Esercizio semplice di cinematica

[matemos]

Sera a tutti, mi trovo con questo esercizio

Due ciclisti devono percorrere il tratto rettilineo
nale, della loro tappa giornaliera, di lunghezza
pari ad L. Il primo viaggia in moto rettilineo
uniforme alla velocita v1 mentre il secondo alla
velocita v2. Calcolare di quanto puo partire in ri-
tardo il primo ciclista (i.e., t0;1) per poter ancora
vincere la gara ed il vantaggio minimo (i.e., x0;2)
che puo avere il secondo ciclista per riuscire a
tagliare il traguardo vincendo la gara. Ricavare
inne di quanto deve ritardare il secondo ciclista
t0;2 per vincere la gara nel caso in cui percorra
il tratto nale di moto rettilineo uniformemente
accelerato con accelerazione a2 e velocita iniziale
(i.e., v0;2) nulla.

e non comprendo il metodo risolutivo svolto, in pratica prende

$x(t)=x_(01)+v_1(t_1-t_01)$
e
$x(t)=x_(02)+v_1(t_2-t_02)$
formule(1)

impone la condizione al traguardo $x(t1)=x(t2)=L$

e ricava da
$L=v_1 (t_1-t_(01)) -> t_1=t_(01)+L/v_1$
e
$L=v_2 t_2 -> t_2=L/v_2$

e impone che $t_(1)
Non riesco a capire questa imposizione di minore perché in realtà $x(t)=x_(01)+v_1(t-t_01)$ il termine $(t-t_01)$ dovrebbe espriemere t(totale)-t_01 (quella quando parte).
Prendere t1 e t2 diversi nelle formule (1) mi sballerebbe il ragionamento.

Grazie

[Edit]
avrei detto: ho un tempo t in cui il ciclista 2 percorre tutto il tragitto
Il ciclista 1 invece avrà un tempo t01 che sarà il tempo di ritardo con cui può partire, ricavo imponendo L uguali allo spazio finale di traguardo, quindi a sistema
$L=v_1 (t_1-t_(01)) -> t_1=t_(01)+L/v_1$
e
$L=v_2 t_2 -> t_2=L/v_2$
da cui $ v_2 t_2=v_1 (t_1-t_(01))$ essendo t_2 e t_1 uguali che corrispondono al tempo totale di percorrenza ricavo $t_2(v_1-v_2)/v_1=t_0$ iniziale che permette di arrivare nello stesso momento i due ciclisti.

[professorkappa]

A parte che c'e' un errore di segno, e deve risultare $t_0=t_2[v_1-v_2]/v_1$.
$t_2$ non lo conosci direttamente, devi esprimerlo in funzione di quantita' note: e di certo $t_2=L/v_2$

e quindi: $t_0=t_2[v_1-v_2]/v_1=L/v_2[v_1-v_2]/v_1$ che e' esattamente il valore cercato.

[matemos]

Grazie mille per l'aiuto ed hai ragione, ho sbagliato a scrivere qui, scusate. Ho corretto.
Quindi il mio ragionamento è corretto in pratica (a meno di quell'errore di segno)


Tornando all'altro metodo:
Mi sembrava di averlo capito, ma riguardando oggi mi accorgo che non è vero.
Non riesco a capire il ragionamento dell'esercizio svolto che dicevo in apertura

Grazie

[professorkappa]

Non lo capisci perche' e' molto confuso. Sei sicuro di aver copiato bene?
Il punto e' semplice: il secondo ciclista viaggia secondo $x_2=v_2t$
Il primo viaggia con $x_1=v_1(t-t_[01])$

il tempo impiegato dal secondo ciclista e' $L/v_2$ e d'altronde il primo ciclista deve percorre $x_1=L$

Quindi $L=v_1(L/v_2-t_[01])$

E da qui ricavi il massimo ritardo $t_[01]=L(1/v_1-1/v_2)$.

Qual e' il tuo dubbio?

[matemos]

Aspetta, prima di continuare a presentare il dubbio sullo svolgimento, non ho capito.
Non doveva essere: $t_01=1=L/v_2[v_1-v_2]/v_1$? come dicevamo prima.
E non:
"E da qui ricavi il massimo ritardo $t_[01]=L(1/v_1-1/v_2)$."

Mi sono perso un attimo

[professorkappa]

"matemos":
Non doveva essere: $t_01=1=L/v_2[v_1-v_2]/v_1$? come dicevamo prima.
E non:
"E da qui ricavi il massimo ritardo $t_[01]=L(1/v_1-1/v_2)$."

Da dove esce quell' 1?
Comunqie, se sviluppi I calcoli, sono identiche

[matemos]

Ehm dal fatto che ho scritto stamattina prima di uscire a lezione e non ho riletto. Devo aver schiacciato inavvertitamente il tasto 1

Allora ora ci siamo $t_[01]=L(1/v_1-1/v_2)$ dovrebbe essere invece: $t_[01]=L(1/v_2-1/v_1)$ c'è un inversione dei v, ora ho compreso.

