Esercizio - Satellite in orbita
Ho il seguente problema: se conosco l'equazione dell'orbita di un satellite (per esempio parabolica) mi si chiede di calcolare la velocità del satellite in diversi punti. Come posso fare? Come entra in gioco l'energia?
P.S.: Il satellite è in orbita attorno alla terra.
P.S.: Il satellite è in orbita attorno alla terra.
Risposte
dipende molto dai dati che hai inizialmente. magari se posti il problema ti aiuto meglio
comunque se conosci l'equazione classica dell'orbita la legge dell'energia in generale si esprime con la relazione $v^2/2-\mu/r=\epsilon=cost$ dove $\mu$ è il parametro gravitazionale del pianeta (cioè la massa per la costante di gravitazione universale), $r$ la distanza dal centro del corpo centrale e $\epsilon$ è appunto l'energia.
in base ad una bella pappardella di calcoli si arriva a calcolare $\epsilon=-1/2*\mu^2/h^2*(1-e^2)$ dove $h$ è il momento angolare specifico, che è un dato dell'equazione dell'orbita, e $e$ è l'eccentricità.
in questo modo però si può calcolare solo il modulo della velocità e non le componenti radiali e normali, che dipendono da altri parametri geometrici dell'orbita.
spero di esserti stato d'aiuto.
comunque se conosci l'equazione classica dell'orbita la legge dell'energia in generale si esprime con la relazione $v^2/2-\mu/r=\epsilon=cost$ dove $\mu$ è il parametro gravitazionale del pianeta (cioè la massa per la costante di gravitazione universale), $r$ la distanza dal centro del corpo centrale e $\epsilon$ è appunto l'energia.
in base ad una bella pappardella di calcoli si arriva a calcolare $\epsilon=-1/2*\mu^2/h^2*(1-e^2)$ dove $h$ è il momento angolare specifico, che è un dato dell'equazione dell'orbita, e $e$ è l'eccentricità.
in questo modo però si può calcolare solo il modulo della velocità e non le componenti radiali e normali, che dipendono da altri parametri geometrici dell'orbita.
spero di esserti stato d'aiuto.
ps. tutto si basa sulle approssimazioni del Problema dei due corpi.
Ti ringrazio infinitamente Akuma.
Problema: Un satellite di massa $m = 1$ è in orbita attorno alla terra; l'equazione dell'orbita è $y = x^2/(4 * r_0) - r_0$. Calcolare la velocità in $(0 , -r_0)$.
A me non interessa che tu mi faccia i calcoli ma solo che mi indichi quali sono le leggi da mettere in gioco e il motivo, e come le si usano.
Credo che i principi tra i quali scegliere siano sempre quelli: conservazione dell'energia, conservazione del momento angolare, conservazione del momento lineare, leggi di Newton. Coma capisco di quali posso avvalermi?
P.S.: Immagino che il momento lineare non si usi. Perché? Il sistema Terra-Satellite non è isolato, forse? (c'è la forza gravitazionale esercitata dal sole da considerare)
Problema: Un satellite di massa $m = 1$ è in orbita attorno alla terra; l'equazione dell'orbita è $y = x^2/(4 * r_0) - r_0$. Calcolare la velocità in $(0 , -r_0)$.
A me non interessa che tu mi faccia i calcoli ma solo che mi indichi quali sono le leggi da mettere in gioco e il motivo, e come le si usano.
Credo che i principi tra i quali scegliere siano sempre quelli: conservazione dell'energia, conservazione del momento angolare, conservazione del momento lineare, leggi di Newton. Coma capisco di quali posso avvalermi?
P.S.: Immagino che il momento lineare non si usi. Perché? Il sistema Terra-Satellite non è isolato, forse? (c'è la forza gravitazionale esercitata dal sole da considerare)
ok, domani ti rispondo 
devo dire che credevo fosse un esercizio propriamente di astrodinamica... 
vediamo se riusciamo a venirne fuori lo stesso; l'orbita è una parabola con l'asse coincidente con l'asse $y$ e fuoco in $(0,r_0)$, la Terra sta nel fuoco.
il punto in cui devi calcolare la velocità è un punto favorevole per i calcoli perchè è il perigeo cioè il punto di minima distanza dalla Terra. In quel punto il vettore velocità (che è sempre tangente all'orbita) è ortogonale all'asse $y$.
le ipotesi con cui si risolvono questi problemi sono il fatto che si considera la massa del satellite trascurabile rispetto a quella della Terra, il sistema isolato come dici e si considera solo la forza di gravità tralasciando quindi tutte le forze non conservative che sono piccole ma ci sono. inoltre si considera la Terra sferica e omogenea.
