Esercizio su buca di potenziale infinita.
Ciao a tutti!allora ho questo problema di fisica quantistica che dice:
Una particella di massa m si trova in una buca di profondità infinita e ampiezza a in una dimensione con funzione d'onda all'istante t=0 data dalla combinazione lineare dei primi tre stati stazionari con ugual peso.
a)scrivere la fdo per t=0
b)trovare il valor medio dell'energia della particella e l'incertezza su tale valore per t=0
c)scrivere la fdo per t>0
d)trovare il valor medio dell'energia della particella per t>0 e commentare il risultato
e)spiegare come il risultato trovato possa essere confrontato con gli esperimenti,discutendo cioè il processo di misura in fisica quantistica.
Allora provo a dare la soluzione:
a) Per t=0 la fdo è una combinazione di tre stati stazionari che esprimo come combinazione lineare di funzioni cos e sin soluzioni dell'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo. in particolare ho che:
fdo= $ 1/sqrt3sqrt2/a[cos(pi/a)+sin(2pi/a)+cos(3pi/a)] $
non sono sicuro del termine $ 1/sqrt3 $ che ho ricavato imponendo la condizione che i tre stati hanno ugual peso.
b) sarei portato a fare la media pesata delle energie dei tre stati con $ E=(hpi^2)/(2pia^2 2m)n^2 $ per l'energia di ogni singolo stato. come trovo l'incertezza?
c)aggiungo la dipendenza temporale con le varie energie
d)non ne ho idea.
e) tutta la storia che la misura perturba il sistema bla bla bla
Una particella di massa m si trova in una buca di profondità infinita e ampiezza a in una dimensione con funzione d'onda all'istante t=0 data dalla combinazione lineare dei primi tre stati stazionari con ugual peso.
a)scrivere la fdo per t=0
b)trovare il valor medio dell'energia della particella e l'incertezza su tale valore per t=0
c)scrivere la fdo per t>0
d)trovare il valor medio dell'energia della particella per t>0 e commentare il risultato
e)spiegare come il risultato trovato possa essere confrontato con gli esperimenti,discutendo cioè il processo di misura in fisica quantistica.
Allora provo a dare la soluzione:
a) Per t=0 la fdo è una combinazione di tre stati stazionari che esprimo come combinazione lineare di funzioni cos e sin soluzioni dell'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo. in particolare ho che:
fdo= $ 1/sqrt3sqrt2/a[cos(pi/a)+sin(2pi/a)+cos(3pi/a)] $
non sono sicuro del termine $ 1/sqrt3 $ che ho ricavato imponendo la condizione che i tre stati hanno ugual peso.
b) sarei portato a fare la media pesata delle energie dei tre stati con $ E=(hpi^2)/(2pia^2 2m)n^2 $ per l'energia di ogni singolo stato. come trovo l'incertezza?
c)aggiungo la dipendenza temporale con le varie energie
d)non ne ho idea.
e) tutta la storia che la misura perturba il sistema bla bla bla
Risposte
"alteo":
a) Per t=0 la fdo è una combinazione di tre stati stazionari che esprimo come combinazione lineare di funzioni cos e sin soluzioni dell'equazione di schrodinger non dipendente dal tempo. in particolare ho che:
fdo= $ 1/sqrt3sqrt2/a[cos(pi/a)+sin(2pi/a)+cos(3pi/a)] $
Hmm, a occhio sembra che manchi qualcosa
A parte questo se la buca va da $0$ ad $a$ la soluzione non dovrebbe contenere coseni (visto che la buca e' infinita).
Infatti ti basta usare i seni per generare tutto lo spazio di Hilbert (si vede con un argomento semplice e divertente).
non sono sicuro del termine $ 1/sqrt3 $ che ho ricavato imponendo la condizione che i tre stati hanno ugual peso.
L'importante e' che se ti viene richiesto una funzione d'onda normalizzata l'integrale spaziale del modulo quadro faccia 1.
b) sarei portato a fare la media pesata delle energie dei tre stati con $ E=(hpi^2)/(2pia^2 2m)n^2 $ per l'energia di ogni singolo stato. come trovo l'incertezza?
Il valor medio si calcola sempre nello stesso modo (per qualunque osservabile), cioe' (assumendo normalizzazione)
[tex]\langle \hat A \rangle_\psi = \langle\psi| \hat A |\psi\rangle[/tex]
Nel tuo caso e' l'integrale
[tex]\int dx \, \psi^*(x) \hat A \psi(x)[/tex]
L'"incertezza" (non m'e' mai piaciuto come termine) dovrebbe essere semplicemente
[tex]\langle\psi| \hat A^2 |\psi\rangle - \langle\psi |\hat A|\psi\rangle^2[/tex]
d)non ne ho idea.
