Esercizio particolare giostra in rotazione
Salve ragazzi, rieccomi 
. Allora: per quanto riguarda la prima parte penso di averlo saputo fare trattandosi di una semplice condizione di equilibrio statico ( considerando anche la forza centrifuga ). Per la seconda parte invece ho dei dubbi. Innanzitutto è giusto che consideri il momento di inerzia totale, sommando a quello che mi da, il momento di inerzia dell' oggetto ( mR^2 ? ) ? Penso che debba ricavare l'accelerazione angolare attraverso la seconda equazione cardinale, ma ho unico momento ( quello fornito ) o devo inserirne altri ? Fatto questo penso che semplicemente attraverso la legge oraria trovo quanto tempo occorre per arrivare alla velocità angolare calcolata al punto precedente. Mi aiutate? Grazie mille
. Allora: per quanto riguarda la prima parte penso di averlo saputo fare trattandosi di una semplice condizione di equilibrio statico ( considerando anche la forza centrifuga ). Per la seconda parte invece ho dei dubbi. Innanzitutto è giusto che consideri il momento di inerzia totale, sommando a quello che mi da, il momento di inerzia dell' oggetto ( mR^2 ? ) ? Penso che debba ricavare l'accelerazione angolare attraverso la seconda equazione cardinale, ma ho unico momento ( quello fornito ) o devo inserirne altri ? Fatto questo penso che semplicemente attraverso la legge oraria trovo quanto tempo occorre per arrivare alla velocità angolare calcolata al punto precedente. Mi aiutate? Grazie mille
Risposte
La prima parte si risolve, come hai detto, imponendo la condizione per cui la forza di attrito massima , che la superficie può esercitare sulla massa , sia uguale al suo peso; quindi con una sola equazione:
$mu_smRomega^2 = mg $
ho trovato che : $ omega = 1.238 s^-1$
Nella seconda parte , devi tenere conto anche del momento di inerzia della massa rispetto all'asse di rotazione , sommandolo al momento di inerzia del cilindro , poiché è di entità non trascurabile. Questo vuol dire che il CM non giace sull'asse di rotazione, tuttavia questo , pur non essendo "centrale di inerzia" , è un asse principale di inerzia del sistema . Il momento angolare rispetto all'asse è quindi un vettore ad esso parallelo, come la velocità angolare , e puoi scrivere semplicemente, evitando i vettori :
$L = Iomega$
in cui $I$ è il momento di inerzia totale prima detto . Poi applichi la seconda cardinale della dinamica :
$ M_e = I dot omega = I \alpha $
da cui puoi ricavare l'accelerazione angolare , che in questo caso ritarda il moto . Perciò :
$omega = omega_0 -alphat $
e poi procedi come hai detto.
$mu_smRomega^2 = mg $
ho trovato che : $ omega = 1.238 s^-1$
Nella seconda parte , devi tenere conto anche del momento di inerzia della massa rispetto all'asse di rotazione , sommandolo al momento di inerzia del cilindro , poiché è di entità non trascurabile. Questo vuol dire che il CM non giace sull'asse di rotazione, tuttavia questo , pur non essendo "centrale di inerzia" , è un asse principale di inerzia del sistema . Il momento angolare rispetto all'asse è quindi un vettore ad esso parallelo, come la velocità angolare , e puoi scrivere semplicemente, evitando i vettori :
$L = Iomega$
in cui $I$ è il momento di inerzia totale prima detto . Poi applichi la seconda cardinale della dinamica :
$ M_e = I dot omega = I \alpha $
da cui puoi ricavare l'accelerazione angolare , che in questo caso ritarda il moto . Perciò :
$omega = omega_0 -alphat $
e poi procedi come hai detto.
Non devo considerare momenti di altre forze ? Intendo le forze che agiscono sull'oggetto
No. La seconda cardinale dice che la variazione del momento angolare è causata dal momento di forze esterne , che qui è il momento frenante applicato .