Sotto queste ipotesi il momento angolare del satellite si conserva sia in modulo che in direzione ed è sempre ortogonale al piano individuato dal vettore posizione del satellite (cioè il vettore centro della Terra-satellite) e il vettore velocità (per la cronaca da qui discende la dimostrazione prima legge di Keplero).
visto che la massa è unitaria si possono considerare grandezze specifiche cioè per unità di massa. il momento angolare specifico vale $\vec h=\vec r ^^ \vec v$, ora al perigeo l'angolo tra il vettore posizione e il vettore velocità è retto, quindi in modulo si ha $h=r*v$.
si può dimostrare che al perigeo vale la relazione $r_p=h^2/(2\mu)$, la distanza del perigeo in questo caso vale $r_p=2*r_0$, quindi si può ricavare $h=sqrt(4*r_0\mu).
in base a quanto detto prima la velocità nel nostro punto vale $v=h/(2*r_0)$
per la Terra $\mu=398600 (km^3)/s^2$.
diciamo che non sono sicuro al 100% che sia giusto ma poco ci manca...
vediamo se riusciamo a venirne fuori lo stesso; l'orbita è una parabola con l'asse coincidente con l'asse $y$ e fuoco in $(0,r_0)$, la Terra sta nel fuoco.
il punto in cui devi calcolare la velocità è un punto favorevole per i calcoli perchè è il perigeo cioè il punto di minima distanza dalla Terra. In quel punto il vettore velocità (che è sempre tangente all'orbita) è ortogonale all'asse $y$.
le ipotesi con cui si risolvono questi problemi sono il fatto che si considera la massa del satellite trascurabile rispetto a quella della Terra, il sistema isolato come dici e si considera solo la forza di gravità tralasciando quindi tutte le forze non conservative che sono piccole ma ci sono. inoltre si considera la Terra sferica e omogenea.
Sotto queste ipotesi il momento angolare del satellite si conserva sia in modulo che in direzione ed è sempre ortogonale al piano individuato dal vettore posizione del satellite (cioè il vettore centro della Terra-satellite) e il vettore velocità (per la cronaca da qui discende la dimostrazione prima legge di Keplero).
visto che la massa è unitaria si possono considerare grandezze specifiche cioè per unità di massa. il momento angolare specifico vale $\vec h=\vec r ^^ \vec v$, ora al perigeo l'angolo tra il vettore posizione e il vettore velocità è retto, quindi in modulo si ha $h=r*v$.
si può dimostrare che al perigeo vale la relazione $r_p=h^2/(2\mu)$, la distanza del perigeo in questo caso vale $r_p=2*r_0$, quindi si può ricavare $h=sqrt(4*r_0\mu).
in base a quanto detto prima la velocità nel nostro punto vale $v=h/(2*r_0)$
per la Terra $\mu=398600 (km^3)/s^2$.
diciamo che non sono sicuro al 100% che sia giusto ma poco ci manca...
In questa relazione $r_p = h^2/(2\mu)$ dovrebbe esserci un fattore 2 di troppo.
"speculor":
In questa relazione $r_p = h^2/(2\mu)$ dovrebbe esserci un fattore 2 di troppo.
l'equazione polare dell'orbita è $r=(h^2/\mu) 1/(1+e*cos\theta)$ nel nostro caso l'eccentricità $e$ è uno e al pericentro $theta=0$ quindi torna.
Scusa, hai ragione. Non so perchè stavo facendo i conti come se l'accelerazione centripeta dovesse essere $v^2/r$ .
