Esercizio Relatività Generale
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizietto di RG, vorrei verificare se la mia soluzione è corretta!
Esercizio 1
Si consideri la varieta` differenziabile $S^2$ data dall’insieme dei punti che costituiscono la sfera di raggio $R$; descriviamo questa variet`a con le coordinate polari ${x^μ} = (θ, φ)$ definite nell’aperto:
$ 0 < theta < pi $
$ 0 < phi < 2pi $
e sia:
$ds^2 = R^2d theta^2 + R^2sin^2thetadphi^2$
la metrica in essa definita.
Calcolare la lunghezza del cammino che va da $(theta_0 , 0)$ a $(theta_0 , 2pi)$.
Ok io ho risolto in questo modo:
Il tensore metrico innanzitutto è $g_(mu nu) = diag ( R^2 , R^2sin^2theta)$ .
Per calcolare la lunghezza totale del percorso bisogna parametrizzare la curva e infine dobbiamo calcolare l'integrale della distanza $ds$.
Quindi, come parametrizzazione io ho scelto così: $lambda in [0,1] -> (theta_0 , 2pi*lambda)$ perché tanto la prima coordinata rimane costante in tutto il cammino, soltanto la seconda varia.
Ora bisogna calcolare l'integrale:
$Delta s = int_(0)^(1) dlambda sqrt(g_(mu nu) dx^(mu)/(dlambda) * dx^(nu)/(dlambda))$
Sostituendo ottengo:
$Delta s = int_(0)^(1) dlambda sqrt( R^2 ((d theta_0)/(dlambda))^2 + R^2sin^2theta_0((d(2pilambda))/(dlambda))^2$
raccolgo e porto fuori R^2, e faccio le derivate:
$Delta s = R* int_(0)^(1) dlambda sqrt( 0 +2pi sin^2theta_0)$
E ottengo:
$Delta s = R*sqrt(2pi)*sintheta_0 int_(0)^(1) dlambda = Rsqrt(2pi)*sintheta_0$
Esercizio 1
Si consideri la varieta` differenziabile $S^2$ data dall’insieme dei punti che costituiscono la sfera di raggio $R$; descriviamo questa variet`a con le coordinate polari ${x^μ} = (θ, φ)$ definite nell’aperto:
$ 0 < theta < pi $
$ 0 < phi < 2pi $
e sia:
$ds^2 = R^2d theta^2 + R^2sin^2thetadphi^2$
la metrica in essa definita.
Calcolare la lunghezza del cammino che va da $(theta_0 , 0)$ a $(theta_0 , 2pi)$.
Ok io ho risolto in questo modo:
Il tensore metrico innanzitutto è $g_(mu nu) = diag ( R^2 , R^2sin^2theta)$ .
Per calcolare la lunghezza totale del percorso bisogna parametrizzare la curva e infine dobbiamo calcolare l'integrale della distanza $ds$.
Quindi, come parametrizzazione io ho scelto così: $lambda in [0,1] -> (theta_0 , 2pi*lambda)$ perché tanto la prima coordinata rimane costante in tutto il cammino, soltanto la seconda varia.
Ora bisogna calcolare l'integrale:
$Delta s = int_(0)^(1) dlambda sqrt(g_(mu nu) dx^(mu)/(dlambda) * dx^(nu)/(dlambda))$
Sostituendo ottengo:
$Delta s = int_(0)^(1) dlambda sqrt( R^2 ((d theta_0)/(dlambda))^2 + R^2sin^2theta_0((d(2pilambda))/(dlambda))^2$
raccolgo e porto fuori R^2, e faccio le derivate:
$Delta s = R* int_(0)^(1) dlambda sqrt( 0 +2pi sin^2theta_0)$
E ottengo:
$Delta s = R*sqrt(2pi)*sintheta_0 int_(0)^(1) dlambda = Rsqrt(2pi)*sintheta_0$
Risposte
Forse ci vorrebbe una tiratina di orecchie, anche se gli Jedi ce le hanno lunghe di per sé….
