Esercizio pendolo conico
Salve vorrei un imput su come impostare il problema seguente:
Un corpo puntiforme di massa $m=250g$ è in quiete sopra un profilo conico liscio di semiapertura pari ad $α =35°$. Il corpo è sostenuto da un filo ideale di lunghezza $l=1.4m$ ancorato nel vertice del cono. All'istante $t=0$ viene applicata una forza di modulo costante pari ad $F=0,04N$ che viene mantenuta tangenziale alla superficie del cono e perpendicolare al filo. Nel disegno la forza è uscente dal foglio. Determinare:
a) Come variano nel tempo la velocità angolare $ω$ , la Tensione del filo $tau$ e la reazione normale $N$.
b)Dopo quanto tempo t* il corpo si stacca dal profilo conico.
Scelgo un asse lungo il profilo del cono con l'origine esattamente nel vertice in modo da avere un sistema inerziale e questa saraà la mia direzione radiale e in più ho la direzione tangenziale. Come forze ho : $ mg+tau +F+fc=ma $ dove $tau$ è la tensione del filo è la forza centrifuga. Quest' equazione va proiettata. Però non mi trovo a ricavare $omega$ e di conseguenza neanche la tensione e la normale che sono in funzione di $omega$. La velocità angolare non è perpendicolare all'asse di rotazione e quindi alla verticale del cono? Ho bisogno giusto di un imput
Un corpo puntiforme di massa $m=250g$ è in quiete sopra un profilo conico liscio di semiapertura pari ad $α =35°$. Il corpo è sostenuto da un filo ideale di lunghezza $l=1.4m$ ancorato nel vertice del cono. All'istante $t=0$ viene applicata una forza di modulo costante pari ad $F=0,04N$ che viene mantenuta tangenziale alla superficie del cono e perpendicolare al filo. Nel disegno la forza è uscente dal foglio. Determinare:
a) Come variano nel tempo la velocità angolare $ω$ , la Tensione del filo $tau$ e la reazione normale $N$.
b)Dopo quanto tempo t* il corpo si stacca dal profilo conico.
Scelgo un asse lungo il profilo del cono con l'origine esattamente nel vertice in modo da avere un sistema inerziale e questa saraà la mia direzione radiale e in più ho la direzione tangenziale. Come forze ho : $ mg+tau +F+fc=ma $ dove $tau$ è la tensione del filo è la forza centrifuga. Quest' equazione va proiettata. Però non mi trovo a ricavare $omega$ e di conseguenza neanche la tensione e la normale che sono in funzione di $omega$. La velocità angolare non è perpendicolare all'asse di rotazione e quindi alla verticale del cono? Ho bisogno giusto di un imput
Risposte
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La velocita angolare e' parallela all'asse del cono.
La forza centrifuga ortogonale ad esso.
Nell'equazione che hai scritto, manca la reazione del cono sulla sfera (incognita).
Prova ora. Posta i calcoli
La velocita angolare e' parallela all'asse del cono.
La forza centrifuga ortogonale ad esso.
Nell'equazione che hai scritto, manca la reazione del cono sulla sfera (incognita).
Prova ora. Posta i calcoli
Proiettando lungo il filo ho : $ -tau+mgcos alpha -m omega^2lsen^2alpha=0 $
Lungo la direzione perpendicolare al filo ho $ N -mgsenalpha+F+momega^2senalphacosalpha $
da qui posso ricavare la dipendenza di $N$ e $tau$ da $omega$.
Ma non ho bisogno di un'altra equazione? Inoltre non dovrebbe essere costante $omega$ perchè dipende dal tempo?
Lungo la direzione perpendicolare al filo ho $ N -mgsenalpha+F+momega^2senalphacosalpha $
da qui posso ricavare la dipendenza di $N$ e $tau$ da $omega$.
Ma non ho bisogno di un'altra equazione? Inoltre non dovrebbe essere costante $omega$ perchè dipende dal tempo?
Lungo il filo (verso positivo a scendere)
$mgcosalpha+momega^2Lsin^2alpha-tau=0$ (1)
Lungo la normale al filo (sullo stesso piano individuato dalla forza peso e dalla tensione), verso positivo uscente dal cono:
$momega^2Lsinalphacosalpha+N-mgsinalpha=0$ (2)
Lungo la normale al filo (sulla direzione ortogonale al piano individuato dalla forza peso e dalla tensione)
$FLsinalpha=mL^2sin^2alpha*ddottheta$ ($ddottheta$ e' l'accelerazione angolare), che semplificata e risolta per $ddottheta$ da':
$ddottheta=F/(mLsinalpha)$
Da cui $omega=Ft/(mLsinalpha)$
Da (1), la tensione $tau$ allora ha legge:
$tau(t)=mgcosalpha+momega^2Lsin^2alpha$ cioe':
$tau(t)=mgcosalpha+m(Ft/(mLsinalpha))^2*Lsin^2alpha=F^2t^2/mLsinalpha+mgcosalpha$
Allo stesso modo calcoli la reazione N(t) da (2)
Imponendo poi che la reazione N si annulli (condizione limite di distacco), trovi il tempo t
$mgcosalpha+momega^2Lsin^2alpha-tau=0$ (1)
Lungo la normale al filo (sullo stesso piano individuato dalla forza peso e dalla tensione), verso positivo uscente dal cono:
$momega^2Lsinalphacosalpha+N-mgsinalpha=0$ (2)
Lungo la normale al filo (sulla direzione ortogonale al piano individuato dalla forza peso e dalla tensione)
$FLsinalpha=mL^2sin^2alpha*ddottheta$ ($ddottheta$ e' l'accelerazione angolare), che semplificata e risolta per $ddottheta$ da':
$ddottheta=F/(mLsinalpha)$
Da cui $omega=Ft/(mLsinalpha)$
Da (1), la tensione $tau$ allora ha legge:
$tau(t)=mgcosalpha+momega^2Lsin^2alpha$ cioe':
$tau(t)=mgcosalpha+m(Ft/(mLsinalpha))^2*Lsin^2alpha=F^2t^2/mLsinalpha+mgcosalpha$
Allo stesso modo calcoli la reazione N(t) da (2)
Imponendo poi che la reazione N si annulli (condizione limite di distacco), trovi il tempo t
Grazie mille
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