Comunque, La forza centripeta (reale, applicata dalla giostra alla massa) è radiale , e il suo momento rispetto all'asse è nullo, come quello della reazione a tale forza , ti pare? Peso e forza di attrito sono uguali e contrarie , e il loro momento tenderebbe a far ruotare l'asse , in un senso o nell'altro , in un piano verticale, se considerate separatamente. Ma si fanno equilibrio, dunque il loro momento complessivo è zero. Non c' entrano col frenamento dovuto al momento applicato, il quale, invece, si può rappresentare con un vettore parallelo all’asse, come dev’essere.
Comunque, La forza centripeta (reale, applicata dalla giostra alla massa) è radiale , e il suo momento rispetto all'asse è nullo, come quello della reazione a tale forza , ti pare? Peso e forza di attrito sono uguali e contrarie , e il loro momento tenderebbe a far ruotare l'asse , in un senso o nell'altro , in un piano verticale, se considerate separatamente. Ma si fanno equilibrio, dunque il loro momento complessivo è zero. Non c' entrano col frenamento dovuto al momento applicato, il quale, invece, si può rappresentare con un vettore parallelo all’asse, come dev’essere.
Ok grazie ho capito, mi era proprio sfuggito che devo considerare le sole forze esterne. Ha senso invece il ragionamento che ho fatto per calcolare il tempo ?
Si. Il tempo richiesto è dato da :
$t = (omega_0 - omega)/\alpha $
hai $omega_0$ assegnata , $omega $ dalla prima parte , e hai calcolato $alpha$ come detto .
Anche il peso , a volte, è una forza che può far variare il momento angolare : pensa a una carrucola ad asse orizzontale , con una massa, sospesa a una fune che si avvolge sula carrucola , che cala accelerando . Ma non è il tuo caso .
$t = (omega_0 - omega)/\alpha $
hai $omega_0$ assegnata , $omega $ dalla prima parte , e hai calcolato $alpha$ come detto .
Anche il peso , a volte, è una forza che può far variare il momento angolare : pensa a una carrucola ad asse orizzontale , con una massa, sospesa a una fune che si avvolge sula carrucola , che cala accelerando . Ma non è il tuo caso .
Ok, grazie ancora. Questo è un continuo dell esercizio, mi protesti aiutare a capirlo ?
Ho cancellato l'ultima risposta che avevo scritto , non sono convinto .
Chiedo agli esperti , profkappa , mgrau, Vulplasir, Sergeant Elias, e chiunque voglia , di intervenire , perché non mi è chiaro
Tony ,aspettiamo !
Chiedo agli esperti , profkappa , mgrau, Vulplasir, Sergeant Elias, e chiunque voglia , di intervenire , perché non mi è chiaro
Tony ,aspettiamo !
Respingo la qualifica di esperto, però provo ad usare un po' di fiuto...
Dunque: se non ci fosse attrito, il momento frenante non avrebbe conseguenze sulla massa, che proseguirebbe con la velocità angolare precedente. Per cui il momento avrebbe a che fare solo col momento d'inerzia della giostra.
Viceversa, finchè l'attrito impedisce lo scorrimento, tutto è solidale, e il momento d'inerzia comprende la massa mobile.
Se invece c'è attrito, ma anche scorrimento, direi che la massa contribuisce al momento d'inerzia in modo parziale: se il frenamento produce, sulla massa solidale, una forza F, ora invece la forza da considerare è solo la forza di attrito, minore di F visto che c'è scorrimento (e, come se non bastasse, variabile con la velocità di rotazione), e direi che va considerata, ai fini del momento d'inerzia, una specie di "massa ridotta", nella stessa proporzione delle forze.
Questo da un punto di vista qualitativo. Se poi dovessi metter giù delle equazioni, è un'altra storia...
Dunque: se non ci fosse attrito, il momento frenante non avrebbe conseguenze sulla massa, che proseguirebbe con la velocità angolare precedente. Per cui il momento avrebbe a che fare solo col momento d'inerzia della giostra.
Viceversa, finchè l'attrito impedisce lo scorrimento, tutto è solidale, e il momento d'inerzia comprende la massa mobile.
