Esercizio Solenoide e sbarra ferromagnetica

[Mark95]

Salve,
Chiedo aiuto per un problema di fisica 2 poco intuitivo preso dal libro Mazzoldi - Nigro - Voci.

Il testo è questo:

Un solenoide di lunghezza $d=80cm$ e sezione $Sigma=4cm^2$, con $n=20(SPIRE)/(cm)$, è alimentato da un generatore che mantiene la corrente costantemente al valore $i=10A$. Una sbarretta di materiale ferromagnetico, con densità $rho=8*10^3 (Kg)/m^3$, permeabilità magnetica relativa $mu_r=500$, lunghezza $h=20cm$, sezione eguale a quella del solenoide, è trattenuta dall'esterno con un tratto $x_0=5cm$ nell'interno del solenoide. All'istante $t=0$ la sbarretta viene lasciata libera e inizia ad entrare nel solenoide; trascorso un tempo $t_0$ essa ritorna nella posizione che aveva all'istante $t=0$. Calcolare la forza F che agisce sulla sbarretta durante il moto e il tempo $t_0$.



Mio procedimento:

adesso dovrei ricavare l'energia per poter ricavare la forza, ma dato che stiamo parlando di un solenoide, dovremmo avere l'energia magnetica accumulata nel solenoide, ma, per farlo, dobbiamo calcolarci l'induttanza tramite il flusso del campo magnetico per il numero di spire diviso la corrente. Quindi come primo calcolo mi prefiggo quello di calcolare il campo magnetico all'interno del solenoide!
Quindi mi considero il calcolo del campo magnetico per una singola spira lungo il suo asse tramite la prima legge di Laplace, poi, propago il calcolo per il numero di spire da considerare. Quindi:



$dvec(B) = mu _0/(4pi) (Idvec(L)^^ hat(r))/r^2 rArr dB = mu _0/(4pi) (IdL)/r^2$

Per definizione di angolo:

$dphi = (dL)/R rArr dL=Rdphi$

quindi:

$dB = mu _0/(4pi) (IRdphi)/r^2$

Ma $r^2=x^2+R^2$, poi, si nota che per simmetria, la somma di tutti i $dB$ porterà ad avere un $dB_x$ come risultato (solo la componente in x), che ha modulo:

$dB_x = dBcosvartheta = dB R/r = mu_0/(4pi) (IR^2dphi) / (R^2+x^2)^(3/2) rArr B_x = mu_0/(4pi) (IR^2) / (R^2+x^2)^(3/2)int_(0)^(2pi) dphi = (mu_0IR^2) / (2(R^2+x^2)^(3/2))$

Adesso questa è la $B_x$ per la singola spira, quindi per ottenere la $dB^(TOT)$ dobbiamo moltiplicare per il n°di spire contenuto in $dx$:

$dB^(TOT) = B_x (N/l)dx = B_x n dx = (mu_0IR^2ndx) / (2(R^2+x^2)^(3/2)) $

Facciamo un cambiamento di variabili sapendo che $R=rsintheta$ e $x=rcostheta$:

$x/R = 1/(tgvartheta ) rArr x = R/(tgvartheta)$ ; $dx/(dvartheta) = R/(tg^2vartheta) 1/(cos^2vartheta) = R/(sin^2vartheta) rArr dx = R/(sin^2vartheta)dvartheta$

Sostituendo:

$dB^(TOT) = (mu_0IR^2ndx) / (2(R^2+x^2)^(3/2)) = (mu_0IR^3ndvartheta) / (2sin^2vartheta(R^2+(R/(tgvartheta))^2)^(3/2)) = (mu_0Indvartheta) / (2sin^2vartheta(1+(1/(tgvartheta))^2)^(3/2)) = (mu_0Indvartheta) / (2sin^2vartheta(1+(cos^2vartheta/sin^2vartheta))^(3/2)) = (mu_0Indvartheta) / (2sin^2vartheta((sin^2vartheta+cos^2vartheta)/sin^2vartheta)^(3/2)) = (mu_0Indvartheta) / (2sin^2vartheta(1/sin^2vartheta)^(3/2)) = (mu_0Insinvarthetadvartheta) / 2$

Integrando:

$B^(TOT) = (mu_0In)/2 int_(vartheta_1)^(vartheta_2) sinvarthetadvartheta = (mu_0In)/2[-(cosvartheta_2 - cosvartheta_1)] = (mu_0In)/2[cosvartheta_1 - cosvartheta_2]$

