Esercizio su campo elettrostatico
Sono fermo su questo esercizio da un po' di tempo e nonostante abbia provato divrsi approcci non ci riesco, alcuni ho capito gli errori mentre per altri no, ad esempio per la via del gradiente che vi illustrerò e spero mi indicherete perché sbaglio 
.
ES:
Due cariche uguali e positive sono poste a distanza 2a l’una dall’altra. Si consideri il piano ortogonale alla loro congiungente e passante per il punto mediano. Qual e il punto a campo elettrostatico nullo su tale piano? Si determini il luogo geometrico dei punti su tale piano in cui `e massima l’intensità del campo generato da questa distribuzione di cariche
L'ultima impostazione che mi era venuta in mente è quella di calcolarmi il potenziale elettrostatico e poi farne il gradiente, tuttavia avrei un potenziale V1 e un V2 ed essendo simmetrici dovrei avere $V_1+V_2=2/(4*pi*\epsilon)*q_1/r$ poiché la distanza $r$ essendo $sqrt(x^2+y^2+z^2)$ non tiene conto del segno.
Trovo quindi delle derivate parziali del tipo
$-(q x)/(2 k π (x^2 + y^2 + z^2)^(3/2))$
e ponendole uguali a zero per avere $\vecE=(0,0,0)$
$<=>x=0,y=0,z=0$ dunque risponderei per la prima domanda: il punto a campo nullo è il centro del piano avendo preso il sistema di riverimento x,y,z con il piano xy giacente sul piano.
Non capisco se sia una soluzione corretta la mia (dubito perche per (0,0,0) mi si annulla il denominatore delle derivate prime che compongono il gradiente
)
Per la seconda domanda non capisco proprio come fare invece.
Grazie mille.
.ES:
Due cariche uguali e positive sono poste a distanza 2a l’una dall’altra. Si consideri il piano ortogonale alla loro congiungente e passante per il punto mediano. Qual e il punto a campo elettrostatico nullo su tale piano? Si determini il luogo geometrico dei punti su tale piano in cui `e massima l’intensità del campo generato da questa distribuzione di cariche
L'ultima impostazione che mi era venuta in mente è quella di calcolarmi il potenziale elettrostatico e poi farne il gradiente, tuttavia avrei un potenziale V1 e un V2 ed essendo simmetrici dovrei avere $V_1+V_2=2/(4*pi*\epsilon)*q_1/r$ poiché la distanza $r$ essendo $sqrt(x^2+y^2+z^2)$ non tiene conto del segno.
Trovo quindi delle derivate parziali del tipo
$-(q x)/(2 k π (x^2 + y^2 + z^2)^(3/2))$
e ponendole uguali a zero per avere $\vecE=(0,0,0)$
$<=>x=0,y=0,z=0$ dunque risponderei per la prima domanda: il punto a campo nullo è il centro del piano avendo preso il sistema di riverimento x,y,z con il piano xy giacente sul piano.
Non capisco se sia una soluzione corretta la mia (dubito perche per (0,0,0) mi si annulla il denominatore delle derivate prime che compongono il gradiente
)Per la seconda domanda non capisco proprio come fare invece.
Grazie mille.
Risposte
Intanto, è inutile trattare il problema nello spazio, vista la simmetria del sistema. Stiamo nel piano, e chiamiamo x l'asse che unisce le cariche, y la sezione del piano mediano.
Il campo in un punto di y va, in modulo, come $1/(a^2+ y^2)$. Però le componenti x si annullano, mentre le y si sommano, e vanno considerate solo queste. La componente y va come $y/sqrt(a^2+y^2)$, così, complessivamente, abbiamo che $E_y = ky/(a^2+y^2)^(3/2)$. Questa si azzera per $y=0$ e il massimo lo trovi azzerando la derivata prima. Trovi due valori di y, opposti, nel piano (mi pare che siano $y = +- asqrt(2)$). Nello spazio diventa una circonferenza nel piano yz con centro sull'asse x.
Sul metodo del gradiente non so cosa dirti, salvo che non vedo perchè complicarsi la vita con derivate parziali quando ci sono vie più dirette.
