Esercizio Relatività Ristretta
Salve, vorrei chiedervi gentilmente come si svolge questo esercizio di cui purtroppo non riesco a trovare la soluzione.
Due astronavi A e B viaggiano da una stazione spaziale a un'altra, coprendo la distanza di 48 minuti-luce a velocità costante. L'astronave A impiega 80 minuti per il viaggio, nel sistema di riferimento delle stazioni spaziali. Secondo gli orologi di dell'astronave A, l'astronave B impiega 12 minuti in più. Calcola la velocità dell'astronave A, rispetto all'astronave B. Soluzione (45/331)*c (dove c è la velocità della luce)
Vi ringrazio anticipatamente.
Due astronavi A e B viaggiano da una stazione spaziale a un'altra, coprendo la distanza di 48 minuti-luce a velocità costante. L'astronave A impiega 80 minuti per il viaggio, nel sistema di riferimento delle stazioni spaziali. Secondo gli orologi di dell'astronave A, l'astronave B impiega 12 minuti in più. Calcola la velocità dell'astronave A, rispetto all'astronave B. Soluzione (45/331)*c (dove c è la velocità della luce)
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Non puoi pretendere che qualcuno risolva l'esercizio e te lo metta davanti , senza che tu abbia mosso neppure un dito. Qualche idea sulla materia ce l'avrai, no ? E qualcosa devi pur scrivere, dovresti sapere come funziona qui.
Allora secondo il mio ragionamento bisogna usare la formula delle composizione delle velocità: u'=(u-v)/(1-uv/c^2) dove u' è la velocità relativa di A rispetto a B, u è la velocità assoluta di A e v è la velocità di trascinamento(velocità assoluta di B). Dai dati posso calcolare u che dovrebbe essere (48/80)*c ma v non so come calcolarla. Dovrebbe essere (48/95)*c quindi i minuti effettivi dovrebbero essere 3 in più per B ma non so come fare.
Ti spiego come andrebbe risolto l'esercizio, secondo il punto di vista di chi lo ha proposto, visti numeri che hai scritto.
Abbiamo due stazioni $S_1$ ed $S_2$ , la cui distanza è : $S_1S_2 = 48 ml $. La nave $A$ , nel riferimento delle stazioni , impiega $80m$ per andare da una all' altra. Quindi la sua velocità in questo riferimento, che hai chiamato $u$ , vale :
$u = 48/80c= 0.6 c = 0.6 $
ho posto: $c = 1 (ml)/m$. Quindi, il fattore $gamma $ di Lorentz vale : $gamma = 1.25$, come puoi verificare facilmente. Ora, il testo dice che , secondo l'orologio di $A$ , il tempo di volo di $B$ dura altri 12 minuti. Questo tempo è misurato nel riferimento di $A$. Allora, per rapportare i 12 minuti valutati da $A$ al tempo coordinato del riferimento delle stazioni occorre moltiplicare per il fattore $gamma$ , poiché sai che : $Delta t = gamma *Delta\tau$ . Cioè a dire , secondo le valutazioni di $A$ ci vogliono ancora $12*1.25 min = 15min$ di tempo coordinato ( quello delle stazioni) perchè $B$ arrivi su $S_2$ . Perciò, secondo $A$ la velocità di $B$ nel riferimento coordinato, che tu hai chiamato $v$ , vale :
$v = 48/(80 + 15) = 48/95 = 0.505263$
(lo so, tante cifre decimali non servono in fisica...
)
Adesso basta calcolare la velocità relativa tra $A$ e $B$ mediante la composizione relativistica :
$|v_(AB)| = |v_(BA)| = (u-v)/(1-u*v) = (0.6- 0.50526)/(1-0.6*0.50526) = 0.13595 $
e questo numero è uguale a $45/331$ , risultato che si ottiene senza fare tante moltiplicazioni e divisioni.
Digerisci quanto sopra detto, e dopo dimmi se hai capito. Quando avrai capito , ti spiegherò perchè all'inizio ho scritto : "...come andrebbe risolto l'esercizio, secondo il punto di vista di chi lo ha proposto" .
LA ragione è molto semplice : la soluzione è sbagliata . Almeno , secondo il mio modesto punto di vista.
