Esercizio semplice
è un esercizio facile, ma qualcosa non mi torna così vi chiedo una mano
Un dato filo può reggere senza spezzarsi una tensione massima di 4 kg. Un bambino attacca a un estremità una pietra di 3.6 kg e, trattenendo il filo all'altro estremo, fa girare la pietra descrivendo un cerchio verticale di 1.2 m di raggio, aumentando gradatamente la rotazione finchè il filo si strappa.
a) in quale punto dell'orbita circolare si trova la pietra al momento della rottura?
b) qual'è la velocità della pietra in quel momento?
non mi torna in particolare il valore della velocità
ciao
Un dato filo può reggere senza spezzarsi una tensione massima di 4 kg. Un bambino attacca a un estremità una pietra di 3.6 kg e, trattenendo il filo all'altro estremo, fa girare la pietra descrivendo un cerchio verticale di 1.2 m di raggio, aumentando gradatamente la rotazione finchè il filo si strappa.
a) in quale punto dell'orbita circolare si trova la pietra al momento della rottura?
b) qual'è la velocità della pietra in quel momento?
non mi torna in particolare il valore della velocità
ciao
Risposte
Al posto del bambino io ci metterei un lanciatore di peso.
Far girare tre kilogrammi e sei con un filo lungo 120 centimetri
non e' cosa da poco!!
karl
Far girare tre kilogrammi e sei con un filo lungo 120 centimetri
non e' cosa da poco!!
karl
Il problema è formulato male, anche ammesso di essere sicuri che raggiunta tale forza il filo si rompe , alla prima domanda non esiste risposta precisa se uno ci pensa bene, non si sa cosa significa che la velocità viene aumentata gradatamente... comq se l'aumento di velocità nel tempo è basso la rottura in generale può avvenire in due punti molto vicini al punto più basso della circonferenza... Il caso in cui il filo si rompe esattamente nel punto più basso è un caso particolare.
Comq approssimativamente si può dire che si rompe nel punto più basso , credo che sia questa la risposta che si aspetta chi ha formulato il problema.
Comq approssimativamente si può dire che si rompe nel punto più basso , credo che sia questa la risposta che si aspetta chi ha formulato il problema.
Questo è come la vedo io:
Supponiamo che il bambino sia in grado di mettere in rotazione la massa, per ciò intendo che egli riesca a fornire alla massa una velocità tale da farle cominciare a percorrere una traiattoria circolare di raggio $R$. Da quel momento in poi supponiamo che non ci siano attriti o smorzamenti e che le sole forze che il bambino esercita siano centrali, ossia abbiano momento rispetto al centro di rotazione nullo.
Io ho scomposto le forze su un sistema di versori normale e tangente alla traiettoria ed ho preso come coordinata $\theta$ (angolo formato dalla corda con la verticale):
${(T=m\dot{\theta}^2R-mg\cos\theta, \text{prima cardinale} ),(m\dot{\theta}^2R=m\dot{\theta}_0^2R+2mgR(1-\cos\theta), \text{conservazione energia meccanica}):}=>T(\theta)=m(\dot{\theta}_0^2R+g(2-3\cos\theta))$
Su $\dot{\theta}_0^2$ esiste un vincolo, infatti essa non può esser più piccola di un certo valore. Al minimo infatti si ha $T(0)=0$:
$0=m\dot{\theta}_0^2R-mg=>\dot{\theta}_0=\sqrt{g/R}$
In effetti all'inizio intendevo che il bambino riuscisse a dare questa velocità alla massa nel punto più alto $(\theta=0)$.
