Esercizio sfera non conduttrice con guscio conduttore
Salve a tutti, sto risolvendo un problema di fisica 2 e avrei bisogno di una mano, il testo è il seguente:
Una sfera non conduttrice di raggio $R_1$ è uniformemente carica nel suo volume, con carica totale $Q_1 < 0$, e riempie senza intercapedini una sfera cava conduttrice, ad essa omocentrica, carica negativamente, di raggio esterno $R_2 = 16R_1$. La struttura metallica ha la stessa quantità di carica $Q2 = Q1$ della sfera non conduttrice interna.
Il primo punto chiede di determinare l'espressione del campo elettrico in tutto lo spazio, vi spiego come lo sto risolvendo:
Essendo in presenza di simmetria sferica, le linee di campo avranno direzione radiale.
Per $r
$Q_(tot,libera)=\int_V \rhodV = \rho \int_V dV = \rho 4/3\pi R_1^3$
Per $R_1 < r < R_2$, ovvero all'interno del conduttore, si ha che il campo $E(r)=0$ poiché, essendo il conduttore in equilibro elettrostatico non c'è spostamento di carica.
Per $r > R_2$, il campo $E(r)$ ha la stessa espressione del caso $r
E' giusto? Avrei dei dubbi riguardo il terzo caso, in quanto non so se devo considerare il sistema di cariche formato dalla sfera non conduttrice e dal guscio conduttore.
Grazie in anticipo!
Una sfera non conduttrice di raggio $R_1$ è uniformemente carica nel suo volume, con carica totale $Q_1 < 0$, e riempie senza intercapedini una sfera cava conduttrice, ad essa omocentrica, carica negativamente, di raggio esterno $R_2 = 16R_1$. La struttura metallica ha la stessa quantità di carica $Q2 = Q1$ della sfera non conduttrice interna.
Il primo punto chiede di determinare l'espressione del campo elettrico in tutto lo spazio, vi spiego come lo sto risolvendo:
Essendo in presenza di simmetria sferica, le linee di campo avranno direzione radiale.
Per $r
$Q_(tot,libera)=\int_V \rhodV = \rho \int_V dV = \rho 4/3\pi R_1^3$
Per $R_1 < r < R_2$, ovvero all'interno del conduttore, si ha che il campo $E(r)=0$ poiché, essendo il conduttore in equilibro elettrostatico non c'è spostamento di carica.
Per $r > R_2$, il campo $E(r)$ ha la stessa espressione del caso $r
E' giusto? Avrei dei dubbi riguardo il terzo caso, in quanto non so se devo considerare il sistema di cariche formato dalla sfera non conduttrice e dal guscio conduttore.
Grazie in anticipo!
Risposte
Vediamo le varie zone
$0
$E*4*pi*r^2 = rho*(4/3*pi*r^3)/epsilon_0 = Q_1/(4/3 pi R_1^3)*4/3*pi*r^3/epsilon_0 = r^3/ R_1^3*Q_1/epsilon_0$
e pertanto il campo radiale e diretto verso l'interno perchè la carica è negativa, varrà:
$E = Q_1/(4 pi epsilon_0)*r/R_1^3$
$R_1
$r>R_2$
La carica totale contenuta in una superficie Gaussiana vale $Q_1+Q_2 = 2 Q_1$ e quindi applicando il T di Gauss, il campo varrà
$E = Q_1/(2 pi epsilon_0 r^2)$
radiale e diretto verso l'interno.
$0
$E*4*pi*r^2 = rho*(4/3*pi*r^3)/epsilon_0 = Q_1/(4/3 pi R_1^3)*4/3*pi*r^3/epsilon_0 = r^3/ R_1^3*Q_1/epsilon_0$
e pertanto il campo radiale e diretto verso l'interno perchè la carica è negativa, varrà:
$E = Q_1/(4 pi epsilon_0)*r/R_1^3$
$R_1
$r>R_2$
La carica totale contenuta in una superficie Gaussiana vale $Q_1+Q_2 = 2 Q_1$ e quindi applicando il T di Gauss, il campo varrà
$E = Q_1/(2 pi epsilon_0 r^2)$
radiale e diretto verso l'interno.
Grazie per la correzione!
Invece per calcolare il potenziale elettrostatico in tutto lo spazio (riferito all'infinito) come devo procedere?
So che devo usare la formula $\DeltaV = -\int \vec E d\vec r$, ma non capisco bene cosa si intende con "riferito all'infinito".
Io l'ho interpretato in questo modo:
Si fissa un punto generico P dove calcolare il potenziale e come riferimento si prende un punto dove non si sente più l'effetto del campo $\vec E$, quindi dove il potenziale sarà nullo.
Non riesco a capire però come impostare gli integrali per calcolare il potenziale richiesto.
Grazie ancora per l'aiuto.
Invece per calcolare il potenziale elettrostatico in tutto lo spazio (riferito all'infinito) come devo procedere?
So che devo usare la formula $\DeltaV = -\int \vec E d\vec r$, ma non capisco bene cosa si intende con "riferito all'infinito".
Io l'ho interpretato in questo modo:
Si fissa un punto generico P dove calcolare il potenziale e come riferimento si prende un punto dove non si sente più l'effetto del campo $\vec E$, quindi dove il potenziale sarà nullo.
Non riesco a capire però come impostare gli integrali per calcolare il potenziale richiesto.
Grazie ancora per l'aiuto.
"alemezz":
non capisco bene cosa si intende con "riferito all'infinito".
Significa quello hai ipotizzato, ovvero che le differenze di potenziale sono da calcolare rispetto ad un punto all'infinito o più semplicemente possiamo assumere nullo il potenziale all'infinito. Per il potenziale, visto che la base di partenza è all'infinito, è conveniente procedere a ritroso.
$r > R_2$
$V(r) - V(infty) = -int_infty^r E(r) dr = -int_infty^r Q_1/(2 pi epsilon_0 r^2)dr = Q_1/(2 pi epsilon_0 r)$
un risultato peraltro abbastanza scontato e per il quale non era necessario integrare visto che il campo esterno è quello di una carica puntiforme di valore $2 Q_1$.
$ R_1
$V(r) - V(infty) = Q_1/(2 pi epsilon_0 R_2)=Q_1/(32 pi epsilon_0 R_1)$
$ r < R_1$
$V(r) - V(infty) = -int_infty^r E(r)dr = -int_infty^(R_1) E(r)dr - int_(R_1)^r = V(R_1) - V(infty) - int_(R_1)^r Q_1/(4 pi epsilon_0) r/R_1^3 dr =$
$=Q_1/(32 pi epsilon_0 R_1)+Q_1/(8 pi epsilon_0 R_1)*(1-(r/R_1)^2) = Q_1/ (8 pi epsilon_0 R_1) (5/4-(r/R_1)^2)$
Perfetto ora mi è tutto più chiaro, grazie per la pazienza 
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