Il campo in un punto di y va, in modulo, come $1/(a^2+ y^2)$. Però le componenti x si annullano, mentre le y si sommano, e vanno considerate solo queste. La componente y va come $y/sqrt(a^2+y^2)$, così, complessivamente, abbiamo che $E_y = ky/(a^2+y^2)^(3/2)$. Questa si azzera per $y=0$ e il massimo lo trovi azzerando la derivata prima. Trovi due valori di y, opposti, nel piano (mi pare che siano $y = +- asqrt(2)$). Nello spazio diventa una circonferenza nel piano yz con centro sull'asse x.
Sul metodo del gradiente non so cosa dirti, salvo che non vedo perchè complicarsi la vita con derivate parziali quando ci sono vie più dirette.
Grazie, avevo percorso questa strada tra i vari tentativi, ma avevo sbagliato a scrivere la scomposizione del coseno e mi veniva sbagliato. Pensavo poi quindi fosse errata pervia dell'assunzione di simmetria.
Solo due cose ancora:
-ma azzerando la derivata prima chi mi dice trovi un massimo e non un minimo?
-Ho fatto più volte i calcoli ma mi viene: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(derive+ky%2F(a%5E2%2By%5E2)%5E(3%2F2))%3D0
$a^2=2y^2$, cioè la radice a denominatore,dove sbaglio?
Diciamo che ora mi piacerebbe anche capire, per impratichirmi, dove sia l'errore nella "tecnica" del gradiente perché idealmente mi pare giusta. Dato che sto imparando e sono una frana provo a svolgere in più modi gli esercizi dati (non sempre con successo come vedi
)
Grazie mille mgrau per il tuo aiuto!
Solo due cose ancora:
-ma azzerando la derivata prima chi mi dice trovi un massimo e non un minimo?
-Ho fatto più volte i calcoli ma mi viene: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(derive+ky%2F(a%5E2%2By%5E2)%5E(3%2F2))%3D0
$a^2=2y^2$, cioè la radice a denominatore,dove sbaglio?
Diciamo che ora mi piacerebbe anche capire, per impratichirmi, dove sia l'errore nella "tecnica" del gradiente perché idealmente mi pare giusta. Dato che sto imparando e sono una frana provo a svolgere in più modi gli esercizi dati (non sempre con successo come vedi
)Grazie mille mgrau per il tuo aiuto!
"sgrisolo":
-ma azzerando la derivata prima chi mi dice trovi un massimo e non un minimo?
Infatti, trovi sia un massimo che un minimo (risulta una funzione dispari, che ha uno zero nell'origine e altri due a $+-infty$)
"sgrisolo":
-Ho fatto più volte i calcoli ma mi viene: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(derive+ky%2F(a%5E2%2By%5E2)%5E(3%2F2))%3D0
$a^2=2y^2$, cioè la radice a denominatore,dove sbaglio?
Che problemi ti dà la radice al denominatore? La derivata si azzera per $y = +-a/sqrt(2)$
"sgrisolo":
Diciamo che ora mi piacerebbe anche capire, per impratichirmi, dove sia l'errore nella "tecnica" del gradiente perché idealmente mi pare giusta.
Proverò a pensarci, al momento non ti saprei dire
Il potenziale sull'asse y è
$V(y) = k/sqrt(y^2+a^2)$
funzione pari.
Il campo $E_y = (dV)/(dy) = ky/(y^2+a^2)^(3/2)$, dispari, con zeri per $y=0$ e $y =+-infty$
Il campo risulta quello già trovato per l'altra via, quindi i massimi/minimi sono già noti
$V(y) = k/sqrt(y^2+a^2)$
funzione pari.
Il campo $E_y = (dV)/(dy) = ky/(y^2+a^2)^(3/2)$, dispari, con zeri per $y=0$ e $y =+-infty$
Il campo risulta quello già trovato per l'altra via, quindi i massimi/minimi sono già noti
"mgrau":[/quote]
[quote="sgrisolo"]
Che problemi ti dà la radice al denominatore? La derivata si azzera per $y = +-a/sqrt(2)$
No ma infatti non è una questione di razzismo per il fatto che si trovi radice di due a denominatore in sé, è un odio giustificato perché nella tua risposta la avevi a numeratore ($y=±a√2$) e nelle soluzioni pure, ergo pensavo di aver sbagliato qualcosa.
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