"Akuma":
devo dire che credevo fosse un esercizio propriamente di astrodinamica...
vediamo se riusciamo a venirne fuori lo stesso; l'orbita è una parabola con l'asse coincidente con l'asse $y$ e fuoco in $(0,r_0)$, la Terra sta nel fuoco.
il punto in cui devi calcolare la velocità è un punto favorevole per i calcoli perchè è il perigeo cioè il punto di minima distanza dalla Terra. In quel punto il vettore velocità (che è sempre tangente all'orbita) è ortogonale all'asse $y$.
le ipotesi con cui si risolvono questi problemi sono il fatto che si considera la massa del satellite trascurabile rispetto a quella della Terra, il sistema isolato come dici e si considera solo la forza di gravità tralasciando quindi tutte le forze non conservative che sono piccole ma ci sono. inoltre si considera la Terra sferica e omogenea.
Sotto queste ipotesi il momento angolare del satellite si conserva sia in modulo che in direzione ed è sempre ortogonale al piano individuato dal vettore posizione del satellite (cioè il vettore centro della Terra-satellite) e il vettore velocità (per la cronaca da qui discende la dimostrazione prima legge di Keplero).
visto che la massa è unitaria si possono considerare grandezze specifiche cioè per unità di massa. il momento angolare specifico vale $\vec h=\vec r ^^ \vec v$, ora al perigeo l'angolo tra il vettore posizione e il vettore velocità è retto, quindi in modulo si ha $h=r*v$.
si può dimostrare che al perigeo vale la relazione $r_p=h^2/(2\mu)$, la distanza del perigeo in questo caso vale $r_p=2*r_0$, quindi si può ricavare $h=sqrt(4*r_0\mu).
in base a quanto detto prima la velocità nel nostro punto vale $v=h/(2*r_0)$
per la Terra $\mu=398600 (km^3)/s^2$.
diciamo che non sono sicuro al 100% che sia giusto ma poco ci manca...
Provo a ragionarci un po':
Io so che il momento angolare si conserva sotto queste ipotesi: si richiede che valgano 1) la legge di azione e reazione , 2) e che la forza in gioco abbia la direzione della retta passante per i due corpi , cioè $\vec F$ vada come il vettore centro della Terra-satellite. (spero di aver detto bene).
In questo caso la 2) è soddisfatta perché la forza in gioco è quella gravitazionale e questa è una forza centrale.
Pongo l'origine del sistema di riferimento nel centro di attrazione, quindi nel centro della terra. La forza è centrale quindi $\vec tau = 0$ cioè $\vec h = "cost."$.
$|\vec h| = |\vec r ^^ \vec p| = |\vec r| * |\vec p| * sin (pi/2) = r * v$
Ma ora come utilizzo questo per ricavare il resto?
Da quello che ho capito usi la formula della parabola in coordinate polari... Ma cos'è $h^2/mu$ ?
si hai capito giusto, $h$ è il momento angolare specifico che non conosci, ma ti serve per calcolare la velocità.
ora una sezione conica ha equazione generale in forma polare $r*(1-e*cos\theta)=cost$ risolvendo il Problema dei due corpi si trova che quella costante vale $h^2/\mu$ dove $\mu=G*m_(terra)$. quindi conoscendo $r$ che in questo caso vale $2*r_0$ ti puoi calocare $h$ e quindi la velocità nel punto richiesto.
tutte queste considerazione solo valide solo in questo particolare punto della traiettoria, come ti dicevo per calcolare la velocità in altri punti bisogna fare altre considerazioni.
ora una sezione conica ha equazione generale in forma polare $r*(1-e*cos\theta)=cost$ risolvendo il Problema dei due corpi si trova che quella costante vale $h^2/\mu$ dove $\mu=G*m_(terra)$. quindi conoscendo $r$ che in questo caso vale $2*r_0$ ti puoi calocare $h$ e quindi la velocità nel punto richiesto.
tutte queste considerazione solo valide solo in questo particolare punto della traiettoria, come ti dicevo per calcolare la velocità in altri punti bisogna fare altre considerazioni.
"Akuma":
si hai capito giusto, $h$ è il momento angolare specifico che non conosci, ma ti serve per calcolare la velocità.
ora una sezione conica ha equazione generale in forma polare $r*(1-e*cos\theta)=cost$ risolvendo il Problema dei due corpi si trova che quella costante vale $h^2/\mu$ dove $\mu=G*m_(terra)$. quindi conoscendo $r$ che in questo caso vale $2*r_0$ ti puoi calocare $h$ e quindi la velocità nel punto richiesto.
tutte queste considerazione solo valide solo in questo particolare punto della traiettoria, come ti dicevo per calcolare la velocità in altri punti bisogna fare altre considerazioni.
