Esercizio piano inclinato con attrito statico
Ciao a tutti, a breve avrò l'esame di fisica e avrei bisogno di un'aiutino...
Guardando alcuni temi d'esame ho trovato questo esercizio:
Si supponga di dover trascinare tramite una fune con tensione di
rottura pari a $ Tmax = 1.22*10^3 N$ una cassa di massa m lungo un piano
inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, caratterizzato dai coefficienti di
attrito µc = 0.25 e µs = 0.35. Determinare:
a) la direzione ottimale a cui bisogna dirigere la fune;
b) il valore massimo della massa che può essere frenata nella sua
discesa lungo il piano;
c) il valore massimo della massa che si può fare muovere
Il mio dubbio riguarda il punto a) , di primo impatto ho pensato che la direzione migliore
dovrebbe essere quella parallela al piano in modo da evitare che parte della forza contribuisca
con la forza normale N a bilanciare la forza peso P, diminuendo così la forza di attrito.
Sulle soluzioni (fatte da uno studente, quindi sicuramente non sono la bibbia) viene calcolato
l'angolo di inclinazione migliore sulla base del coefficiente di attrito, ovvero la sua arcotangente.
Sinceramente non capisco bene il collegamento, in questo modo posso trovare l'inclinazione del piano
per cui la cassa non scivoli sotto l'influenza della forza peso perchè bilanciata da quella dell'attrito.
Svolgendo qualche calcolo mi sembra che la massa massima sostenibile dalla fune con le forze
in equilibrio sia effettivamente maggiore quando la corda è parallela al piano.
Ho anche notato che se l'angolo è negativo rispetto all'orizzonte allora c'è un piccolo incremento
nella massa massima sostenibile, ma si parla di corpi puntiformi su un piano inclinato, un tale angolo
implicherebbe che la corda entri "dentro" il piano e la cosa non mi sembra molto sensata....
Credo si sia capito che sono un po' in confusione, qualcuno riesci a chiarirmi un po' le idee?
Grazie mille!!
Guardando alcuni temi d'esame ho trovato questo esercizio:
Si supponga di dover trascinare tramite una fune con tensione di
rottura pari a $ Tmax = 1.22*10^3 N$ una cassa di massa m lungo un piano
inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, caratterizzato dai coefficienti di
attrito µc = 0.25 e µs = 0.35. Determinare:
a) la direzione ottimale a cui bisogna dirigere la fune;
b) il valore massimo della massa che può essere frenata nella sua
discesa lungo il piano;
c) il valore massimo della massa che si può fare muovere
Il mio dubbio riguarda il punto a) , di primo impatto ho pensato che la direzione migliore
dovrebbe essere quella parallela al piano in modo da evitare che parte della forza contribuisca
con la forza normale N a bilanciare la forza peso P, diminuendo così la forza di attrito.
Sulle soluzioni (fatte da uno studente, quindi sicuramente non sono la bibbia) viene calcolato
l'angolo di inclinazione migliore sulla base del coefficiente di attrito, ovvero la sua arcotangente.
Sinceramente non capisco bene il collegamento, in questo modo posso trovare l'inclinazione del piano
per cui la cassa non scivoli sotto l'influenza della forza peso perchè bilanciata da quella dell'attrito.
Svolgendo qualche calcolo mi sembra che la massa massima sostenibile dalla fune con le forze
in equilibrio sia effettivamente maggiore quando la corda è parallela al piano.
Ho anche notato che se l'angolo è negativo rispetto all'orizzonte allora c'è un piccolo incremento
nella massa massima sostenibile, ma si parla di corpi puntiformi su un piano inclinato, un tale angolo
implicherebbe che la corda entri "dentro" il piano e la cosa non mi sembra molto sensata....
Credo si sia capito che sono un po' in confusione, qualcuno riesci a chiarirmi un po' le idee?
Grazie mille!!
Risposte
Il mio dubbio riguarda il punto a) , di primo impatto ho pensato che la direzione migliore
dovrebbe essere quella parallela al piano in modo da evitare che parte della forza contribuisca
con la forza normale N a bilanciare la forza peso P, diminuendo così la forza di attrito.
Il fatto che la forza di attrito diminuisca è un vantaggio. Supponiamo che la forza T formi un angolo$alpha$ con il piano inclinato:
$Tcosalpha$ è la componente lungo il piano
$Tsenalpha$ è la componente lungo la normale al piano.
Allora: $Tcosalpha=mgsen30+\mu_s(mgcos30-Tsenalpha)$, da cui, a meno di errori:
$T=(mgsen30+\mu_smgcos30)/(cosalpha+\mu_ssenalpha)$
Essendo il numeratore una costante, il min di T si ottiene col max del denominatore. Per trovare il valore corrispondente di $alpha$, prova ad uguagliare a zero la sua derivata, dovresti ottenere $tanalpha=\mu_s$.
Ciao, prima di tutto grazie per la risposta,forse credo di aver capito dove sbagliavo.
Penso di aver frainteso la richiesta del problema, la domanda si riferisce alla direzione
migliore in cui dirigere la fune per spostare la cassa, quindi l'angolo che mi hai indicato
è quello per cui a parità di massa della cassa mi serve una minore forza T per poterla spostare, giusto?
Stupidamente avevo inteso la direzione migliore per poter tenere in equilibrio il sistema
con massa massima, quindi avevo pensato di sfruttare la forza di attrito che era nello stesso verso della forza T.
Non so quanto sia chiara quest'ultima parte, ma se la prima è giusta non ha poi molta importanza
grazie mille!!
Penso di aver frainteso la richiesta del problema, la domanda si riferisce alla direzione
migliore in cui dirigere la fune per spostare la cassa, quindi l'angolo che mi hai indicato
è quello per cui a parità di massa della cassa mi serve una minore forza T per poterla spostare, giusto?
Stupidamente avevo inteso la direzione migliore per poter tenere in equilibrio il sistema
con massa massima, quindi avevo pensato di sfruttare la forza di attrito che era nello stesso verso della forza T.
Non so quanto sia chiara quest'ultima parte, ma se la prima è giusta non ha poi molta importanza
grazie mille!!
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