Esercizio su campo elettrico e energia
considero una distribuzione volumentrica di densità p , piana , infinitamente grande e di spessore $d$. una particella di massa m e carica $ q$ viene lanciata perprendicolarmente alla lastra con velocità $v_0$ da una distanza $D$ rispetto al centro della lastra. determinare il minimo valore di $v_0$ affinchè la particella attraversi la distribuzione di carica....
vi scrivo quello che ho pensato: l'energia cinetica sia uguale all'energia elettrostatica potenziale.
$1/2mv_0^2=qDelta V$
ora $Delta V=Ed$ dove $E=p/(2epsilon)$ e quindi
$v_0=sqrt((qpd)/(mepsilon))$
ho dei seri dubbi che sia giusto, ma ho provato...che mi consigliate?
vi scrivo quello che ho pensato: l'energia cinetica sia uguale all'energia elettrostatica potenziale.
$1/2mv_0^2=qDelta V$
ora $Delta V=Ed$ dove $E=p/(2epsilon)$ e quindi
$v_0=sqrt((qpd)/(mepsilon))$
ho dei seri dubbi che sia giusto, ma ho provato...che mi consigliate?
Risposte
Mi sembra corretto!
Anzi no, al posto di $d$ devi inserire la distanza $D$. Non consideri però lo spessore della lastra
Anzi no, al posto di $d$ devi inserire la distanza $D$. Non consideri però lo spessore della lastra
dove la dovrei inserire lo spessore della lastra ?
Premetto che sto seguendo anch'io il corso di Fisica II, di conseguenza non sono molto ferrato.
Proviamo a ragionare insieme. Innanzi tutto la conservazione dell'energia è la via migliore per risolvere il problema, e su questo, non c'è ombra di dubbio.
La distribuzione di carica e la carica $q$ le supponiamo concordi e positive.
Ora, ho delle perplessità sulla tua espressione di campo generato. Per me dovrebbe venire (applicando il teo di Gauss): $ E_x = \frac{\rho d}{2\epsilon _0}$.
Tu come hai calcolato il campo?
Altra cosa che non mi è chiara, quanto vale il campo attraverso la lastra? È nullo? ( A me sembra sensato concludere di sì, se la lastra è conduttrice sicuramente sì)
Se sì, come hai fatto te, utilizziamo la legge di conservazione dell'energia tra il punto di partenza $A(D,0)$ e il punto di arrivo $B(0,0)$ sulla superficie della lastra (non consideriamo lo spessore della lastra perché se il campo all'interno è nullo è sufficiente che la particella arrivi con un velocità residua alla superficie):
[tex]\frac{1}{2} m v_0^2 + qV(A) = K_B + qV(B)[/tex]
Ma il potenziale in B è nullo e l'energia cinetica pure.
[tex]\frac{1}{2} m v_0^2 - qE_xD = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{q\rho d}{2\epsilon _0} D = 0[/tex]
Da cui:
$|v_{0}| = \sqrt{\frac{\rho d D q}{\epsilon _0 m}}$
Tutto ciò, mi ripeto, solo se l'espressione di campo da me data è corretta e il campo interno alla lastra è nullo.
Fammi sapere!
Proviamo a ragionare insieme. Innanzi tutto la conservazione dell'energia è la via migliore per risolvere il problema, e su questo, non c'è ombra di dubbio.
La distribuzione di carica e la carica $q$ le supponiamo concordi e positive.
Ora, ho delle perplessità sulla tua espressione di campo generato. Per me dovrebbe venire (applicando il teo di Gauss): $ E_x = \frac{\rho d}{2\epsilon _0}$.
Tu come hai calcolato il campo?
Altra cosa che non mi è chiara, quanto vale il campo attraverso la lastra? È nullo? ( A me sembra sensato concludere di sì, se la lastra è conduttrice sicuramente sì)
Se sì, come hai fatto te, utilizziamo la legge di conservazione dell'energia tra il punto di partenza $A(D,0)$ e il punto di arrivo $B(0,0)$ sulla superficie della lastra (non consideriamo lo spessore della lastra perché se il campo all'interno è nullo è sufficiente che la particella arrivi con un velocità residua alla superficie):
[tex]\frac{1}{2} m v_0^2 + qV(A) = K_B + qV(B)[/tex]
Ma il potenziale in B è nullo e l'energia cinetica pure.
[tex]\frac{1}{2} m v_0^2 - qE_xD = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{q\rho d}{2\epsilon _0} D = 0[/tex]
Da cui:
$|v_{0}| = \sqrt{\frac{\rho d D q}{\epsilon _0 m}}$
Tutto ciò, mi ripeto, solo se l'espressione di campo da me data è corretta e il campo interno alla lastra è nullo.
Fammi sapere!
Vorrei far notare che, se si considera un sistema di riferimento in cui i due piani che delimitano la distribuzione hanno rispettivamente ascissa $[-d/2]$ e $[d/2]$, il campo ha la seguente espressione:
$[x<=-d/2] rarr [E_x=-(pd)/(2epsilon_0)]$
$[-d/2<=x<=d/2] rarr [E_x=(px)/epsilon_0]$
$[x>=d/2] rarr [E_x=(pd)/(2epsilon_0)]$
Insomma, all'interno della distribuzione il campo elettrico varia linearmente e, per considerazioni di simmetria, assume valore nullo al centro della medesima. Ora, per concludere, è sufficiente determinarne un potenziale e applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica. Buon proseguimento.
