Esercizio Oscillatore Armonico Smorzato

[corben dallas]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, spero possiate aiutarmi a risolverlo
Grazie in anticipo

Si consideri una massa $m=3Kg$ , vincolata ad una molla con costante elastica $K=3N/m$ ed attrito viscoso $β=4N/Ms^2$, con le seguenti condizioni iniziali: $x_0=0$ e $dot x_0=3m/s$.
Si suppone nulla la lunghezza iniziale della molla.
Ottenere:
-La legge del moto della massa
-L'Energia Cinetica iniziale del Sistema

[Palliit]

Ciao! Il regolamento impone che tu esponga i tuoi tentativi di risoluzione.

[corben dallas]

"rob_IP":Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, spero possiate aiutarmi a risolverlo
Grazie in anticipo

Si consideri una massa $m=3Kg$ , vincolata ad una molla con costante elastica $K=3N/m$ ed attrito viscoso $β=4N/Ms^2$, con le seguenti condizioni iniziali: $x_0=0$ e $dot x_0=3m/s$.
Si suppone nulla la lunghezza iniziale della molla.
Ottenere:
-La legge del moto della massa
-L'Energia Cinetica iniziale del Sistema

Forse ho capito il modo, ma per correttezza rispondo lo stesso illustrando il procedimento da me effettuato, e così anche da capire se è giusto ciò che ho fatto oppure no.
Molti passaggi non sono stati riportati per agevolare la scrittura, ma se necessario posso aggiungere qualunque cosa.


Parto dall'equazione generale: $mddot x(t)+\betadot x(t)+Kx(t)=F_0sin(\omegat+\psi)$

Non ho forze applicate dunque $F_0sin(\omegat+\psi)=0$, ottenendo dunque
$mddot x(t)+\betadot x(t)+Kx(t)=0$ [1]

cerco la soluzione tra le funzioni esponenziali $x=e^(\lambdat)$. e sostituendo nella [1]

ottengo dunque: $(m\lambda^2+\beta\lambda+k)e^(\lambdat)=0$.
$e^(\lambdat)!=0$ (così da avere soluzioni valide per ogni istante di t ) quindi cercherò le soluzioni di $m\lambda^2+\beta\lambda+k=0$, ovvero $\lambda_(1,2)$.

Introduco $\zeta=sqrt(\beta^2/(4mk))$ damping ratio e $\omega_n=sqrt(k/m)$ pulsazione di risonanza.
Ottengo dunque $\lambda_(1,2)=(-\zeta\pmsqrt(1-\zeta^2))\omega_n$

So che $\zeta^2<1$ , caso dell'Oscillatore armonico smorzato, quindi so che dovrò cercare un tipo di soluzione che assumerà la seguente forma:
$x=A_0e^((-\zeta-sqrt(1-\zeta^2))\omega_nt)+B_0e^((-\zeta+isqrt(1-\zeta^2))\omega_nt)$.

Le radici sono complesse coniugate, per cui:
$x=A_0e^((-\zeta-isqrt(1-\zeta^2))\omega_nt)+B_0e^((-\zeta+isqrt(1-\zeta^2))\omega_nt)$.

Raccogliendo $e^(-\zeta\omega_nt)$ ottengo:
$x=e^(-\zeta\omega_nt)[A_0e^(-isqrt(1-\zeta^2)\omega_nt)+B_0e^(+isqrt(1-\zeta^2)\omega_nt)]$.

Applico la formula di Eulero e, con i dovuti accorgimenti, introduco la fase $\psi$, ed ottengo:
$x(t)=Ae^(-\zeta\omega_nt)sen(\omega_st+\psi)$ , con $\omega_s=sqrt(1-\zeta^2)\omega_n$. [2].

Considero la [2] come una delle soluzioni.
Derivando in funzione del tempo $t$ ottengo le soluzioni anche per $dot x(t)$ e $ddot x(t)$
[riscriverle qui al completo sarebbe laborioso quindi evito, ma ho verificato sul libro quindi risultano corrette]

Utilizzando le condizioni iniziali fornite dal problema ( $x_0=0$ e $dot x=3(m/s)$ ) mi ricavo l'ampiezza $A$ e la fase $\psi$.
Arrivati a questo punto io conosco i valori numerici di:
-> $\zeta,\omega_n, \omega_s, A , \psi$ e posso riscrivere, l'equazione generale in questo modo:
$ddot x(t)=-(\beta/m)dot x(t)-(K/m)x(t)=-2\zeta\omega_ndot x(t) - \omega_n^2x(t)$

[ i passaggi intermedi non sono riportati, ma sono certo siano giusti perchè verificati sul libro]

Ora, la mia domanda apparirà banale:
Arrivati a questo punto, posso affermare che:

l'equazione del moto della molla richiesta dall'esercizio è la seguente
$ddot x(t)=-2\zeta\omega_ndot x(t) - \omega_n^2x(t)$ [3]

con le seguenti soluzioni:
-> $x(t)=Ae^(-\zeta\omega_nt)sen(\omega_st+\psi)$
-> $dot x(t)=........$
-> $ddot x(t)=.........$

e posso dunque affermare di aver risolto l'esercizio?

NB: non ho inserito i dati numerici per comodità di scrittura,ma si considerino
$\zeta,\omega_n, \omega_s, A , \psi$ valori numerici reali e calcolati.
Inoltre con "............" si intende l'intera formula scritta con dati numerici reali e calcolati , che sempre per comodità non ho riportato, anche per non rendere l'esposto più lungo di quanto non sia gia uscito.
Molti passaggi inoltre nei calcoli precedenti non vengono riportati per comodità di scrittura,ma sono certo siano corretti perchè li ho controllati. Ma ribadisco, se dovesse occorrere per rendere la mia esposizione più chiara lo posso fare.

Grazie in anticipo per l'aiuto

[corben dallas]

"Palliit":Ciao! Il regolamento impone che tu esponga i tuoi tentativi di risoluzione.

Mi scuso, mi sono perso quel punto. non accadrà più