Esercizio sistema di 2 punti materiali
Ciao a tutti...ho un piccolo problema con il calcolo del "braccio" in questo esercizio:
Due punti materiali entrambi di massa m = 2 kg sono fissati rispettivamente nel punto
medio e ad un'estremità di un'asta rigida sottile, di massa trascurabile e di lunghezza L = 1.6 m. L’asta
ha l'altra estremità ancorata ad un punto fisso O mediante una cerniera puntiforme liscia che consente
al sistema asta + punti materiali di ruotare nel piano verticale xy attorno all’asse orizzontale z passante
per O. Inizialmente, il sistema è mantenuto in quiete, nel piano verticale xy, tramite una fune ideale, di
massa trascurabile che pende verticalmente da un punto fisso G ed è collegata alla massa posta
all’estremità dell'asta, mentre questa forma un angolo θ0 = 60° con l’asse verticale x di riferimento.
All’istante t = 0 la fune si spezza e il sistema (asta + punti materiali), non più in equilibrio, inizia a
ruotare nel piano verticale xy attorno all'asse z passante per O. Determinare nel sistema di riferimento
del laboratorio Oxyz:
a) la tensione T della fune e la reazione RO sviluppata dalla cerniera in O nella condizione di
equilibrio iniziale del sistema asta + punti materiali;
...
(nel disegno, @ corrisponde a $theta$).
il ragionamento da fare in questo tipo di esercizi mi è chiaro, ossia creo un sistema con le forze esterne che agiscono sui corpi:
$ma_1 = Fp - T = 0$
$ma_2 = Fp - R = 0$
Con $T$ intendo la tensione della fune e $R$ intendo la reazione del vincolo.
Siccome è un sistema a 2 particelle e ho un sistema con 2 equazioni e 3 incognite, devo usare la formula
$\sum_{i=1}^{3} F_{i} \times \vec{r}$, con $F_{i}$ la forza considerata e $\vec{r}$ il "braccio".
La mia domanda è: visto che per la forza peso della particella più distante dall'origine ho $ - mg L \sin \theta$, per l'altra particella (sempre parlo di Fp) ho $ -mg \frac{L}{2} \sin \theta$, la reazione del vincolo è evidentemente 0 perché il braccio è nullo...ma per la tensione, cos'ho? Devo considerare la distanza $Gm$, oppure $OG$, oppure la lunghezza $L$ o altrimenti la lunghezza $ OG + Gm$ ?
Due punti materiali entrambi di massa m = 2 kg sono fissati rispettivamente nel punto
medio e ad un'estremità di un'asta rigida sottile, di massa trascurabile e di lunghezza L = 1.6 m. L’asta
ha l'altra estremità ancorata ad un punto fisso O mediante una cerniera puntiforme liscia che consente
al sistema asta + punti materiali di ruotare nel piano verticale xy attorno all’asse orizzontale z passante
per O. Inizialmente, il sistema è mantenuto in quiete, nel piano verticale xy, tramite una fune ideale, di
massa trascurabile che pende verticalmente da un punto fisso G ed è collegata alla massa posta
all’estremità dell'asta, mentre questa forma un angolo θ0 = 60° con l’asse verticale x di riferimento.
All’istante t = 0 la fune si spezza e il sistema (asta + punti materiali), non più in equilibrio, inizia a
ruotare nel piano verticale xy attorno all'asse z passante per O. Determinare nel sistema di riferimento
del laboratorio Oxyz:
a) la tensione T della fune e la reazione RO sviluppata dalla cerniera in O nella condizione di
equilibrio iniziale del sistema asta + punti materiali;
...
(nel disegno, @ corrisponde a $theta$).
il ragionamento da fare in questo tipo di esercizi mi è chiaro, ossia creo un sistema con le forze esterne che agiscono sui corpi:
$ma_1 = Fp - T = 0$
$ma_2 = Fp - R = 0$
Con $T$ intendo la tensione della fune e $R$ intendo la reazione del vincolo.
Siccome è un sistema a 2 particelle e ho un sistema con 2 equazioni e 3 incognite, devo usare la formula
$\sum_{i=1}^{3} F_{i} \times \vec{r}$, con $F_{i}$ la forza considerata e $\vec{r}$ il "braccio".
