Esercizio MQ su Spin
Buongiorno a tutti, desideravo chiedervi un consiglio su un esercizio di Meccanica Quantistica riguardante lo spin:
Ecco il testo:
"Una particella di spin 1/2 ha la seguente hamiltoniana: \(\displaystyle H = a+b(\sigma_{z}+\sqrt{3} \sigma_{x}) \), dove \(\displaystyle \sigma_{i} \) sono le matrici di Pauli. Al tempo \(\displaystyle t=0 \) lo stato della particella è descritto dallo spinore \(\displaystyle \chi_{+} \), autostato di \(\displaystyle S_{z} \) con autovalore \(\displaystyle \frac{\hbar}{2} \).
a) Determinare agli autovalori e gli autospinori dell'hamiltoniana.
Per fare questo primo punto credo di dover trovare il valore della variabili a e b, in modo tale da poter trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice stessa. Il problema è che non so come trovare queste due costanti, sfruttando il fatto che lo stato inziale sia lo spinore "up". Ho provato ad applicare l'hamiltoniana allo spinore (in quanto questo è lo stato iniziale del sistema), ma non sono riuscito a tirarne fuori nulla.
b) Determinare la funzione d'onda al generico istante t>0.
Per fare questo è sufficiente, credo, applicare l'operatore evoluzione temporale alla funzione d'onda all'istante iniziale. Sull'esponenziale, al posto dell'hamiltoniana, si dovrà inserire il livello energetico corrispondente allo stato fondamentale.
c) Determinare i possibili risultati di una misura dell'energia e le rispettive probabilità al generico istante t>0.
Quello che in questo caso si chiede, praticamente, è lo spettro dell'hamiltoniana ad un istante temporale diverso da zero. Praticamente è lo stesso problema affrontato nel punto a). Ora, però, la funzione d'onda è quella dipendente dal tempo, per cui si deve risolvere l'equazione agli autovalori per l'hamiltoniana e si ottiene la risposta al problema. Ma la domanda è: non ottengo gli stessi livelli energetici di prima? L'hamiltoniana non è mica cambiata !! Quando ne determino gli autovalori non ottengo gli stessi che nel punto a? Questo però credo che fisicamente non possa andare bene, non ha molto senso.
potreste aiutarmi per favore?
Grazie davvero molto.
Buona giornata a tutti.
Saluti
Enrico Catanzani
Ecco il testo:
"Una particella di spin 1/2 ha la seguente hamiltoniana: \(\displaystyle H = a+b(\sigma_{z}+\sqrt{3} \sigma_{x}) \), dove \(\displaystyle \sigma_{i} \) sono le matrici di Pauli. Al tempo \(\displaystyle t=0 \) lo stato della particella è descritto dallo spinore \(\displaystyle \chi_{+} \), autostato di \(\displaystyle S_{z} \) con autovalore \(\displaystyle \frac{\hbar}{2} \).
a) Determinare agli autovalori e gli autospinori dell'hamiltoniana.
Per fare questo primo punto credo di dover trovare il valore della variabili a e b, in modo tale da poter trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice stessa. Il problema è che non so come trovare queste due costanti, sfruttando il fatto che lo stato inziale sia lo spinore "up". Ho provato ad applicare l'hamiltoniana allo spinore (in quanto questo è lo stato iniziale del sistema), ma non sono riuscito a tirarne fuori nulla.
b) Determinare la funzione d'onda al generico istante t>0.
Per fare questo è sufficiente, credo, applicare l'operatore evoluzione temporale alla funzione d'onda all'istante iniziale. Sull'esponenziale, al posto dell'hamiltoniana, si dovrà inserire il livello energetico corrispondente allo stato fondamentale.
c) Determinare i possibili risultati di una misura dell'energia e le rispettive probabilità al generico istante t>0.
Quello che in questo caso si chiede, praticamente, è lo spettro dell'hamiltoniana ad un istante temporale diverso da zero. Praticamente è lo stesso problema affrontato nel punto a). Ora, però, la funzione d'onda è quella dipendente dal tempo, per cui si deve risolvere l'equazione agli autovalori per l'hamiltoniana e si ottiene la risposta al problema. Ma la domanda è: non ottengo gli stessi livelli energetici di prima? L'hamiltoniana non è mica cambiata !! Quando ne determino gli autovalori non ottengo gli stessi che nel punto a? Questo però credo che fisicamente non possa andare bene, non ha molto senso.
potreste aiutarmi per favore?
Grazie davvero molto.
Buona giornata a tutti.
Saluti
Enrico Catanzani
Risposte
"Catanzani":
a) Determinare agli autovalori e gli autospinori dell'hamiltoniana.
Per fare questo primo punto credo di dover trovare il valore della variabili a e b, in modo tale da poter trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice stessa.
Dovresti determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice:
$H=((a+b,bsqrt(3)),(bsqrt(3),a-b))$
$a$ e $b$ sono due parametri, non devi determinarne il valore. Piuttosto, devi discutere il procedimento di diagonalizzazione.
Per il secondo punto e anche per il terzo ricorda, una volta determinati gli autostati dell'hamiltoniana come ti ha suggerito gordnnbnr, di esprimere il tuo spinore nella nuova base di autostati altrimenti la funzione d'onda che ti ritrovi sarà sbagliata.
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