Esercizio m.q. oscillatore armonico

[Andrea-.-''112]

Buongiorno,

Ho qualche dubbio sul procedimento da seguire per risolvere l'esercizio, spero possiate aiutarmi

a) Io pensavo di scrivere $H=H_0+e^2/(2mc)(vec(L)+2vec(S))*vec(B)=H_0+e^2B/(2mc)(L_z+2S_z)$ con H_0
hamiltoniana del oscillatore armonico quantistico isotropo.
(DOMANDA:)
Io non sto considerando effetti del tipo interazione spin-orbita, correzione relativistica ecc. è giusto così?

b) A questo punto per $B=0$ $H=H_0$ quindi basta ricavare le informazioni dal oscillatore armonico:
$E_N=(N+3/2)bar(h)omega$ la degenerazione è $d_N=[1/2(N+1)(N+2)]*2$ con $N=2n+l$, dove il $*2$ è dato dallo spin.

$N=0,d_0=2,l=0,j=1/2$:
I possibili valori di $L^2$ sono: $0$
I valori possibili di $J^2$ sono: $3/4bar(h)^2$

$N=1,d_1=6,l=1,j in {1/2,3/2}$:
I possibili valori di $L^2$ sono: $2bar(h)^2$
I valori possibili di $J^2$ sono: $3/4bar(h)^2,15/4bar(h)^2$

$N=2,d_2=12,l in {0,2}, j in {1/2,3/2,5/2}$:
I possibili valori di $L^2$ sono: $0,6bar(h)^2$
I valori possibili di $ J^2$ sono: $3/4bar(h)^2,15/4bar(h)^2,35/4bar(h)^2$

c) mi verrebbe da dire a occhio che $H,L^2,L_z,S_z,S^2$ commutano

Manca qualcosa?

[Sk_Anonymous]

"Andrea-.-''":

(DOMANDA:)
Io non sto considerando effetti del tipo interazione spin-orbita, correzione relativistica ecc. è giusto così?

Guarda l'hamiltoniana che hai scritto. Ci hai messo un momento angolare ed un momento di spin. Più interazione spin orbita di questa...

"Andrea-.-''":
con $ N=2n+l $,

Questa non l'ho capita. Cosa sarebbero n ed l?


Comunque guardando l'ultima domanda forse vuole che ricavi l'hamiltoniana completa e poi trascuri i termini quadratici. Dipende anche un po' da come è solito fare il docente. Quindi scrivere l'hamiltoniana generica, con il potenziale vettore etc. Ovviamente il succo finale non cambia.

"Andrea-.-''":
c) mi verrebbe da dire a occhio che $ H,L^2,L_z,S_z,S^2 $ commutano

L'hamiltoniana è invariante per rotazioni quindi sì per i momenti angolari. Gli operatori di spin non agiscono sulle coordinate orbitali quindi commutano tranquillamente. Mentre la Parità, secondo te che fa?

[Andrea-.-''112]

"Nikikinki":[quote="Andrea-.-''"]

[quote="Andrea-.-''"]
con $ N=2n+l $,

Questa non l'ho capita. Cosa sarebbero n ed l?
[/quote][/quote]

Hai ragione, non lo ho specificato
ho fatto riferimento al libro di Cesare Rossetti in cui si scrivono gli stati del oscillatore armonico come

$psi_(nlm)(r)=1/rchi_(nl)Y_l^m(theta, varphi)$ e le energie come $E=(2n+l+3/2)bar(h)omega$ e si pone $N=2n+l$
e si va a riscrivere la degenerazione rispetto a $N$





La parità ? non l'avevo considerata

[Sk_Anonymous]

Ma la $n$ parte da zero?

Comunque per la parità, è possibile valutare quella dell'oscillatore armonico 3D? E quella dell'altro pezzo?

[Andrea-.-''112]

L'operatore parità commuta con $H_0$ e anche con $vec(L)$ e $vec(S)$, quindi commuta con $H$
EDIT:
mi pare che la n parta da zero, vado a controllare...

[Andrea-.-''112]

[Sk_Anonymous]

Se parte da zero allora va bene.

Comunque la Parità la dimostri così:

per l'oscillatore la parità è $(-1)^(n_x+n_y+n_z)=(-1)^N$ .

Quindi per N pari hai stati pari, per N dispari stati dispari. Dalle tue considerazioni che hai fatto in questo esercizio (e dalla forma delle funzioni d'onda in generale ) gli stati con N pari possono avere solo momento angolare pari e quelli con N dispari solo mom angolare dispari. La parità del mom angolare è $(-1)^L$. Quindi le autofunzioni di H possono essere scelte anche come af della parità.

[Andrea-.-''112]

Perfetto, grazie mille