La mia domanda è: visto che per la forza peso della particella più distante dall'origine ho $ - mg L \sin \theta$, per l'altra particella (sempre parlo di Fp) ho $ -mg \frac{L}{2} \sin \theta$, la reazione del vincolo è evidentemente 0 perché il braccio è nullo...ma per la tensione, cos'ho? Devo considerare la distanza $Gm$, oppure $OG$, oppure la lunghezza $L$ o altrimenti la lunghezza $ OG + Gm$ ?
Risposte
"EnneGi":
Ciao a tutti...ho un piccolo problema con il calcolo del "braccio" in questo esercizio:
Due punti materiali entrambi di massa m = 2 kg sono fissati rispettivamente nel punto
medio e ad un'estremità di un'asta rigida sottile, di massa trascurabile e di lunghezza L = 1.6 m. L’asta
ha l'altra estremità ancorata ad un punto fisso O mediante una cerniera puntiforme liscia che consente
al sistema asta + punti materiali di ruotare nel piano verticale xy attorno all’asse orizzontale z passante
per O. Inizialmente, il sistema è mantenuto in quiete, nel piano verticale xy, tramite una fune ideale, di
massa trascurabile che pende verticalmente da un punto fisso G ed è collegata alla massa posta
all’estremità dell'asta, mentre questa forma un angolo θ0 = 60° con l’asse verticale x di riferimento.
All’istante t = 0 la fune si spezza e il sistema (asta + punti materiali), non più in equilibrio, inizia a
ruotare nel piano verticale xy attorno all'asse z passante per O. Determinare nel sistema di riferimento
del laboratorio Oxyz:
a) la tensione T della fune e la reazione RO sviluppata dalla cerniera in O nella condizione di
equilibrio iniziale del sistema asta + punti materiali;
...
(nel disegno, @ corrisponde a $theta$).
il ragionamento da fare in questo tipo di esercizi mi è chiaro, ossia creo un sistema con le forze esterne che agiscono sui corpi:
$ma_1 = Fp - T$
$ma_2 = Fp - R$
Con $T$ intendo la tensione della fune e $R$ intendo la reazione del vincolo.
Siccome è un sistema a 2 particelle e ho un sistema con 2 equazioni e 3 incognite, devo usare la formula
$\sum_{i=1}^{3} F_{i} \times \vec{r}$, con $F_{i}$ la forza considerata e $\vec{r}$ il "braccio".
La mia domanda è: visto che per la forza peso della particella più distante dall'origine ho $ - mg L \sin \theta$, per l'altra particella (sempre parlo di Fp) ho $ -mg \frac{L}{2} \sin \theta$, la reazione del vincolo è evidentemente 0 perché il braccio è nullo...ma per la tensione, cos'ho? Devo considerare la distanza $Gm$, oppure $OG$, oppure la lunghezza $L$ o altrimenti la lunghezza $ OG + Gm$ ?
Sinceramente credo che un pò tutto vada rivisto.
Primo definito il sistema di riferimento in cui lavori queste due equazioni(non scritte in forma vettoriale)
$ma_1 = Fp - T$
$ma_2 = Fp - R$
sono sbagliate. O meglio, con il sistema di riferimento oxy che hai definito la prima va bene(per ipotesi T e F_p sono solo forze verticali inizialmente) ma la seconda no. R non è verticale. Devi calcolarti quindi la componente verticale di R.
Secondo:
$\sum_{i=1}^{3} F_{i} \times \vec{r}$
E' sbagliatissima! Per definizione il momento torcente di una forza rispetto ad un polo è
$ \vec r \times \vec{F}$
Infine andiamo alla tua richiesta. Il braccio è la componente del vettore r perpendicolare alla retta del vettore F. Nel tuo caso è quindi GO. O se no ti calcoli direttamente il modulo del momento torcente e sai che è Frsin@ e proprio rsin@ è il braccio.
P.S
Perchè per il calcolo delle tensione e della reazione non hai considerato l'asta con le due m come un corpo solo?
Sinceramente credo che un pò tutto vada rivisto.
Primo definito il sistema di riferimento in cui lavori queste due equazioni(non scritte in forma vettoriale)
$ma_1 = Fp - T$
$ma_2 = Fp - R$
sono sbagliate. O meglio, con il sistema di riferimento oxy che hai definito la prima va bene(per ipotesi T e F_p sono solo forze verticali inizialmente) ma la seconda no. R non è verticale. Devi calcolarti quindi la componente verticale di R.
Questa parte mi serviva solo per impostare lo svolgimento; tanto R non è importante in questa parte dell'esercizio perché il suo braccio è nullo! Poi non è scritta come forze orientate, ho solo scritto che sulla massa 1 agiscono delle forze, nell'altra ne agiscono altre, ma non ho orientato nulla!
