Esercizio: Semisfera colpita da un corpo puntiforme
Salve, ho qualche problema ad impostare le equazioni risolutive per questo esercizio. Vi scrivo il testo:
Una sferetta rigida, praticamente puntiforme e di massa m, cade lungo la verticale e urta elasticamente una semisfera rigida, di massa M, nel punto A tale che l'angolo della congiungente tra A e il centro O con la verticale sia alfa; il modulo della velocità posseduta dalla sferetta subito prima dell'urto è |v(i)|. La semisfera prima dell'urto è in quiete su un piano orizzontale privo di attrito. Si calcolino le componenti v(x) e v(z) della velocità della sferetta subito dopo l'urto e la velocità V(x) della semisfera.
Questa è l'immagine relativa a tale esercizio:
Una sferetta rigida, praticamente puntiforme e di massa m, cade lungo la verticale e urta elasticamente una semisfera rigida, di massa M, nel punto A tale che l'angolo della congiungente tra A e il centro O con la verticale sia alfa; il modulo della velocità posseduta dalla sferetta subito prima dell'urto è |v(i)|. La semisfera prima dell'urto è in quiete su un piano orizzontale privo di attrito. Si calcolino le componenti v(x) e v(z) della velocità della sferetta subito dopo l'urto e la velocità V(x) della semisfera.
Questa è l'immagine relativa a tale esercizio:
Risposte
Allora, io sono arrivato a tali ipotesi:
- Proiettando la prima equazione cardinale sull'asse x si ottiene che la componente orizzontale della quantità di moto del sistema si conserva nel tempo, e siccome all'istante iniziale tale componente è nulla, possiamo scrivere $ m*v(x) = -M*V(x) $ ;
- Non ci sono attriti, dunque c'è conservazione dell'energia cinetica prima e dopo l'urto. Possiamo allora scrivere $ (m*v(i)^2)/2 = (M*V(x)^2)/2 + (m*v^2)/2 $ , dove v è il modulo della velocità del corpo puntiforme subito dopo l'urto ( $ v^2 = v(x)^2 + v(y)^2 $ ) ;
- Se consideriamo solo il corpo puntiforme, esso compie un urto non centrale su di una superficie la cui reazione vincolare avrà una direzione radiale: ne consegue che il corpo puntiforme conserverà una componente della velocità tangenziale alla superficie ( $ v(tan) = v(i)*sin(alfa) = costante $ ).
A questo punto non ho più idee, ed ecco che chiedo aiuto a voi
- Proiettando la prima equazione cardinale sull'asse x si ottiene che la componente orizzontale della quantità di moto del sistema si conserva nel tempo, e siccome all'istante iniziale tale componente è nulla, possiamo scrivere $ m*v(x) = -M*V(x) $ ;
- Non ci sono attriti, dunque c'è conservazione dell'energia cinetica prima e dopo l'urto. Possiamo allora scrivere $ (m*v(i)^2)/2 = (M*V(x)^2)/2 + (m*v^2)/2 $ , dove v è il modulo della velocità del corpo puntiforme subito dopo l'urto ( $ v^2 = v(x)^2 + v(y)^2 $ ) ;
- Se consideriamo solo il corpo puntiforme, esso compie un urto non centrale su di una superficie la cui reazione vincolare avrà una direzione radiale: ne consegue che il corpo puntiforme conserverà una componente della velocità tangenziale alla superficie ( $ v(tan) = v(i)*sin(alfa) = costante $ ).
A questo punto non ho più idee, ed ecco che chiedo aiuto a voi
Non hai tre equazioni in tre incognite?
Beh no, le mie incognite in queste equazioni sono v(x), v(y), V(x), v e v(tan), 5 incognite e 4 equazioni (tra l'altro l'ultima equazione è indipendente dalle altre 3).
Comunque la metti, le incognite sono tre. Bastano tre equazioni indipendenti.
Scusami, mi puoi indicare queste 3 equazioni in 3 incognite, e al limite come risolvi il sistema? Sarà che mi sono fuso i neuroni a pensarci, ma io non le vedo.
Mi sembra che tu le abbia dette, per questo sono rimasto sorpreso. Probabilmente hai delle difficoltà con la terza. Prova ad imporre la costanza della componente tangente al vincolo della velocità della sferetta, mediante il prodotto scalare con il versore di componenti $(cos\alpha,-sen\alpha)$.
Hai detto che la componente tangenziale rimane inalterata, giustamente.
Ora considera solo quella radiale e vedi come può reagire la semisfera.
Ora considera solo quella radiale e vedi come può reagire la semisfera.
Considerando il sistema "semisfera + sferetta", nell'intervallo di tempo in cui avviene l'urto oltre alle forze impulsive interne c'è anche il vincolo del piano orizzontale, che genera un impulso non trascurabile. Dunque non c'è, almeno a livello vettoriale, conservazione della quantità di moto. Pur tuttavia, conoscendo la direzione della reazione vincolare del piano orizzontale (che è verticale), si può scrivere la conservazione lungo l'asse orizzontale della componente radiale della velocità iniziale. Tradotto in algebra:
$ -m*v(i)*cos(alfa)*sin(alfa)= -M*V(x) + m*v(rad)*sin(alfa) $
dove v(rad) è la compnente radiale della velocità della sferetta dopo l'urto. Quindi vale anche la relazione $ v^2=v(tan)^2 + v(rad)^2 $ che chiuderebbe il sistema di equazioni.
Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto? Anche perchè ho provato ad utilizzare queste equazioni, e i risultati ottenuti non sono uguali alle soluzioni dell'esercizio (qui non ho postato nè applicazioni numeriche nè risultati perchè mi sembrava inutile farlo). Volevo dunque sapere se si trattava solo di un errore di calcolo o di un errore nel ragionamento. Grazie sempre in anticipo.
$ -m*v(i)*cos(alfa)*sin(alfa)= -M*V(x) + m*v(rad)*sin(alfa) $
dove v(rad) è la compnente radiale della velocità della sferetta dopo l'urto. Quindi vale anche la relazione $ v^2=v(tan)^2 + v(rad)^2 $ che chiuderebbe il sistema di equazioni.
Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto? Anche perchè ho provato ad utilizzare queste equazioni, e i risultati ottenuti non sono uguali alle soluzioni dell'esercizio (qui non ho postato nè applicazioni numeriche nè risultati perchè mi sembrava inutile farlo). Volevo dunque sapere se si trattava solo di un errore di calcolo o di un errore nel ragionamento. Grazie sempre in anticipo.
Hai provato con $v_0sen\alpha=v_xcos\alpha-v_ysen\alpha$?
"speculor":
Hai provato con $v_0sen\alpha=v_xcos\alpha-v_ysen\alpha$?
Hai ragione, ti ringrazio speculor, non ho finito di scrivere la conservazione della componente tangenziale!
Infatti, mi sembrava il modo più elegante di esprimere quella condizione.
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