Abbiamo due stazioni $S_1$ ed $S_2$ , la cui distanza è : $S_1S_2 = 48 ml $. La nave $A$ , nel riferimento delle stazioni , impiega $80m$ per andare da una all' altra. Quindi la sua velocità in questo riferimento, che hai chiamato $u$ , vale :
$u = 48/80c= 0.6 c = 0.6 $
ho posto: $c = 1 (ml)/m$. Quindi, il fattore $gamma $ di Lorentz vale : $gamma = 1.25$, come puoi verificare facilmente. Ora, il testo dice che , secondo l'orologio di $A$ , il tempo di volo di $B$ dura altri 12 minuti. Questo tempo è misurato nel riferimento di $A$. Allora, per rapportare i 12 minuti valutati da $A$ al tempo coordinato del riferimento delle stazioni occorre moltiplicare per il fattore $gamma$ , poiché sai che : $Delta t = gamma *Delta\tau$ . Cioè a dire , secondo le valutazioni di $A$ ci vogliono ancora $12*1.25 min = 15min$ di tempo coordinato ( quello delle stazioni) perchè $B$ arrivi su $S_2$ . Perciò, secondo $A$ la velocità di $B$ nel riferimento coordinato, che tu hai chiamato $v$ , vale :
$v = 48/(80 + 15) = 48/95 = 0.505263$
(lo so, tante cifre decimali non servono in fisica...
)Adesso basta calcolare la velocità relativa tra $A$ e $B$ mediante la composizione relativistica :
$|v_(AB)| = |v_(BA)| = (u-v)/(1-u*v) = (0.6- 0.50526)/(1-0.6*0.50526) = 0.13595 $
e questo numero è uguale a $45/331$ , risultato che si ottiene senza fare tante moltiplicazioni e divisioni.
Digerisci quanto sopra detto, e dopo dimmi se hai capito. Quando avrai capito , ti spiegherò perchè all'inizio ho scritto : "...come andrebbe risolto l'esercizio, secondo il punto di vista di chi lo ha proposto" .
LA ragione è molto semplice : la soluzione è sbagliata . Almeno , secondo il mio modesto punto di vista.
Ti ringrazio veramente, sei stato molto esaustivo.
"Lele92":
Ti ringrazio veramente, sei stato molto esaustivo.
Prego, però ora mi tocca spiegare per qual motivo ritengo che la soluzione sia sbagliata, altrimenti ci rimango male...
Il testo dice : "Secondo gli orologi di dell'astronave A, l'astronave B impiega 12 minuti in più"
Che vuol dire questa frase ? Ammettendo che A e B partano insieme da $S_1$ (cosa che il testo non dice, e avrebbe dovuto farlo...in RR la precisione nella formulazione dei problemi è essenziale) , vuol dire che A , essendo più veloce di B , arriva su $S_2$ prima di B , quindi si ferma, e gli astronauti vanno a bere un goccio di acqua ( alcolici non permessi). Questo è quanto io capisco dal testo, essendo $S_2$ il termine del viaggio.
Ma se A si ferma su $S_2$ e attende altri 12 minuti che arrivi B , non c'è più differenza tra "tempo proprio" di A e "tempo coordinato" del riferimento $S_1S_2$. Cioè, A è ritornata in quiete nel riferimento delle basi spaziali, per cui i 12 minuti non vanno moltiplicati per $gamma = 1.25$ ma semplicemente sommati agli 80 min di durata del viaggio di A rispetto alle basi . In quest'ottica , la durata del viaggio di B rispetto alle base dovrebbe essere $80 +12 = 92 min$ , e non $95$ .
Diverso sarebbe il caso , se il problema avesse detto : "Quando A arriva vicino a $S_2$ , non si ferma ma prosegue il suo viaggio alla stessa velocità " . Allora sí , sarebbe stato giusto quello che abbiamo detto, cioè moltiplicare i 12 min per $gamma= 1.25$ e trovare dunque il ritardo "assoluto" di B pari a 15 min.
Cosí io la vedo. Pignoleria? No ; richiesta di precisione, perchè chi pone problemi di relatività deve stare ben attento a formulare i quesiti nella maniera più idonea a farsi capire. Sarebbe bello se tu riuscissi a spiegare questo al tuo docente.
Si, hai ragione te. L'autore del testo è stato poco preciso. Grazie ancora per il tuo aiuto!
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