$[x<=-d/2] rarr [E_x=-(pd)/(2epsilon_0)]$
$[-d/2<=x<=d/2] rarr [E_x=(px)/epsilon_0]$
$[x>=d/2] rarr [E_x=(pd)/(2epsilon_0)]$
Insomma, all'interno della distribuzione il campo elettrico varia linearmente e, per considerazioni di simmetria, assume valore nullo al centro della medesima. Ora, per concludere, è sufficiente determinarne un potenziale e applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica. Buon proseguimento.
Il campo esterno era corretto, ma bisogna considerare anche quello interno. Quanto detto in precedenza da me non vale più in quanto il campo all'interno è diverso da zero. Quindi dovremmo imporre come punto finale il centro della lastra dato che superato quello, la nostra particella verrà accelerata.
@speculor Posso chiederti un riferimento sitografico/bibliografico del calcolo del campo in una distribuzione di questo tipo? Ti ringrazio
@speculor Posso chiederti un riferimento sitografico/bibliografico del calcolo del campo in una distribuzione di questo tipo? Ti ringrazio
Ho semplicemente applicato il teorema di Gauss. Per considerazioni di simmetria, è necessario prendere una superficie cilindrica con le due basi di area $[A]$ poste rispettivamente a $[-x/2]$ e $[x/2]$, con $[0<=x<=d/2]$. Quindi:
$[2E_xA=(2pAx)/epsilon_0] rarr [E_x=(px)/epsilon_0]$
essendo nullo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale della superficie cilindrica. Infine, sempre per considerazioni di simmetria, puoi estendere il risultato per $[-d/2<=x<=0]$.
$[2E_xA=(2pAx)/epsilon_0] rarr [E_x=(px)/epsilon_0]$
essendo nullo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale della superficie cilindrica. Infine, sempre per considerazioni di simmetria, puoi estendere il risultato per $[-d/2<=x<=0]$.
il potenziale interno alle due lastre si trova in questo modo???
$V(x)=-int (rho x)/(epsilon)dx=-(px^2)/(2epsilon)+C$ con questa C che la troverò calcolando gli altri due potenziali e sapendo che il potenziale è continuo?
$V(x)=-int (rho x)/(epsilon)dx=-(px^2)/(2epsilon)+C$ con questa C che la troverò calcolando gli altri due potenziali e sapendo che il potenziale è continuo?
Puoi limitarti a considerare la regione in cui $[x>=0]$:
$[0<=x<=d/2] rarr [V=-p/(2epsilon_0)x^2+A]$
$[x>=d/2] rarr [V=-(pd)/(2epsilon_0)x+B]$
con $[-(pd^2)/(8epsilon_0)+A=-(pd^2)/(4epsilon_0)+B]$. Altrimenti, puoi limitarti a considerare la regione $[0<=x<=d/2]$ in cui il campo è variabile, evitando così di imporre la condizione al contorno, per poi calcolare esplicitamente il lavoro dove il campo è costante.
$[0<=x<=d/2] rarr [V=-p/(2epsilon_0)x^2+A]$
$[x>=d/2] rarr [V=-(pd)/(2epsilon_0)x+B]$
con $[-(pd^2)/(8epsilon_0)+A=-(pd^2)/(4epsilon_0)+B]$. Altrimenti, puoi limitarti a considerare la regione $[0<=x<=d/2]$ in cui il campo è variabile, evitando così di imporre la condizione al contorno, per poi calcolare esplicitamente il lavoro dove il campo è costante.
scusa la domanda(stupida probabilmente) ma come faccio a ricavarmi A e B avendo una sola equazione da risolvere ?
Ti ricordo che il potenziale è definito a meno di una costante. Quindi, se proprio vuoi procedere in quel modo:
$[-(pd^2)/(8epsilon_0)+A=-(pd^2)/(4epsilon_0)+B] rarr [B=(pd^2)/(8epsilon_0)+A]$
e in definitiva:
$[0<=x<=d/2] rarr [V=-p/(2epsilon_0)x^2+A]$
$[x>=d/2] rarr [V=-(pd)/(2epsilon_0)x+(pd^2)/(8epsilon_0)+A]$
Ovviamente, nell'imporre la conservazione dell'energia meccanica, il valore della costante $[A]$ è inessenziale.
$[-(pd^2)/(8epsilon_0)+A=-(pd^2)/(4epsilon_0)+B] rarr [B=(pd^2)/(8epsilon_0)+A]$
e in definitiva:
$[0<=x<=d/2] rarr [V=-p/(2epsilon_0)x^2+A]$
$[x>=d/2] rarr [V=-(pd)/(2epsilon_0)x+(pd^2)/(8epsilon_0)+A]$
Ovviamente, nell'imporre la conservazione dell'energia meccanica, il valore della costante $[A]$ è inessenziale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo