Esercizio proposto all'orale di fisica 1
Salve, volevo dilettarvi con questo esercizio molto carino:
Dimostrare che un cucchiaino che ruota dentro un bicchiere pieno di acqua con velocità di rotazione costante fa disporre le particelle d'acqua su un paraboloide, e trovarne l'equazione.
Non è difficilissimo, ma molto divertente.
Dimostrare che un cucchiaino che ruota dentro un bicchiere pieno di acqua con velocità di rotazione costante fa disporre le particelle d'acqua su un paraboloide, e trovarne l'equazione.
Non è difficilissimo, ma molto divertente.
Risposte
Si vede che quel professore passava più tempo al bar a far girare i cucchiaini nel caffè che in aula!
Questo esperimento che suggerisco invece io si basa sullo stesso principio ma è decisamente più serio (anche se sul suo successo non garantisco, perché l'ho inventato ora di sana pianta).
Metodo per creare uno specchio paraboloide per astronomia.
Prendere un contenitore cilindrico con base larga 20 cm e alto qualche centimetro.
Riempirlo per metà con una resina liquida che si solidifichi lentamente (tempo di 1 giorno circa).
Posizionare questo contenitore esattamente centrato sul piatto di un vecchio giradischi a 33 giri/min.
Avviare il piatto e attendere che la resina solidifichi.
Togliere il contenitore con la resina solidificata, la cui superficie avrà acquisito la forma di un paraboloide a causa della gravità radiale che si crea nel sistema accelerato in modo proporzionale all'accelerazione centripeta, dando quindi luogo a un profilo con inclinazione (derivata) crescente linearmente in funzione del raggio (e quindi è una parabola).
Argentare la superficie della resina.
Ed eccoci pronti per l'astronomia.
Questo esperimento che suggerisco invece io si basa sullo stesso principio ma è decisamente più serio (anche se sul suo successo non garantisco, perché l'ho inventato ora di sana pianta).
Metodo per creare uno specchio paraboloide per astronomia.
Prendere un contenitore cilindrico con base larga 20 cm e alto qualche centimetro.
Riempirlo per metà con una resina liquida che si solidifichi lentamente (tempo di 1 giorno circa).
Posizionare questo contenitore esattamente centrato sul piatto di un vecchio giradischi a 33 giri/min.
Avviare il piatto e attendere che la resina solidifichi.
Togliere il contenitore con la resina solidificata, la cui superficie avrà acquisito la forma di un paraboloide a causa della gravità radiale che si crea nel sistema accelerato in modo proporzionale all'accelerazione centripeta, dando quindi luogo a un profilo con inclinazione (derivata) crescente linearmente in funzione del raggio (e quindi è una parabola).
Argentare la superficie della resina.
Ed eccoci pronti per l'astronomia.
ok come hai dimostrato che è un paraboloide?
Immagina di far coincidere la superficie del liquido nel bicchiere con l'asse X di un sistema di assi e poni l'origine O coincidente con il centro del livello. Indicando con x la distanza di ogni particella dall'origine si utilizzano le formule seguenti:
x = vt (A) e y = 1/2 gt2 (B). Poiché nel moto circolare uniforme è (g) a = v2/r sostituendo nella (B) si ottiene y = 1/2 (v2/r) * t2. Poichè è (A) v = x/t, sostituendo questa nella precedente dà: y = 1/2 (x2/(t2*r)) *t2= 1/2 x2/r che è proprio l'equazione di una parabola che ha l'asse centrale, fuoco in a=1/(2r)= 1/4p e direttrice in -p=-2/(4r)=-1/(2r).
x = vt (A) e y = 1/2 gt2 (B). Poiché nel moto circolare uniforme è (g) a = v2/r sostituendo nella (B) si ottiene y = 1/2 (v2/r) * t2. Poichè è (A) v = x/t, sostituendo questa nella precedente dà: y = 1/2 (x2/(t2*r)) *t2= 1/2 x2/r che è proprio l'equazione di una parabola che ha l'asse centrale, fuoco in a=1/(2r)= 1/4p e direttrice in -p=-2/(4r)=-1/(2r).
Immagina di far coincidere la superficie del liquido nel bicchiere con l'asse X di un sistema di assi e poni l'origine O coincidente con il centro del livello. Indicando con x la distanza di ogni particella dall'origine si utilizzano le formule seguenti:
x = vt (A) e y = 1/2 gt2 (B). Poiché nel moto circolare uniforme è (g) a = v2/r sostituendo nella (B) si ottiene y = 1/2 (v2/r) * t2
hai preso una ascissa curvilinea e poi hai considerato che non agiscano forze su un punto che si trova in questa ascissa, inoltre sull'asse delle y non agisce solo la forz a gravitazionale, ma anche una componente della forza radiale. Non mi torna tanto.
Forse il metodo più semplice per vederlo è quello di mettersi nel sistema di riferimento solidale col fluido e scrivere l'energia potenziale tenendo conto di entrambi i contributi della forza, quello gravitazionale solito e quello centrifugo.
Sappiamo poi che la superficie libera è su una superficie equipotenziale
Sappiamo poi che la superficie libera è su una superficie equipotenziale
esatto, quale superficie però?
"Zkeggia":
esatto, quale superficie però?
Se vogliamo vedere la forma assunta dalla superficie libera basta appunto scrivere l'espressione dell'energia potenziale e imporla pari a una costante arbitraria si otterrà la relazione tra le coordinate spaziali che darà l'espressione che cerchiamo. Il valore della costante poi dipende dal volume iniziale di fluido. Oppure se siamo interessati solo alla differenza di quota tra il centro e il punto in periferia non è importante....
Io la risolvo semplicemente così.
In un liquido situato in un campo gravitazionale la superficie si dispone sempre normalmente al campo.
In un sistema solidale a un liquido che ruota la gravità totale è la composizione vettoriale tra la gravità $g$ e la gravità radiale che è uguale e contraria all’accelerazione centripeta, come indicato in figura.
Da cui:
$y'\( x ) = \frac{\omega ^2}{g}x$
e integrando
$y\( x ) = \frac{\omega ^2}{2g}x^2$
In un liquido situato in un campo gravitazionale la superficie si dispone sempre normalmente al campo.
In un sistema solidale a un liquido che ruota la gravità totale è la composizione vettoriale tra la gravità $g$ e la gravità radiale che è uguale e contraria all’accelerazione centripeta, come indicato in figura.
Da cui:
$y'\( x ) = \frac{\omega ^2}{g}x$
e integrando
$y\( x ) = \frac{\omega ^2}{2g}x^2$
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