Boh, mi è oscuro questo passaggio. $r$ è la distanza "centro della terra"-satellite, giusto? Il centro della terra è $(0,0)$ (credo), il vertice della parabola è $(0, -r_0)$ quindi la distanza $r = r_0$. Perché ci metti un $2$?
Sotto l'esercizio c'è la soluzione. Sfrutta la "condizione di energia nulla", ma non so cosa sia.
Grazie per la pazienza.
si certo hai ragione, il fuoco è in $(0,0)$, quindi la distanza è $r_0$, scusa ma ho sbagliato un segno è ho fatto un errore da babbeo 
la condizione di energia nulla penso sia il fatto che in un'orbita parabolica l'energia totale è nulla cioè la somma dell'energia cinetica e potenziale (specifiche) è uguale a zero. lo ottieni dalla prima risposta che ti ho dato mettendo $e=1$ in $\epsilon=-1/2\mu^2/h^2*(1-e^2)$ poi calcolare la velocità è un attimo.
tutte le considerazione che ho fatto sono in ambito aerospaziale diciamo, ora non so il problema da che testo è preso e per che materia è, quindi magari il problema viene risolto in un altro modo, anche se alla fine è la stessa minestra fatta in un altra maniera.
la condizione di energia nulla penso sia il fatto che in un'orbita parabolica l'energia totale è nulla cioè la somma dell'energia cinetica e potenziale (specifiche) è uguale a zero. lo ottieni dalla prima risposta che ti ho dato mettendo $e=1$ in $\epsilon=-1/2\mu^2/h^2*(1-e^2)$ poi calcolare la velocità è un attimo.
tutte le considerazione che ho fatto sono in ambito aerospaziale diciamo, ora non so il problema da che testo è preso e per che materia è, quindi magari il problema viene risolto in un altro modo, anche se alla fine è la stessa minestra fatta in un altra maniera.
Allora non capisco da dove ottieni quell'espressione dell'energia $epsilon$. Energia associata a cosa? Che principio usi?
L'esercizio è dato in un primissimo corso di Fisica in cui vengono spiegati i principi che ti ho citato (legge di conservazione dell'energia, del momento angolare, del momento lineare, ecc...).
P.S.: Il modulo di $\vec v$ alla fine deve essere $sqrt( (G m_T )/r_0 )$.
Scusami se ti faccio perdere del tempo con dettagli piuttosto ovvi, ma mi piacerebbe capire a fondo il meccanismo.
L'esercizio è dato in un primissimo corso di Fisica in cui vengono spiegati i principi che ti ho citato (legge di conservazione dell'energia, del momento angolare, del momento lineare, ecc...).
P.S.: Il modulo di $\vec v$ alla fine deve essere $sqrt( (G m_T )/r_0 )$.
Scusami se ti faccio perdere del tempo con dettagli piuttosto ovvi, ma mi piacerebbe capire a fondo il meccanismo.
a me il risultato non torna perchè quella è la velocità per un'orbita circolare.
comunque le leggi di conservazione sono alla base di tutta la meccanica e vanno studiate bene nella teoria, quindi se hai qualche dubbio riprendi i concetti nel libro di teoria.
l'espressione che ho scritto io per l'energia vale propriamente per un satellite (o più in generale un corpo di massa trascurabile) in orbita e sono ricavate impostando il problema in un modo ben preciso e per arrivare a quel risultato ci vogliono 2-3 pagine di calcoli che ti risparmierei...
comunque le leggi di conservazione sono alla base di tutta la meccanica e vanno studiate bene nella teoria, quindi se hai qualche dubbio riprendi i concetti nel libro di teoria.
l'espressione che ho scritto io per l'energia vale propriamente per un satellite (o più in generale un corpo di massa trascurabile) in orbita e sono ricavate impostando il problema in un modo ben preciso e per arrivare a quel risultato ci vogliono 2-3 pagine di calcoli che ti risparmierei...
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