Secondo:
$\sum_{i=1}^{3} F_{i} \times \vec{r}$
E' sbagliatissima! Per definizione il momento torcente di una forza rispetto ad un polo è
$ \vec r \times \vec{F}$
Non mi risulta che sia sbagliata, perché per definizione (come mi ha insegnato il mio insegnante all'università) la somma di tutte le forze esterne deve essere 0 nel sistema in equilibrio. Se magari intendi che di solito è scritta così $\frac{d\vec{L_o}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \tau _{o,i}^{E} = 0$ cioè $\tau _{o,m}^{E} + \tau_{o,M}^{I} = 0$ ,ok, però era un modo il mio per scrivere più velocemente.
P.S
Perchè per il calcolo delle tensione e della reazione non hai considerato l'asta con le due m come un corpo solo?
forse perché è un sistema a due particelle e sviluppano forze diverse?
la tensione della fune non è data esclusivamente da un "corpo solo".Non mi è ancora tutto chiaro...
Comunque adesso ho chiesto al mio insegnante e mi ha detto che il braccio della tensione della fune è Om, perchè è "la distanza fra il punto di applicazione della forza e il polo rispetto a cui calcoli il momento"
strano proprio per definizione dovrebbe essere come ho detto og
p.s
dov'è l'immagine?
p.s
dov'è l'immagine?
l'immagine c'è! L'ho caricata sotto il testo...
infatti c'è scritto come dico io:
Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, allora il momento meccanico totale è definito dalla somma dei singoli momenti meccanici, ognuno dovuto alla forza sul singolo componente e al relativo braccio
Ragazzi, scusate se mi intrometto.
EnneGi, ma perchè vuoi risolvere un semplice problemino di Statica ( cioè il calcolo della tensione $T$ della fune e la reazione vincolare $R_o$ della cerniera) scrivendo equazioni di Dinamica??
LA soluzione è semplice. Il peso totale agente delle due masse è $2mg$, ed è applicato nel centro di massa $C$, che si trova sull'asta a metà tra le due masse stesse, quindi a distanza $3/4L$ da $O$.
La distanza $OG$ vale : $OG = sqrt3/2*L$.
LA coordinata $y_C$ del cdm vale i $3/4$ della precedente distanza, cioè : $y_C = 3sqrt3/8*L$.
Non vi sono forze orizzontali, quindi la reazione $R_o$ della cerniera non può essere che verticale, così come la tensione $T$ della fune. Si tratta allora di trovare due forze verticali, parallele tra loro, la cui risultante equilibria il peso $P$ applicato in $C$. E si fa cosi :
-per l'equilibrio alla traslazione verticale : $ P-T-R_o = 0$----(1)
- per l'equilibrio alla rotazione attorno ad $O$, il momento del peso $P*y_c$ e il momento della tensione $T*OG$ devono farsi equilibrio : $P*y_c - T*OG = 0 $ ----(2)
Dalla (2) si ricava la tensione $T= 3/4P$.
Sostituendo nella (1), si ricava il modulo della reazione della cerniera $ R_o = 1/4P$
Comunque, ha ragione Omar, non il tuo professore: il braccio della tensione della fune è $OG$. Qualche volta anche i professori sbagliano. Quello che dice lui è il raggio vettore di $m$, non il braccio.
Qunado scrivi : $vecM = vecr\timesvecF$, il modulo del momento è uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell'angolo compreso : $M= r*F*sen\theta$, e $r*sen\theta = d$ , essendo $d$ la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.
EnneGi, ma perchè vuoi risolvere un semplice problemino di Statica ( cioè il calcolo della tensione $T$ della fune e la reazione vincolare $R_o$ della cerniera) scrivendo equazioni di Dinamica??
LA soluzione è semplice. Il peso totale agente delle due masse è $2mg$, ed è applicato nel centro di massa $C$, che si trova sull'asta a metà tra le due masse stesse, quindi a distanza $3/4L$ da $O$.
La distanza $OG$ vale : $OG = sqrt3/2*L$.
LA coordinata $y_C$ del cdm vale i $3/4$ della precedente distanza, cioè : $y_C = 3sqrt3/8*L$.