Rimanendo in quest'ultima ipotesi:
$T(\theta)=3mg(1-\cos\theta)$
Questa funzione ammette punti di massimo e di minimo:
${dT(\theta)}/{d\theta}=3mg\sin\theta=>\theta_{min}=0, \theta_{max}=\pi$
Quindi si ha:
$T(\theta_{max})=6mg$
Questo è vero però solo se la tensione a rottura è maggiore della tensione massima raggiungibile con le ipotesi fatte, ossia se $T_{max} >T(\theta_max)$
Se invece $T_{max}
In particolare per trovare l'angolo al quale avviene la rottura $\bar{\theta}$:
$T_max=3mg(1-\cos\bar\theta)=>\bar{\theta}=\text{arccos}(1-T_{max}/{3mg})$
Da qui si nota che la corda si rompe nel punto più basso solo se $T_{max}=T(\theta_{max})$
$T_{max}=3mg(1-cos(\pi))=6mg=T(\theta_{max})$
In ogni caso ho dovuto fare delle ipotesi aggiuntive per arrivare fino a qui, quindi ,come dice giustamnete il nostro amico nonsoxke, il problema è malposto.
Ciao
Supponiamo che il bambino sia in grado di mettere in rotazione la massa, per ciò intendo che egli riesca a fornire alla massa una velocità tale da farle cominciare a percorrere una traiattoria circolare di raggio $R$. Da quel momento in poi supponiamo che non ci siano attriti o smorzamenti e che le sole forze che il bambino esercita siano centrali, ossia abbiano momento rispetto al centro di rotazione nullo.
Io ho scomposto le forze su un sistema di versori normale e tangente alla traiettoria ed ho preso come coordinata $\theta$ (angolo formato dalla corda con la verticale):
${(T=m\dot{\theta}^2R-mg\cos\theta, \text{prima cardinale} ),(m\dot{\theta}^2R=m\dot{\theta}_0^2R+2mgR(1-\cos\theta), \text{conservazione energia meccanica}):}=>T(\theta)=m(\dot{\theta}_0^2R+g(2-3\cos\theta))$
Su $\dot{\theta}_0^2$ esiste un vincolo, infatti essa non può esser più piccola di un certo valore. Al minimo infatti si ha $T(0)=0$:
$0=m\dot{\theta}_0^2R-mg=>\dot{\theta}_0=\sqrt{g/R}$
In effetti all'inizio intendevo che il bambino riuscisse a dare questa velocità alla massa nel punto più alto $(\theta=0)$.
Rimanendo in quest'ultima ipotesi:
$T(\theta)=3mg(1-\cos\theta)$
Questa funzione ammette punti di massimo e di minimo:
${dT(\theta)}/{d\theta}=3mg\sin\theta=>\theta_{min}=0, \theta_{max}=\pi$
Quindi si ha:
$T(\theta_{max})=6mg$
Questo è vero però solo se la tensione a rottura è maggiore della tensione massima raggiungibile con le ipotesi fatte, ossia se $T_{max} >T(\theta_max)$
Se invece $T_{max}
In particolare per trovare l'angolo al quale avviene la rottura $\bar{\theta}$:
$T_max=3mg(1-\cos\bar\theta)=>\bar{\theta}=\text{arccos}(1-T_{max}/{3mg})$
Da qui si nota che la corda si rompe nel punto più basso solo se $T_{max}=T(\theta_{max})$
$T_{max}=3mg(1-cos(\pi))=6mg=T(\theta_{max})$
In ogni caso ho dovuto fare delle ipotesi aggiuntive per arrivare fino a qui, quindi ,come dice giustamnete il nostro amico nonsoxke, il problema è malposto.
Ciao
P.S.: La tensione è una forza è pertanto si misura in Newton $[N]$.
Stavo scherzando 
... con buona approssimazione (tanto più alta quanto più l'accelerazione tangenziale della massa è trascurabile) si può dire che il filo si romperà nel punto più basso , vanno bene anche le approssimazioni 
Visto che nell'esercizio non è riportato il valore di questa accelerazione è evidente che si può trascurare, io l'avrei scritto in modo più chiaro però.
... con buona approssimazione (tanto più alta quanto più l'accelerazione tangenziale della massa è trascurabile) si può dire che il filo si romperà nel punto più basso , vanno bene anche le approssimazioni Visto che nell'esercizio non è riportato il valore di questa accelerazione è evidente che si può trascurare, io l'avrei scritto in modo più chiaro però.
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