Se invece c'è attrito, ma anche scorrimento, direi che la massa contribuisce al momento d'inerzia in modo parziale: se il frenamento produce, sulla massa solidale, una forza F, ora invece la forza da considerare è solo la forza di attrito, minore di F visto che c'è scorrimento (e, come se non bastasse, variabile con la velocità di rotazione), e direi che va considerata, ai fini del momento d'inerzia, una specie di "massa ridotta", nella stessa proporzione delle forze.
Questo da un punto di vista qualitativo. Se poi dovessi metter giù delle equazioni, è un'altra storia...
Innanzitutto grazie per essere intervenuto.
Ma la massa , in assenza di attrito , non si sarebbe neanche mossa inizialmente . Nella prima parte dell'esercizio, è detto chiaramente che c'è attrito statico , con coefficiente $mu_s = 0.8$ , e la giostra ruota a velocità costante , con questa massa attaccata alla parete , che non scorre da nessuna parte , e neanche scivola in basso finchè è soddisfatta la condizione detta prima sulla forza centripeta.
Poi, nella seconda parte, si fa l'ipotesi di una velocità angolare costante iniziale di $2s^-1$ , superiore a quella minima che assicura l'aderenza per attrito statico , e a un certo punto si applica un momento frenante costante , che rallenta la rotazione , fino ad una certa velocità angolare , calcolabile con la 2º cardinale e con l'equazione $omega= omega_0 - alphat$ , come abbiamo visto . E fin qui, niente di trascendentale .
Ora viene il bello : quando $omega$ scende sotto il valore minimo che assicura l'aderenza, la massa comincia a scivolare , e in $0.5s$ tocca il pavimento .
Tu pensi quindi che , dall'inizio dello scorrimento , la velocità angolare dovrebbe aumentare, come se il momento di inerzia della sola massa fosse più piccolo di $mR^2$ ? Ma, secondo te, come scorre la massa ? In verso contrario alla rotazione , o nello stesso verso , parlando della direzione orizzontale ? Per me , essendo dotata di una certa velocità iniziale $omega_iR$ , la "curva" di scorrimento è una pseudo parabola , rivolta in avanti , e per di piú il moto è anche frenato dall'attrito dinamico , di cui non sappiamo nulla ! No, non mi sembra praticabile la via delle forze. Qui l'unico ragionamento da fare è sulla dinamica del moto rotatorio, tenendo conto della componente orizzontale della velocità $v_0sentheta = 1m/s$ della massa , e sul momento angolare del sistema , che oltretutto non si può dire che si conservi poiché esiste sempre il momento frenante ....
"mgrau":
Se non ci fosse attrito, il momento frenante non avrebbe conseguenze sulla massa, che proseguirebbe con la velocità angolare precedente. Per cui il momento avrebbe a che fare solo col momento d'inerzia della giostra.
Ma la massa , in assenza di attrito , non si sarebbe neanche mossa inizialmente . Nella prima parte dell'esercizio, è detto chiaramente che c'è attrito statico , con coefficiente $mu_s = 0.8$ , e la giostra ruota a velocità costante , con questa massa attaccata alla parete , che non scorre da nessuna parte , e neanche scivola in basso finchè è soddisfatta la condizione detta prima sulla forza centripeta.
Poi, nella seconda parte, si fa l'ipotesi di una velocità angolare costante iniziale di $2s^-1$ , superiore a quella minima che assicura l'aderenza per attrito statico , e a un certo punto si applica un momento frenante costante , che rallenta la rotazione , fino ad una certa velocità angolare , calcolabile con la 2º cardinale e con l'equazione $omega= omega_0 - alphat$ , come abbiamo visto . E fin qui, niente di trascendentale .
Ora viene il bello : quando $omega$ scende sotto il valore minimo che assicura l'aderenza, la massa comincia a scivolare , e in $0.5s$ tocca il pavimento .
Viceversa, finchè l'attrito impedisce lo scorrimento, tutto è solidale, e il momento d'inerzia comprende la massa mobile.