Ma per ipotesi se $d > > > R$ allora implica che $vartheta_1=0$ e $vartheta_2=pi$. Nel problema effettivamente si verifica che $d > > > R$, quindi:

$B^(TOT) = (mu_0In)/2[cos0 - cospi] = (mu_0In)/2[1 - (-1)] = mu_0In$

Poi:

$L = (NPhi_B)/I = (ndPhi_B)/I = (nd)/I int_(Sigma) vec(B) * dvec(Sigma) = (nd)/I int_(Sigma) vec(B) * hat(n) dSigma = (ndB)/I int_(Sigma) dSigma = (ndBSigma)/I = (n^2dmu_0ISigma)/I$

Ma sapendo che $d = mu_r x + (d-x)$, allora:

$L = n^2mu_0Sigmad = n^2mu_0Sigma[mu_r x + (d-x)]$

Ma:

$L = (NPhi(B))/I rArr Phi(B) = (LI)/N rArr NPhi(B) = LI rArr epsilon = N(dPhi(B))/dt = L (dI)/dt rArr epsilonI = L I(dI)/dt$
$P_L = LI(dI)/dt rArr (dW_L)/dt = LI(dI)/dt rArr dW_L = LIdI rArr W_L = Lint_(0)^(I) I dI = 1/2 LI^2$

Quindi:

$W_L = 1/2 LI^2 = 1/2 I^2 n^2mu_0Sigma[mu_r x + (d-x)] = 1/2 (In)^2mu_0Sigma[d + (mu_r - 1)x]$

Allora la forza sarà:

$F = (partial W_L(x))/(partial x) = 1/2 (In)^2mu_0Sigma(mu_r - 1)$

Adesso ipotizzo che la forza sia costante e attrattiva finché la sbarretta non è tutta contenuta. Quindi:

$vec(F) = mvec(a) rArr F = ma = rho Sigmaha =K rArr a = F/(rhoSigmah) = ((In)^2mu_0Sigma(mu_r - 1))/(2rhoSigmah) = ((In)^2mu_0(mu_r - 1))/(2rhoh) = K$

dove con $K$ indico costante!
Dalla definizione di accelerazione istantanea e velocità istantanea:

$vec(a) = (dvec(v))/dt rArr a = (dv)/dt rArr dv = adt rArr int_(0)^(v(t))dv =aint_(0)^(t_1) dt rArr v(t)=at_1$

$vec(v) = (dvec(x))/dt rArr v = (dx)/dt rArr dx = v(t)dt rArr int_(x_0)^(h)dx =int_(0)^(t_1)v(t) dt rArr h-x_0=int_(0)^(t_1)atdt rArr h-x_0 = 1/2 a t_1^2$

Quindi:

$t_1= sqrt((2(h-x_0))/a) = sqrt((4rhoh(h-x_0))/(mu_0(nI)^2(mu_r - 1)))$

allora:

$v=at_1= ((In)^2mu_0(mu_r - 1))/(2rhoh)sqrt((4rhoh(h-x_0))/(mu_0(nI)^2(mu_r - 1))) = sqrt((mu_0(nI)^2(mu_r - 1)(h-x_0))/(rhoh))$

Poi, entrato tutto lo stantuffo nella bobina, il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme verso l'esterno della bobina con la velocità appena ricavata. Quindi:

$vec(v) = - (dvec(x))/dt rArr v = - (dx)/dt rArr dx = - vdt rArr int_(h)^(d-h)dx =-vint_(0)^(t_2) dt rArr d - 2h = vt_2 rArr t_2 =(d-2h)/v$

Quindi:

$t_2 =sqrt((rhoh(d-2h)^2)/(mu_0(nI)^2(mu_r - 1)(h-x_0))$


E fin qua mi trovo, ma il libro mi dà come soluzione che $t_2 = (d-h)/v = 8.3*10^-2 s$ e che $t_0 = 4t_1 + 2t_2$, perchè!? non capisco i coefficienti vicino alle $t$, io avrei semplicemente sommato i due tempi, poi non mi trovo con il libro per quanto riguarda $t_2$. Sostituendo i dati nella mia formula mi viene $t_2 = 8.3*10^-2 s$ (premesso che tutto il precedente è fatto bene e anche le cifre corrispondono alle soluzioni del libro).
Cioè, io prendo il mio sistema quando tutto lo stantuffo è entrato, quindi sull'asse delle x segno $h$, poi alla fine esce completamente, quindi sull'asse delle x segno $d-h$.
Un grazie di cuore a chi mi sa spiegare questo problema concettuale!