Non vi sono forze orizzontali, quindi la reazione $R_o$ della cerniera non può essere che verticale, così come la tensione $T$ della fune. Si tratta allora di trovare due forze verticali, parallele tra loro, la cui risultante equilibria il peso $P$ applicato in $C$. E si fa cosi :
-per l'equilibrio alla traslazione verticale : $ P-T-R_o = 0$----(1)
- per l'equilibrio alla rotazione attorno ad $O$, il momento del peso $P*y_c$ e il momento della tensione $T*OG$ devono farsi equilibrio : $P*y_c - T*OG = 0 $ ----(2)
Dalla (2) si ricava la tensione $T= 3/4P$.
Sostituendo nella (1), si ricava il modulo della reazione della cerniera $ R_o = 1/4P$
Comunque, ha ragione Omar, non il tuo professore: il braccio della tensione della fune è $OG$. Qualche volta anche i professori sbagliano. Quello che dice lui è il raggio vettore di $m$, non il braccio.
Qunado scrivi : $vecM = vecr\timesvecF$, il modulo del momento è uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell'angolo compreso : $M= r*F*sen\theta$, e $r*sen\theta = d$ , essendo $d$ la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.
ma perché mi hanno insegnato che questo tipo di esercizio non si può risolvere come un problema di statica perché ci sono 2 punti materiali...cioè devo usare la formula $\sum_{i=1}^{n} Fi \times r$ e ricavare l'unica incognita che non è nota e che non è nulla cioè $T$. Se mi dite che si può fare diversamente va bene, però a me l'ha insegnato così e vuole che lo risolvo così...mi dite il ragionamento da fare per trovare il braccio?
un attimo...ma se la formula del braccio è $b = r \cdot \sin \alpha$, $r$ in questo caso non è la lunghezza $L$ dell'asta? Riferendosi alla tensione della fune...
"navigatore":
Qunado scrivi : $vecM = vecr\timesvecF$, il modulo del momento è uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell'angolo compreso : $M= r*F*sen\theta$, e $r*sen\theta = d$ , essendo $d$ la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.
Ma quindi $r$ non è la distanza $L$ ? O sono rimbambito io o c'è qualcosa che non va
Se nella formula $Fi \times r$ , $r$ è il braccio cioè ovviamente corrisponderebbe a $r \cdot \sin \theta$, perché non può essere la distanza $L \cdot \sin \theta$?
Forse ho capito dove non capivo...Qualcuno può dirmi se uno di questi due disegni può rappresentare vagamente $r$ della fune?
questo
oppure questo?
"EnneGi":
ma perché mi hanno insegnato che questo tipo di esercizio non si può risolvere come un problema di statica perché ci sono 2 punti materiali...cioè devo usare la formula $\sum_{i=1}^{n} Fi \times r$ e ricavare l'unica incognita che non è nota e che non è nulla cioè $T$. Se mi dite che si può fare diversamente va bene, però a me l'ha insegnato così e vuole che lo risolvo così...mi dite il ragionamento da fare per trovare il braccio?
Perdonami EnneGi, chi ti ha insegnato "che questo tipo di esercizio non si può risolvere come un problema di statica perché ci sono 2 punti materiali.. ?? Anche se i punti fossero tre, quattro...sempre di Statica si tratta! "Statica" vuol dire: trovare le forze e i momenti che assicurano l'equilibrio! ( adesso qualche professore mi mangerà la faccia, perchè io dò delle definizioni alla buona...diciamo da rozzo ingegnere...ma lo faccio per rendere l'idea!)
Vuoi usare la formula che hai scritto tu? E che comunque si scrive $\sum_{i=1}^{n} ri\times Fi$, come dice Omar?
Puoi farlo, anche nel tuo caso....l'ho fatto anche io e forse non lo hai notato, quando ho scritto l'equazione (2) !
La somma dei momenti delle forze agenti rispetto al polo deve essere nulla: benissimo.
Hai una prima massa (diciamo quella a $L/2$), col suo peso $mg$ e il suo raggio vettore rispetto ad $O$ che è un vettore orientato da $O$ al punto in cui si trova $m$: scrivi il primo prodotto vettoriale. Hai una seconda massa, quella a $L$, col suo peso e il suo raggio vettore, orientato da $O$ al punto in ci si trova la seconda massa: scrivi il secondo prodotto vettoriale. Infine hai la tensione $T$, che puoi considerare applicata nello stesso punto in cui è la seconda massa ( e allora il raggio vettore è lo stesso della seconda massa....ma raggio vettore, non braccio, te l'ho già spiegato! Il braccio ha modulo $r*sen\theta$) : scrivi il terzo prodotto vettoriale.
La somma dei tre prodotti vettoriali, uguagliata a zero, ti consente di ricavare $T$.