Il valor medio e' sempre quello, solo che lo calcoli con esplicita dipendenza dal tempo.
Per il commento se vuoi ne riparliamo quando hai fatto il conto esplicitamente
Facciamo un punto per volta.allora:
a)io ho posto che la buca vada da -a/2 ad a/2 per quello mi vengono i coseni. è sbagliato?
a)io ho posto che la buca vada da -a/2 ad a/2 per quello mi vengono i coseni. è sbagliato?
"alteo":
Facciamo un punto per volta.allora:
a)io ho posto che la buca vada da -a/2 ad a/2 per quello mi vengono i coseni. è sbagliato?
No, quello va bene. Manca la $x$ ma va bene
Piu' seriamente, e' piu' che altro una questione di convenienza: ottieni una serie dall'altra tramite le solite identita' trigonometriche. La faccenda della normalizzazione invece dal punto di vista fisico e' inessenziale, importa solo quando vai a calcolare i valori medi (perche' devi dividere per la norma quadra dello stato).
La parte piu' interessante pero' sta IMHO negli altri punti.
Nel punto b mi incastro e mi vorrei sparare un colpo in testa.
Se io faccio l'integrale sostituendo ad A->E non mi dovrebbe venire 0 visto che non c'è la dipendenza temporale?
Se io faccio l'integrale sostituendo ad A->E non mi dovrebbe venire 0 visto che non c'è la dipendenza temporale?
ok,cavolata sostituisco A-->H (con H operatore) vero?Ma gli estremi di integrazione quali sono?
"alteo":
Nel punto b mi incastro e mi vorrei sparare un colpo in testa.
Se io faccio l'integrale sostituendo ad A->E non mi dovrebbe venire 0 visto che non c'è la dipendenza temporale?
Perche'? E' una combinazione lineare di stati stazionari, i quali non devono dipendere dal tempo. Poi fai l'evoluzione temporale, e vedi che i coefficienti cambiano nel modo che sai.
Peraltro tu conosci gia' gli autovalori, per cui non serve neanche fare l'integrale esplicitamente. Ricordandosi che sono stati ortogonali...
"alteo":
ok,cavolata sostituisco A-->H (con H operatore) vero?Ma gli estremi di integrazione quali sono?
Integri su $x$ su tutto lo spazio. Poiche' la particella e' confinata su un segmento, integrerai solo su quello.
Comunque ripeto: sono stati stazionari, quindi gia' nella rappresentazione "dell'energia".
Mi sento stupido,non sto capendo. mi puoi scrivere la formula di quello che devo fare? Scusami 
A volte il libro mi calcola l'energia media come media pesata,è questo il caso?
A volte il libro mi calcola l'energia media come media pesata,è questo il caso?
l'energia è una costante del moto quindi non mi cambia il valore di aspettazione quando inserisco la dipendenza temporale,giusto? Riferito al punto d!
"alteo":
mi puoi scrivere la formula di quello che devo fare? Scusami
In generale se vuoi calcolare l'energia media dello stato (diciamo normalizzato) $|\psi\rangle$ scrivi
[tex]E_\psi = \langle\psi|\hat H|\psi\rangle[/tex]
Se lo stato e' una sovrapposizione di due altri stati
[tex]|\psi\rangle = a_1 |\psi_1\rangle + a_2 |\psi_2\rangle[/tex]
avrai
[tex]E_\psi = |a_1|^2 \langle\psi_1|\hat H|\psi_1\rangle + |a_2|^2 \langle\psi_2|\hat H|\psi_2\rangle + a_1^* a_2 \langle\psi_1|\hat H|\psi_2\rangle + a_2^* a_1 \langle\psi_2|\hat H|\psi_1\rangle[/tex]
Se i due stati $|\psi_1\rangle$ e $|\psi_2\rangle$ sono autostati ortonormali di $\hat H$ i termini "misti" spariscono e hai
[tex]E_\psi = |a_1|^2 \langle\psi_1|\hat H|\psi_1\rangle + |a_2|^2 \langle\psi_2|\hat H|\psi_2\rangle = |a_1|^2 E_1 + |a_2|^2 E_2[/tex]
(usando il fatto che i due autostati sono ortonormali).
Come vedi ha la forma di una somma pesata degli autovalori di $\hat H$. In realta' viene da una cosa piu' generale - la formula precedente, che e' quella da applicare nel caso generale. Se leggi il primo capitolo del Dirac trovi una bellissima spiegazione molto istruttiva sull'argomento.
ti ringrazio infinitamente!
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