[Sk_Anonymous]

Non ho guardato proprio tutti i conti ma comunque l'hai presa molto alla larga, potevi chiudere il calcolo della forza in modo più rapido considerando il campo per solenoide molto lungo che in questo caso ci starebbe, ma buon per te. Ad ogni modo forse il tuo dilemma è nel visualizzare cosa succede fisicamente. La sbarretta entra di moto accelerato, poi prosegue di moto uniforme, poi riesce e decelera (per conservazione dell'energia raggiungendo la stessa posizione ma opposta rispetto alla partenza), poi rientra di moto accelerato, prosegue di moto uniforme e riesce decelerando fermandosi nella posizione iniziale. Dato che $d=4h$ e vista la condizione di partenza ti rendi conto che deve percorrere quattro volte il tratto in moto accelerato (entra-esce-rientra-riesce) e due volte il tratto interno di moto uniforme (scorre verso destra-scorre verso sinistra).

Il $t_2$ corretto è quello $(d-2h)/v$

[Mark95]

5min. fa ho pensato che forse il problema risultasse di logica, cioè, se penso che la sbarra, per un tempo $t_1$ si muove di $h-x_0$ passi e per $t_2$ la sbarra si muove di $h$ passi, per poter ritornare nella situazione iniziale bisogna fare $4t_1 + 2t_2$

[Mark95]

Cioè, se potessi modificare i dati del problema e pensare che la sbarra in una situazione iniziale possa stare metà dentro la bobina e metà fuori, per un tempo $t_1$ entra anche l'altra metà nella bobina, ma per ritornare alla situazione iniziale, dove metà sbarra è fuori e metà è nella bobina, sapendo che per $t_2$ la sbarra fa un passo che è grande quanto tutta la sbarra, l'unico modo è rispettando la condizione $t_0=4t_1+2t_2$

[Sk_Anonymous]

Non ho capito cosa intendi per modificare i dati del problema. Comunque ti torna perché i tempi si sommano in quel modo?

Edit: comunque riguardando un attimo le dimensioni del percorso non mi torna tanto $d-2h$ perché il moto uniforme lo mantiene finchè non comincia ad uscire quindi in realtà dovrebbe percorrere $3h$ all'andata di moto uniforme e lo stesso al ritorno. Quindi negli estremi dell'integrale (che comunque non serviva) dovresti sostiuire $d-h$ con $d$. Certo il risultato numerico viene diverso ma sì, deve essere $t_2=(d-h)/v=3h/v$

[Mark95]

Ma l'esercizio non dice che la sbarretta percorre tutta la bobina, poi non mi troverei con questa formula perché $v=4,84m/s$ (soluzione del libro) e se faccio $t_2 = (3*0.2m)/(4.84m/s) = 0.124s$ troverei un risultato non vero, perché il libro dice che è uguale a $t_2 = 0.083s$ risultato che trovo tramite la formula $t_2 = (d-2h)/v$

[Sk_Anonymous]

L'incongruenza c'è comunque o nei numeri o nelle formule. La sbarretta dopo che parte con moto uniforme deve per forza arrivare dall'altra parte, altrimenti come la sente la forza che le inverte il moto? Comunque ammetto oggi di non essere al top magari mi sfugge qualcosa, vediamo se qualcun altro la pensa diversamente.

[Mark95]

non so come si fa, quindi chi non ha fatto un ragionamento congruente sono io xD, sicuramente hai detto più cose di me e giuste! ma il risultato è un incongruenza del libro, però penso sia la formula, perché il risultato avuto lo riporta anche per il calcolo finale. Però ho dei dubbi anche su quello, perché il libro può darsi che ha riportato tutto sbagliato da $t_2$ in poi!!

