Esercizio su campo elettrico
Salve a tutti. Ho una carica elettrica distribuita con densità di volume $\rho=6,38\cdot 10^(-6)$ in una regione cilindrica dello spazio di lunghezza indefinita e raggio $R=5 cm$. MI chiede di determinare le linee del campo elettrico. Il modulo del campo elettrico in un punto a distanza $r=2 cm$ dall'asse del cilindro. Determinare la d.d.p. tra un punto dell'asse e un punto sulla superficie laterale del cilindro.
Io ho svolto in questo modo: Il primo punto credo di averlo svolto bene perchè avendo una densità positiva significa che la carica distribuita è positiva e le linee del campo saranno uscenti dal cilindro su tutta la sua lunghezza (indefinita). E' giusto?
Per il secondo punto trovo un pò di problemi, so che dovrei calcolare il flusso del campo attraverso il cilindro ma non riesco ad impostare bene il problema perchè non ho capito bene se posso considerare solo la base del cilindro ( e quindi un punto distante 2 cm sul raggio della circonferenza) oppure devo considerare un volumetto di cilindro ( in tal caso non so quanto prenderlo lungo).
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo
Io ho svolto in questo modo: Il primo punto credo di averlo svolto bene perchè avendo una densità positiva significa che la carica distribuita è positiva e le linee del campo saranno uscenti dal cilindro su tutta la sua lunghezza (indefinita). E' giusto?
Per il secondo punto trovo un pò di problemi, so che dovrei calcolare il flusso del campo attraverso il cilindro ma non riesco ad impostare bene il problema perchè non ho capito bene se posso considerare solo la base del cilindro ( e quindi un punto distante 2 cm sul raggio della circonferenza) oppure devo considerare un volumetto di cilindro ( in tal caso non so quanto prenderlo lungo).
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
Il primo punto è giusto, in particolare le linee di campo sono rettilinee e perpendicolari alla superficie del cilindro.
Per quanto riguarda il secondo punto: se applichi il teorema di Gauss per studiare il flusso, devi considerare una superficie chiusa che passi per il punto che ti interessa (cioè il punto di distanza 2 cm dall'asse del cilindro), quindi non puoi utilizzare come superficie una sezione trasversale del cilindro (che penso sia la "base del cilindro" di cui parlavi, ma non sono sicuro quindi dimmi se ho capito bene
).
Dovresti usare invece il volumetto, cioè una superficie cilindrica chiusa di altezza \( \displaystyle h \) con lo stesso asse della distribuzione di carica e di raggio 2 cm. Il flusso attraverso questa superficie è \( \displaystyle \Phi=\frac{Q}{\epsilon_0} = V\frac{\rho}{\epsilon_0} = \pi r^2 h\frac{\rho}{\epsilon_0} \) ed è la somma dei flussi attraverso la superficie laterale del cilindretto e attraverso le sue basi. Però i flussi attraverso le basi del cilindretto sono nulli, perché il campo elettrico è parallelo a esse, quindi \( \displaystyle \Phi \) è pari al flusso attraverso la sola superficie laterale. Poiché la distribuzione di carica all'interno del cilindretto è a simmetria radiale, il campo elettrico in ogni punto della superficie laterale è perpendicolare alla superficie stessa e ha lo stesso modulo \( \displaystyle E \). Da ciò risulta \( \displaystyle \Phi = ES = 2E\pi r h \), perciò \( \displaystyle 2E\pi r h = \pi r^2 h \frac{\rho}{\epsilon_0} \) e quindi \( \displaystyle E = \frac{r\rho}{2\epsilon_0} \), indipendentemente dall'altezza del cilindretto.
Per quanto riguarda il secondo punto: se applichi il teorema di Gauss per studiare il flusso, devi considerare una superficie chiusa che passi per il punto che ti interessa (cioè il punto di distanza 2 cm dall'asse del cilindro), quindi non puoi utilizzare come superficie una sezione trasversale del cilindro (che penso sia la "base del cilindro" di cui parlavi, ma non sono sicuro quindi dimmi se ho capito bene
).Dovresti usare invece il volumetto, cioè una superficie cilindrica chiusa di altezza \( \displaystyle h \) con lo stesso asse della distribuzione di carica e di raggio 2 cm. Il flusso attraverso questa superficie è \( \displaystyle \Phi=\frac{Q}{\epsilon_0} = V\frac{\rho}{\epsilon_0} = \pi r^2 h\frac{\rho}{\epsilon_0} \) ed è la somma dei flussi attraverso la superficie laterale del cilindretto e attraverso le sue basi. Però i flussi attraverso le basi del cilindretto sono nulli, perché il campo elettrico è parallelo a esse, quindi \( \displaystyle \Phi \) è pari al flusso attraverso la sola superficie laterale. Poiché la distribuzione di carica all'interno del cilindretto è a simmetria radiale, il campo elettrico in ogni punto della superficie laterale è perpendicolare alla superficie stessa e ha lo stesso modulo \( \displaystyle E \). Da ciò risulta \( \displaystyle \Phi = ES = 2E\pi r h \), perciò \( \displaystyle 2E\pi r h = \pi r^2 h \frac{\rho}{\epsilon_0} \) e quindi \( \displaystyle E = \frac{r\rho}{2\epsilon_0} \), indipendentemente dall'altezza del cilindretto.
Ah! Wow....grazie mille non ci sarei mai arrivato grazie....solo un ultima domanda, perchè hai scritto che: $Q/\epsilon_0= V(\rho/\epsilon_0)$ ?????
Ps viene fuori dalla definizione di densità di carica: $\rho=q/V$ ?????
grazie....solo un ultima domanda, perchè hai scritto che: $Q/\epsilon_0= V(\rho/\epsilon_0)$ ?????Ps viene fuori dalla definizione di densità di carica: $\rho=q/V$ ?????
Esatto
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