Ma questa, sempre Statica è!
E io ho fatto in una maniera più spicciativa, come hai visto, calcolando prima la risultante delle due forze peso e mettendola nel cdm. Poi ho scritto le equazioni.
Ora però devi calcolare la reazione della cerniera. E ti ho detto: le forze esterne sono verticali, il cavo pure....e allora la reazione della cerniera deve essere tutta verticale : se avesse una componente orizzontale, a quale forza esterna questa componente orizzontale farebbe equilibrio? A nessuna!
Perciò, per l'equilibrio alla traslazione verticale, la somma delle forze agenti in verticale deve essere nulla. E questo ti consente di ricavare la $R_o$ ( equazione (1) ) .
EnneGi,
mentre scrivevo hai postato i due disegnini : ti accorgi che sono equivalenti? Ma quando vai a fare il prodotto vettoriale, nel caso in cui il raggio vettore e la fune sono perpendicolari , hai $sen90° = 1$ . Nel secondo caso, avrai un numero minore di $1$ per il seno, però il modulo del raggio vettore è maggiore...Il "braccio" è la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.
Si, certo, il raggio vettore, nel secondo disegnino, è proprio $L$ però come vettore orientato da $O$ ad $m$. Non ti confondere, va, va, va proprio così!
mentre scrivevo hai postato i due disegnini : ti accorgi che sono equivalenti? Ma quando vai a fare il prodotto vettoriale, nel caso in cui il raggio vettore e la fune sono perpendicolari , hai $sen90° = 1$ . Nel secondo caso, avrai un numero minore di $1$ per il seno, però il modulo del raggio vettore è maggiore...Il "braccio" è la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.
Si, certo, il raggio vettore, nel secondo disegnino, è proprio $L$ però come vettore orientato da $O$ ad $m$. Non ti confondere, va, va, va proprio così!
Vuoi usare la formula che hai scritto tu? E che comunque si scrive ∑i=1nri×Fi, come dice Omar?
l'ho scritta io veramente...
Comunque, penso di aver scritto una grandissima stupidata generale
Chiedo umilmente perdono ma mi sono accorto che ho chiesto una cosa che non mi serviva...perché navigatore ha scritto quello che volevo sapere dicendo
....ma raggio vettore, non braccio, te l'ho già spiegato! Il braccio ha modulo r⋅senθ)
Io volevo solo sapere se, nell'equazione in cui avrei ipoteticamente
$mg \cdot L/2 \cdot \sin \theta + mg \cdot L \cdot \sin \theta - T \cdot r = 0$ ,
r fosse uguale a Om, cioè la distanza $L$ che è la stessa della seconda massa...
Scusate mi sa che non mi sono riuscito a spiegare per niente
EnneGi, non devi chiedere perdono di nulla! capita di confondersi.
Si , è come dici: poichè qui la seconda massa è piazzata proprio nel punto in cui è attaccata la fune, chiaramente sia la seconda massa che il punto di attacco fune hanno lo stesso raggio vettore, il qual è lungo $L$ ed è orientato da $O$ verso l'estremità dell'asta. PErò attenzione a come hai scritto l'ultimo prodotto vettoriale! Dev'essere $-T*L*sen\theta$, chiaro?
AAAAAAAHHHHHHH! Finalmente ce l'abbiamo fatta!
Si , è come dici: poichè qui la seconda massa è piazzata proprio nel punto in cui è attaccata la fune, chiaramente sia la seconda massa che il punto di attacco fune hanno lo stesso raggio vettore, il qual è lungo $L$ ed è orientato da $O$ verso l'estremità dell'asta. PErò attenzione a come hai scritto l'ultimo prodotto vettoriale! Dev'essere $-T*L*sen\theta$, chiaro?
AAAAAAAHHHHHHH! Finalmente ce l'abbiamo fatta!
comunque riguardo alla questione di Statica, intendevo che non si poteva risolvere scrivendo semplicemente la somma delle forze ed eguagliarle a 0 ... non altro :/ scusate veramente, il fatto è che ci sto perdendo la testa...
finalmente!!!!!!!!!!!!!!! grazie mille, ora (FINALMENTE) ho capito perché non ci trovavamo...non mi sono spiegato XD grazie mille veramente!
Prometto che la prossima volta prometto che scriverò direttamente la formula che non mi convince così sono sicuro di non scrivere stupidate v.v portate pazienza, sono un informatico
E allora tienici informati dei tuoi progressi.
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