è meglio se riporto tutti i risultati del libro:

"$F = ((dU_m)/dx)_(i=COSTANTE) = 1/2mu_0chi_m(ni)^2Sigma = 50.2N$, costante per tutto il tempo in cui la sbarretta è parzialmente inserita nel solenoide e attrattiva verso l'interno, $F=0$ quando la sbarretta è completamente inserita; $m=rhohSigma=0.64Kg$, $a = F/m = 78.1m/s^2$

$t_1 = sqrt((2(h-x_0))/a) = 6.2*10^2s$ , $v_1 = at_1 = 4.84m/s$ , $t_2 = (d-h)/v_1 = 8.3*10^-2s$ , $t_0 = 4t_1 + 2t_2 = 0.41s$"

Scusa Nikikinki se sono risultato pedante in certi frangenti, sei stato molto disponibile e lo apprezzo!

[Mark95]

Poi io sono scarso in Fisica, quindi non sapevo che dovesse percorrere tutta la bobina per invertire il moto, questa è un informazione molto utile, quindi grazie ancora Nikikinki

[RenzoDF]

Premesso che l'hai presa davvero troppo alla lontana [nota]Se vuoi seguire questo tuo metodo ad un esame, dovrai farlo a puntate. [/nota] , e che non capisco come quell'aggeggio riesca a fornire una forza di 50 newton a quel nucleo ferromagnetico, vorrei solo far notare che quella metodologia risolutiva (ultra semplificata) [nota]Vostra e del testo.[/nota] porta ad un risultato completamente inattendibile.

[Mark95]

So che l'ho presa molto alla lontana, ma a casa, un po' per esercitarmi sulle dimostrazioni e un po' perché mi piace ricavare i risultati dalle definizioni o leggi di base, tendo a svolgerli in questo modo gli esercizi. Capisco che forse è un po' troppo, ma ho fatto la stessa cosa in Fisica 1 e questa cosa mi ha premiato, comunque se all'esame mi sconsigliate di procedere in questo modo, se l'esercizio è analogo, cercherò di non fare tutti i passaggi, però se l'esercizio è ignoto cercherò di ragionare come al solito, al massimo perdo mezz'ora su un esercizio e gli altri se sn fattibili li farò in meno tempo applicando la formula necessaria! RenzoDF quindi i nostri calcoli sono sbagliati? Oddio, allora come si svolge questo esercizio? ora sono più teso di una corda di violino. Mannaggia, questi esercizi mi fanno sentire un totale senso di inettitudine!

[RenzoDF]

"Mark95":... se l'esercizio è analogo, cercherò di non fare tutti i passaggi, ...

Direi proprio che ti converrebbe; in questo caso dovevi solo ricordare la relazione approssimata per il campo magnetico valida per un solenoide "lungo" e l'energia associata al sistema, o via quella relativa ad un induttore o via energia magnetica specifica.

"Mark95":... Oddio, allora come si svolge questo esercizio? ...

Diciamo che tu lo hai svolto H-demicamente in modo corretto, anche se mi sembra di capire che sui tempi ti sei un po' incartato.

Io intendevo dire che anche la soluzione ufficiale è errata in quanto l'approssimazione fatta relativamente alla "chiusura" del circuito magnetico in aria a riluttanza trascurabile, non è accettabile vista la presenza di un nucleo ferromagnetico.

La tua soluzione (ma, anche se non esplicitata, equivalentemente, quella usata dal testo) va a calcolare la forza dalla

$F=\frac{1}{2}\frac{\partial \left[ Li^{2} \right]}{\partial x}$

possiamo dire considerando l'induttanza complessiva del sistema $L$ come somma di una induttanza $L_x$ relativa alla frazione di solenoide (di lunghezza x) con nucleo ferromagnetico ad una induttanza $L_a$ relativa ad un solenoide in aria di lunghezza (d-x), andando però ad usare per entrambe una relazione [nota]\(L=N^2/\Re \), che per es. inizialmente per il tratto in ferro, porta a una (per quanto detto errata) \(L_x=\mu \Sigma n^2 x\).[/nota] valida solo per un induttore lungo e in aria; per la frazione con nucleo in ferro (la parte a maggior "peso") però, la suddetta relazione non è applicabile.

Per il calcolo della forza in quel sistema, nel mondo reale si andrebbe senza dubbio ad usare un software agli elementi finiti, tipo FEMM http://www.femm.info/wiki/HomePage

oppure si potrebbe accettare l'approssimazione fornita dalla determinazione di una "permeabilità apparente"

$\mu_\text{a} = \frac{\mu_\text{r}}{1+(\mu_\text{r}-1)D}$

funzione di un coefficiente $D$ detto fattore di demagnetizzazione [nota]Fattore che si trova tabulato.[/nota] che lega il campo demagnetizzante alla magnetizzazione del nucleo e che dipende dal fattore di forma del nucleo (lunghezza/diametro del solenoide) e dalla permeabilità relativa.

