Esercizio oscillatore armonico quantistico

[sgabryx]

salve a tutti!
ho un esercizio sull'oscillatore armonico quantistico che mi dà un po' di problemi, specie sull'uso degli operatori "distruzione" e "creazione".
l'esercizio dice: "All'istante t=0 l'oscillatore armonico unidimensionale si trova nel seguente stato \( |psi> = 1/(sqrt(5) ) ( (2a^\dagger +1)|0> \)
sapendo che \( x=sqrt(\hbar /2 m \omega ) (a+a^\dagger ) \) , calcola il valore medio della posizione."

il prof nelle soluzioni scrive in pratica solo il risultato: $ t= =2/5sqrt((2htagliata)/(m omega ))cos(omega t) $
ma non capisco proprio come si faccia ad arrivare al risultato finale, non riesco a comprendere come svolgere $ $ .

qualcuno di voi ha link, spiegazione, suggerimento, voglia di scrivere i vari passaggi per comprendere meglio?
grazie per l'attenzione

[cooper1]

anzitutto bisogna fare attenzione al fatto che non chiede il valore medio a $t=0$ ma probabilmente il valore medio nel tempo. quindi dobbiamo capire come evolve il sistema. per farlo usiamo la rappresentazione di Heisenberg ottenendo
$frac{dp}{dt}=-frac{1}{i \hbar}[H,p]=-m \omega^2 x$
$frac{dx}{dt}=-frac{1}{i \hbar}[H,x]=frac{p}{m}$
risolvi e trovi che $x(t)=x(0)cos(omega t)$
a questo punto devi calcolare $< psi | x(t) | psi >$. per calcolare questo:
1. scrivi il bra di $|psi>$
2. svolgi i prodotti
3. ricorda l'ortogonalità degli stati