Ho dato solo un'occhiata superficiale, ma in definitiva la lunghezza finale dovrebbe essere, se non erro, quella del "parallelo" della sfera di raggio $R$, avente co-latitudine $\theta_0$, e quindi raggio $Rsen\theta_0$ , o mi sbaglio ?
E perché ti viene quella $sqrt(2\pi)$ ? Dovrebbe venire $2\pi$ , senza radice, no ?
Il fatto è che in questo integrale :
nel calcolo sotto radice ti sei scordato di elevare al quadrato $2\pi$ dopo aver derivato rispetto a $\lambda$ il secondo termine !
Comunque, il procedimento è giusto, bravo lo stesso!
Ho dato solo un'occhiata superficiale, ma in definitiva la lunghezza finale dovrebbe essere, se non erro, quella del "parallelo" della sfera di raggio $R$, avente co-latitudine $\theta_0$, e quindi raggio $Rsen\theta_0$ , o mi sbaglio ?
E perché ti viene quella $sqrt(2\pi)$ ? Dovrebbe venire $2\pi$ , senza radice, no ?
Il fatto è che in questo integrale :
$ Delta s = int_(0)^(1) dlambda sqrt( R^2 ((d theta_0)/(dlambda))^2 + R^2sin^2theta_0((d(2pilambda))/(dlambda))^2 $
nel calcolo sotto radice ti sei scordato di elevare al quadrato $2\pi$ dopo aver derivato rispetto a $\lambda$ il secondo termine !
Comunque, il procedimento è giusto, bravo lo stesso!
Giusto giusto, mi sono scordato di elevare al quadrato $2pi$ 
...
La lunghezza quindi viene:
$ Delta s = R* int_(0)^(1) dlambda sqrt( 0 +4pi^2 sin^2theta_0) = 2pi*Rsintheta_0$
Esatto, il cammino è proprio il parallelo sulla sfera. Però la lunghezza del cammino credo che sia giusta quella che ho scritto io, se ci pensi se prendi infatti $theta = pi/2$ ottieni come lunghezza $2piR$ che è proprio la circonferenza della sfera massima (l'equatore diciamo)
...La lunghezza quindi viene:
$ Delta s = R* int_(0)^(1) dlambda sqrt( 0 +4pi^2 sin^2theta_0) = 2pi*Rsintheta_0$
Ho dato solo un'occhiata superficiale, ma in definitiva la lunghezza finale dovrebbe essere, se non erro, quella del "parallelo" della sfera di raggio $R$, avente co-latitudine $θ_0$, e quindi raggio $Rsenθ_0$ , o mi sbaglio ?
Esatto, il cammino è proprio il parallelo sulla sfera. Però la lunghezza del cammino credo che sia giusta quella che ho scritto io, se ci pensi se prendi infatti $theta = pi/2$ ottieni come lunghezza $2piR$ che è proprio la circonferenza della sfera massima (l'equatore diciamo)
Credo, ai cavalieri Jedi si deve credere.
Perciò ho detto : "parallelo di colatitudine $\theta_0$ ", visto che nel tuo caso quest'angolo è fissato.
Perciò ho detto : "parallelo di colatitudine $\theta_0$ ", visto che nel tuo caso quest'angolo è fissato.
Credo, ai cavalieri Jedi si deve credere.
Perciò ho detto : "parallelo di colatitudine $θ_0$ ", visto che nel tuo caso quest'angolo è fissato.
In un altro esercizio, sempre nella stessa sfera, mi vengono dati questi due punti $(0 , 0)$ e $(pi/2 , pi/2)$.
La parametrizzazione ora è $(theta(lambda) , phi(lambda) ) = (pi/2 lambda , pi/2 lambda)$
la distanza finale mi viene:
$Delta s = pi/2*R int_(0)^(1) d lambda sqrt( 1 + sin^2 (pi/2 lambda))$
E' risolvibile questo (bruttissimo) integrale?
In questo caso, parte dal polo nord e arriva all'equatore facendo un giro di 90 gradi, in pratica, giusto?
Non ho verificato il calcolo.Ma sei sicuro?