Per concludere, errori numerici a parte, l'errore non è tuo, è H-demico.

-----------------------------------------------------------------------------------
BTW Giusto per i più curiosi, c'è anche un Bellissimo lavoro analitico sull'argomento, di Lubin, Berger e Rezzoug

http://www.jpier.org/PIERB/pierb41/18.12051105.pdf.

[RenzoDF]

Visto che oggi avevo un po' di tempo da perdere, ho provato a vedere cosa mi dice l'analisi agli elementi finiti, relativamente a quella forza F, usando FEMM [nota]Completamente gratuito, di David Meeker.[/nota].

Tracciata la geometria, scelti e assegnati i materiali, impostato il livello di suddivisione



faccio partire la simulazione ed ecco il risultato che ottengo per il campo magnetico



ed infine, selezionato il nucleo ferromagnetico, attraverso l'uso della modalità
Force via Weighted Stress Tensor della funzione Block Integrals, la forza agente sullo stesso



che risulta $F\approx 2.3 \ \text{N}$, e quindi, rispetto a quella teorica (H-demica), presenta un rapporto

$k\approx \frac {50 \ \text{N}}{2.3 \ \text{N}}\approx 22$

Una bella differenza, non credi?

[Mark95]

Wow, che grande lavoro c'era da fare dietro a questo esercizio!! d'accordo che l'approssimazione non si poteva fare, ma veramente non avevo gli strumenti per poter dedurre tutto ciò che ha fatto! Mi sto laureando in chimica industriale e il mio programma è un po' più leggero rispetto agli studenti del corso di fisica o del corso di matematica.
In ogni caso, supponendo che l'approssimazione che ho fatto non si possa fare e prendendo la forza da lei calcolata, come si può arrivare a capire il tempo $t_0$? anche perché il ragionamento dovrebbe risultare analogo anche con la forza ricavata da lei! o sbaglio? Comunque lei è geniale RenzoDF! La forza effettiva è molto minore rispetto a quella teorica, lei l'ha capito subito dopo che ho postato i risultati del libro!! Eccezionale, è anche molto paziente, la ringrazio

[RenzoDF]

"Mark95":... non avevo gli strumenti per poter dedurre tutto ciò che ha fatto! ...

Tu hai fatto quello che ti hanno insegnato a fare e il tuo procedimento, come ti dicevo, è corretto; ho solo voluto far notare che quelle approssimazioni nella realtà non si possono proprio fare.

"Mark95":... In ogni caso, supponendo che l'approssimazione che ho fatto non si possa fare e prendendo la forza da lei calcolata, come si può arrivare a capire il tempo $t_0$? anche perché il ragionamento dovrebbe risultare analogo anche con la forza ricavata da lei! o sbaglio? ...

Premesso che qui sul Forum non ci sono dei "lei", ma solo dei "tu" , nella realtà il tempo sarebbe più complesso calcolarlo, in quanto al variare della posizione del nucleo cambia anche la configurazione del campo e la forza sulla barra non sarà più nulla internamente al solenoide.
In FEMM si può anche programmare un movimento del nucleo attraverso uno script in Lua e ottenere l'andamento della forza in funzione della posizione, ma non so se avrò tempo per farlo.

[Mark95]

Mi sentirei a disagio ad usare il "tu" se lei è un insegnante-dottore-ingegnere o anche semplicemente un uomo più grande di me, io non la conosco, quindi mi sembrava giusto avere un po' di rispetto . Comunque ci proverò!

Ti ringrazio per le risposte fin'ora date! sono tutte informazioni utili e interessanti, non vorrei rubarti molto tempo, anche perché se il tempo si perde nessuno te lo restituisce più, è più prezioso del denaro!
RenzoDF se capita che hai del tempo libero e non hai nulla da fare in programma, mi rispondi! altrimenti no, perché capisco che ci vuole un po' di tempo da dedicare su questo esercizio e capisco anche che ognuno ha la sua vita oltre al forum!

Non sai quante volte stavo per scrivere con il "lei"