Se invece c'è attrito, ma anche scorrimento, direi che la massa contribuisce al momento d'inerzia in modo parziale: se il frenamento produce, sulla massa solidale, una forza F, ora invece la forza da considerare è solo la forza di attrito, minore di F visto che c'è scorrimento (e, come se non bastasse, variabile con la velocità di rotazione), e direi che va considerata, ai fini del momento d'inerzia, una specie di "massa ridotta", nella stessa proporzione delle forze.
Questo da un punto di vista qualitativo. Se poi dovessi metter giù delle equazioni, è un'altra storia...
Tu pensi quindi che , dall'inizio dello scorrimento , la velocità angolare dovrebbe aumentare, come se il momento di inerzia della sola massa fosse più piccolo di $mR^2$ ? Ma, secondo te, come scorre la massa ? In verso contrario alla rotazione , o nello stesso verso , parlando della direzione orizzontale ? Per me , essendo dotata di una certa velocità iniziale $omega_iR$ , la "curva" di scorrimento è una pseudo parabola , rivolta in avanti , e per di piú il moto è anche frenato dall'attrito dinamico , di cui non sappiamo nulla ! No, non mi sembra praticabile la via delle forze. Qui l'unico ragionamento da fare è sulla dinamica del moto rotatorio, tenendo conto della componente orizzontale della velocità $v_0sentheta = 1m/s$ della massa , e sul momento angolare del sistema , che oltretutto non si può dire che si conservi poiché esiste sempre il momento frenante ....
Risponde l'esperto: Il testo parla di velocità relativa del blocco rispetto alla giostra inclinata rispetto alla verticale, pertanto l'attrito statico non è sufficiente a grantire il non strisciamento del blocco tangenzialmente al cilindro.
Ho fatto un disegno schifoso:
Se l'attrito statico fosse sufficiente a garantire l'equilibrio relativo del blocco tangenzialmente, allora si avrebbe $f=malphaR$, e la velocità relativa del blocco rispetto al cilindro sarebbe data solo dal fatto che $mg>f$ e quindi la velocità relativa sarebbe perfettamente verticale. Pertanto il blocco ha anche velocità relativa tangtenziale, la f è una forza di attrito dinamico, ma dato che l'attrito dinamico è minore di quello statico, significa che la velocitá relativa tangenziale del blocco sarà diretta nello stesso verso di $omega$, ossia nella stessa direzione della velocità iniziale.
Il fatto che la giostra sia vincolata a ruotare attorno al suo asse, ci permette di fregarcene delle componenti del momento angolare diverse dalla componente verticale $L_z$, infatti a bilanciare il momento angolare nelle altre due componenti ci penseranno le reazioni vincolari.
Pertanto il problema è risolto, ci basta fare un bilancio di momento angolare verticale:
$MDeltat=DeltaL_z$
Ho fatto un disegno schifoso:
Se l'attrito statico fosse sufficiente a garantire l'equilibrio relativo del blocco tangenzialmente, allora si avrebbe $f=malphaR$, e la velocità relativa del blocco rispetto al cilindro sarebbe data solo dal fatto che $mg>f$ e quindi la velocità relativa sarebbe perfettamente verticale. Pertanto il blocco ha anche velocità relativa tangtenziale, la f è una forza di attrito dinamico, ma dato che l'attrito dinamico è minore di quello statico, significa che la velocitá relativa tangenziale del blocco sarà diretta nello stesso verso di $omega$, ossia nella stessa direzione della velocità iniziale.
Il fatto che la giostra sia vincolata a ruotare attorno al suo asse, ci permette di fregarcene delle componenti del momento angolare diverse dalla componente verticale $L_z$, infatti a bilanciare il momento angolare nelle altre due componenti ci penseranno le reazioni vincolari.