Il punto $(0,0)$ che cosa è, il Polo Nord? Se fosse come pensi (un quarto di meridiano in pratica, dal polo Nord all'equatore), l'angolo $\phi$ dovrebbe essere fisso, non variare…
Fatti una figurina: sfera, punto iniziale, punto finale…Mi pare una curva che si "avvolge" sulla sfera….
Ma non sono sicuro. Inizialmente, nel polo Nord, l'angolo "\phi" è indefinito…forse hai ragione tu.
Ma allora devi tenere $\phi$ costante, se vuoi il quarto di circonferenza.
In quanto all'integrale indefinito, dovrebbe essere ellittico.
Wolfram mi dà questo :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
Il punto $(0,0)$ che cosa è, il Polo Nord? Se fosse come pensi (un quarto di meridiano in pratica, dal polo Nord all'equatore), l'angolo $\phi$ dovrebbe essere fisso, non variare…
Fatti una figurina: sfera, punto iniziale, punto finale…Mi pare una curva che si "avvolge" sulla sfera….
Ma non sono sicuro. Inizialmente, nel polo Nord, l'angolo "\phi" è indefinito…forse hai ragione tu.
Ma allora devi tenere $\phi$ costante, se vuoi il quarto di circonferenza.
In quanto all'integrale indefinito, dovrebbe essere ellittico.
Wolfram mi dà questo :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
Dei calcoli sono sicurissimo, non è difficile, appena hai tempo puoi verificare facilmente.
Per quanto riguarda il cammino ti metto una immagine:
Per quanto riguarda il cammino ti metto una immagine:
Dovresti riportare l'equazione del cammino, visto che la distanza lungo un cammino tra due stessi punti dipende dal cammino stesso.
Se il cammino è quello giusto, lungo il parallelo non è una geodetica, tranne che sull'equatore, il risultato del primo esercizio mi sembra corretto.
Se il cammino è quello giusto, lungo il parallelo non è una geodetica, tranne che sull'equatore, il risultato del primo esercizio mi sembra corretto.
Ho riportato il testo come era dato. Nel testo veniva data l'immagine che ho riportato.
Comunque erano degli esercizi che avevo trovato online, poco fa però ho trovato il vero sito nel quale ci sono le soluzioni, per fortuna sono tutti giusti quelli che ho fatto
Se ti interessa ti lascio il link (pag. 3) : http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... /terza.pdf
Grazie comunque per il vostro aiuto!
Comunque erano degli esercizi che avevo trovato online, poco fa però ho trovato il vero sito nel quale ci sono le soluzioni, per fortuna sono tutti giusti quelli che ho fatto
Se ti interessa ti lascio il link (pag. 3) : http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... /terza.pdf
Grazie comunque per il vostro aiuto!
@grimx
Grazie a te, per gli esercizi che svolgi e pubblichi.
Quindi nel secondo era come dicevo la prima volta: non si tratta di un arco di meridiano, ma di una linea curva sulla sfera. Certamente non è una geodetica, chi ha detto che deve esserlo? Le geodetiche su una sfera sono solo i cerchi massimi.
E come vedo c'è proprio l'integrale ellittico che ti dicevo.
Ciao Jedi.
Grazie a te, per gli esercizi che svolgi e pubblichi.
Quindi nel secondo era come dicevo la prima volta: non si tratta di un arco di meridiano, ma di una linea curva sulla sfera. Certamente non è una geodetica, chi ha detto che deve esserlo? Le geodetiche su una sfera sono solo i cerchi massimi.
E come vedo c'è proprio l'integrale ellittico che ti dicevo.
Ciao Jedi.
E' vero, alla fine la soluzione giusta era proprio quel brutto integrale che mi era venuto, loro hanno posto $alpha = pi/2lambda$, anche se non ha cambiato molto la situazione...
Ma de che? Lo faccio volentieri! Così la prossima volta che faccio un viaggio posso calcolarmi la distanza percorsa lungo la superficie terrestre, no?
@grimx
Grazie a te, per gli esercizi che svolgi e pubblichi.
Ma de che? Lo faccio volentieri! Così la prossima volta che faccio un viaggio posso calcolarmi la distanza percorsa lungo la superficie terrestre, no?
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