre per $r>r_0$
$E=\rho_0/\epsilon_0(r_0/r-1)$

volevo sapere se fin qui i calcoli erano giusti cosi da poter poi andare a calcolare la differenza di potenziale

[RenzoDF]

Direi di no, dovresti ricontrollare quelle relazioni.

[luiginapoli47]

per il campo uso la relazione $\intE*dS=q_(i)/\epsilon_0$ ora rifacendo i calcoli esce
per $r
Ho $E=\rho_0/(6\epsilon_0)r_0^2/r$

per $r>r_0$

Ho $E=\rho_r/epsilon_0r_0/r$

[RenzoDF]

Non possono essere quelle le relazioni in quanto, typos a parte, mancano di coerenza per $r=r_0$.

Puoi postare qualche passaggio intermedio in più?

[luiginapoli47]

Allora provo a ricalcolarmi il primo e scrivo tutti i passaggio

allora mi calcolo la carica interna come $Q=\int_0^(r_0)\rho_0(1-r/r_0)\pir^2hdr$
questo integrale risolvendolo esce $Q=1/12\rho_0\pihr_0^3$
ora mi calcolo$\intE*dS=E2\pirh$
quindi $E=\rho_0/24r_0^3/r$

[RenzoDF]

Già l'integrale iniziale per la carica è errato.

[luiginapoli47]

dove ho sbagliato??

[luiginapoli47]

forse invece di mettere $\pir^2h$ devo mettere $2\pirh$??
te lo giuro non riesco proprio a capire dove sto sbagliandoo!!

[luiginapoli47]

ci ho riprovato e il primo per $r

Cita

Segnala

[RenzoDF]

"Luiginapoli47":forse invece di mettere $\pir^2h$ devo mettere $2\pirh$?? ...

Esatto.

[RenzoDF]

"Luiginapoli47":... mi esce $E=\rho_0/(2\epsilon_0)(1-2/3r/r_0)$

Ricontrolla, mi sembra manchi qualcosa.

[luiginapoli47]

manca la r a moltiplicare il $\rho_0$

[RenzoDF]

[luiginapoli47]

perfetto finalmenteeee
il secondo cambiando l'estremo dell'integrale cioè tra 0 e $r_0$
esce $E=\rho_0/(6\epsilon_0)r_0^2/r$

[RenzoDF]

Ok.

[luiginapoli47]

per la differenza di potenziale devo risolvere i due integrali
$V=\int_(r_0/2)^(r_0)(rho_0r)/(2\epsilon_0)(1-2/3r/r_0)dr+\int_(r_0)^(4ro)\rho_0/(6\epsilon_0)r_0^2/rdr$