Pertanto il problema è risolto, ci basta fare un bilancio di momento angolare verticale:
$MDeltat=DeltaL_z$
Se ho capito bene, la traiettoria sarebbe rettilinea? In effetti, come Shackle, mi immaginavo una specie di parabola, ma in fondo perchè? Il moto verso il basso e quello in avanti sono entrambi accelerati, le accelerazioni sono costanti, quindi siamo un po' come il pendolo in un treno che frena, cha assume una inclinazione fissa in avanti... ma è poi vero che l'accelerazione in avanti è costante? Col diminuire della velocità angolare diminuisce anche l'attrito, per cui forse l'accelerazione tangenziale aumenta e torniamo ad una specie di parabola ad asse orizzontale...
E, a parte questo, se Vulplasir dettagliasse un po' la sua formula risolutiva...
E, a parte questo, se Vulplasir dettagliasse un po' la sua formula risolutiva...
se Vulplasir dettagliasse un po' la sua formula risolutiva
La formula risolutiva è semplice, l'unico momento esterno che agisce verticalmente sul sistema è il momento frenante M, costante, esso determinerà una variazione del momento angolare verticale di tutto il sistema. Se all'inizio il momento angolare verticale della giostra è $Iomega_0$, dopo 0,5s sarà $Iomega_(1)$, con $omega_1$ incognita da trovare.
All'inizio il blocco m si muove solidalmente con la giostra, con velocità $v_0=omega_0R$ tangenziale, ha quindi momento angolare iniziale $L_0=mv_0R=momega_0R^2$, $v_0$ è quindi la velocità ASSOLUTA del blocco iniziale, ed esso ha velocità relativa nulla rispetto alla giostra.
Per quanto detto, quando la giostra comincia a rallentare (quindi decelerare), rispetto a un sdr solidale alla giostra, il blocco ha velocità inizialmente nulla, dopo 0,5 secondi acquisisce una velocità relativa inclinata di 30 gradi rispetto alla verticale, la componente tangenziale di questa velocità relativa è diretta nello stesso verso di rotazione della giostra, e ha modulo $v_1=1m/s$, la velocità assoluta tangenziale del blocco dopo 0,5s è quindi $v_0+v_1$
La variazione del momento angolare del blocco è $m(v_0+v_1)R-mv_0R=mv_1R$
Quindi:
$Mdeltat=I(omega_1-omega_0)+mv_1R$, con $M=-10000Nm$ e trovo $omega_1$
mi hai convinto. 
La traiettoria assoluta , sulla superficie interna del cilindro , è elicoidale , giusto .
D'accordo, ho aggiunto la massa $m$ alla formuletta . LA velocità assoluta, quindi, è uguale alla velocità di trascinamento. ( lo dico per Tony) .
OK .
sbagliavo quest'ultimo passaggio , cavolo ! Mi sono rimbecillito?
Forse 
Consideravo, nel primo termine al secondo membro , il momento di inerzia della sola ruota , e non tutto $I$ !
Grazie , Expert Vulplasir .
All'inizio il blocco m si muove solidalmente con la giostra, con velocità $v_0= omega_0R$ tangenziale, ha quindi momento angolare iniziale $L_0=mv_0R=momega_0R^2$ , $v_0$ è quindi la velocità ASSOLUTA del blocco iniziale, ed esso ha velocità relativa nulla rispetto alla giostra.
D'accordo, ho aggiunto la massa $m$ alla formuletta . LA velocità assoluta, quindi, è uguale alla velocità di trascinamento. ( lo dico per Tony) .
...la componente tangenziale di questa velocità relativa è diretta nello stesso verso di rotazione della giostra...
.....la velocità assoluta tangenziale del blocco dopo 0,5s è quindi $v_0+v_1$...
OK .
La variazione del momento angolare del blocco è $ m(v_0+v_1)R-mv_0R=mv_1R $
Quindi : $ Mdeltat=I(omega_1-omega_0)+mv_1R $, con $ M=-10000Nm $ e trovo $ omega_1 $
sbagliavo quest'ultimo passaggio , cavolo ! Mi sono rimbecillito?
Forse Consideravo, nel primo termine al secondo membro , il momento di inerzia della sola ruota , e non tutto $I$ !
Grazie , Expert Vulplasir .
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