Passando al dubbio centrale: non capisco la strategia applciata dal professore, nel senso che io ho applicato esattamente quanto dici anche tu, ma il professore (ho cofrontato con 2 diversi compagni) ha fatto questi passaggi

$x(t)=x_(01)+v_1(t_1-t_01)$
e
$x(t)=x_(02)+v_1(t_2-t_02)$
formule(1)

impone la condizione al traguardo $x(t1)=x(t2)=L$

e ricava da
$L=v_1 (t_1-t_(01)) -> t_1=t_(01)+L/v_1$
e
$L=v_2 t_2 -> t_2=L/v_2$

e impone che $t_(1)
Non riesco a capire questa imposizione di minore perché in realtà $x(t)=x_(01)+v_1(t-t_01)$ il termine $(t-t_01)$ dovrebbe espriemere t(totale)-t_01 (quella quando parte).
Prendere t1 e t2 diversi nelle formule (1) mi sballerebbe il ragionamento.

In pratica imporre quel $t_(1)

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[professorkappa]

Si, l'inversione e' un errore mio, ho invertito gli indici inavvertitamente.
Il professore impone che il tempo del ciclista "piu' veloce" (ritardo + tempo impiegato a pedalare) sia minore o uguale al tempo impegato dal ciclista lento che se lo passa tutto a pedalare.
Nel caso che sia uguale arrivano assieme al traguardo. Nel caso sia minore, il ciclista veloce addirittura vince anche se passa in ritardo..
Le formule che il professore scrive all'inizio sono generali ($x_[01]$ e $x_[02]$ sono i punti di inizio, e addirittura considera un eventuale ritardo per entrambi i ciclisti, che poi impone opportunamente nulli dove applicabili).

[matemos]

Ecco, ma il problema mi nasce perché il Prof. non impone che il $(t_1−t_(01))$ sia minore-uguale al tempo $t_2$, il Professore dice: $t_1 (Prova a riguardare la citazione perché nel primo post avevo fatto pasticcio con gli indici )

Quello che esponi tu è quello che farei anche io.

Grazie mille!

[professorkappa]

"matemos":Ecco, ma il problema mi nasce perché il Prof. non impone che il $(t_1−t_(01))$ sia minore-uguale al tempo $t_2$, il Professore dice: $t_1 (Prova a riguardare la citazione perché nel primo post avevo fatto pasticcio con gli indici )

Quello che esponi tu è quello che farei anche io.

Grazie mille!

Ma non deve imporre $(t_1−t_(01)) Se il cronometro parte da 0, il ciclista 1 pedala da subito e ci mette $t_2=L/v_2 sec$, l'altro sta fermo per $t_0$, poi pedala per $L/v_1 sec$.
Se il ciclista 1 impiega un tempo totale $t_0+L/v_1$ minore del tempo $L/v_2$ vince.

[matemos]

Mi sono spiegato malissimo mi accorgo. Azzeriamo tutto, perdonami senza spazientirti

Ci riprovo:
in sostanza il secondo ciclista pedala $t_2=L/v_2 sec$ come dicevi, il primo pedala per un tempo $t$ dato da $t_2-t_0$ (in questa scrivo $t_2$ perché il tempo "t" in realtà è il medesimo per entrambi quando giungeranno in x finale)


Il professore invece dal sistema
$L=v_1 (t_1-t_(01)) -> t_1=t_(01)+L/v_1$
e
$L=v_2 t_2 -> t_2=L/v_2$
Impone cioè un t (chiamiamolo totale finale) diverso (t1 e t2) fatto ciò scrive: $t_1=t_(01)+L/v_1
E' questo il ragionamento che non vedo.

[professorkappa]

"matemos":Mi sono spiegato malissimo mi accorgo. Azzeriamo tutto, perdonami senza spazientirti

Ci riprovo:
in sostanza il secondo ciclista pedala $t_2=L/v_2 sec$ come dicevi, il primo pedala per un tempo $t$ dato da $t_2-t_0$ (in questa scrivo $t_2$ perché il tempo "t" in realtà è il medesimo per entrambi quando giungeranno in x finale)

Fermati qui.
Questa non e' vera in generale. E' vera solo se tu dai per scontato che i 2 ciclisti arrivano allo stesso istante, contemporaneamente.

Allora con la tua notazione:
$t_2=L/v_2$ (tempo del cicilsta lento)
$t_0+L/v_1=t_2$ (ritardo piu' tempo di pedalata del ciclista veloce)

Elimini il $t_2$ e trovi il $t_0=L/v_2-L/v_1$ (e' un valore puntuale, ne esiste solo uno di ritardo che fa giungere i ciclisti al traguardo allo stesso istante).

Riprendiamo:

"matemos":

Il professore invece dal sistema
$L=v_1 (t_1-t_(01)) -> t_1=t_(01)+L/v_1$
e
$L=v_2 t_2 -> t_2=L/v_2$
Impone cioè un t (chiamiamolo totale finale) diverso (t1 e t2) fatto ciò scrive: $t_1=t_(01)+L/v_1
E' questo il ragionamento che non vedo.

Il professore, invece, fa un ragionamento generale: fissato il tempo di pedalata $t_2=L/v_2$ del ciclista lento, il ciclista veloce puo' pareggiare (caso sopra), oppure addirittura vincere, se impiega un tempo $t_0+t_1$ per arrivare al traguardo, dove ora $t_1$ non ha alcuna relazione puntuale con $t_2$, ma solo una diseguaglianza necessaria per vincere: deve essere, cioe', $t_0+t_1
E siccome $t_1$ e' il tempo di pedalata, uguale a $L/v_1$ e $t_2$ e' sempre $L/v_2$, si ha

$t_0+L/v_1

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