Esercizio moto uniformemente accelerato
Salve a tutti, sto preparando un esercitazione per un esame, e sono incappato su un esercizio di fisica banale ma che mi sta facendo diventare matto. Arrivo al dunque; ho a che fare con un diagramma delle posizioni composto da un tratto rettilineo (per [tex]0 \leq t \leq to[/tex]) da un tratto di parabola con concavità positiva (per [tex]to \leq t \leq t0+ts/2[/tex]) e da un altro tratto di parabola avente concavità rivolta verso il basso per ([tex]to+ts/2 \leq t \leq to+ts[/tex]). Dato il cambio di curvatura nel punto [tex]F(to+ts/2, H/2+po)[/tex] è presente un flesso la cui retta tangente passa (oltre che per il punto F chiaramente) per i punti [tex]M(to+ts/4, po)[/tex] e [tex]R(to+3/4*ts, H+po)[/tex]e il cui coefficiente angolare ho calcolato essere pari a 0.8.
Dato il diagramma delle velocità, tracciato derivando quello delle posizioni mi rendo conto che il coefficiente della retta passante per M ed R non è altro che il valore massimo della velocità, valore che dovrebbe coincidere con 0.8 m/s ma che calcolandolo per via analitica trovo essere pari a 0.6 m/s. Mi domando dove sbaglio, non riesco proprio a capire dove commetto l'errore, eppure ho guardato i calcoli 1000 volte! spero che qualcuno possa indirizzarmi lungo la retta via.. Grazie mille!
Di seguito aggiungo dei dati che forse si vedono poco dalla foto:
-H = 0.004 m
-ts = 0.01 s
-to = 0.0025 s
-u = 0.2 m/s
-po = 0.0005 m
Inolte
per t = to => s1 = po e v1= u;
per t = to+ts/2 => s1 = H/2 + po v1=Vmax;
Dato il diagramma delle velocità, tracciato derivando quello delle posizioni mi rendo conto che il coefficiente della retta passante per M ed R non è altro che il valore massimo della velocità, valore che dovrebbe coincidere con 0.8 m/s ma che calcolandolo per via analitica trovo essere pari a 0.6 m/s. Mi domando dove sbaglio, non riesco proprio a capire dove commetto l'errore, eppure ho guardato i calcoli 1000 volte! spero che qualcuno possa indirizzarmi lungo la retta via.. Grazie mille!
Di seguito aggiungo dei dati che forse si vedono poco dalla foto:
-H = 0.004 m
-ts = 0.01 s
-to = 0.0025 s
-u = 0.2 m/s
-po = 0.0005 m
Inolte
per t = to => s1 = po e v1= u;
per t = to+ts/2 => s1 = H/2 + po v1=Vmax;
Risposte
Misurando il tempo in $[10^-4 s]$ e la posizione in $[10^-4 m]$, mi risulta la seguente equazione oraria definita a tratti:
$0<=t<=25 rarr [x(t)=1/5t]$
$25
$75
La tangente inflessionale risulta essere:
$[x-25=3/5(t-75)] rarr [x=3/5t-20]$
e non mi pare che passi per $M(50,5)$ e $R(100,45)$.
P.S.
Ho supposto l'equazione oraria continua e derivabile passante per $O(0,0)$, $A(25,5)$, $B(75,25)$ e $C(125,45)$.
$0<=t<=25 rarr [x(t)=1/5t]$
$25
$75
La tangente inflessionale risulta essere:
$[x-25=3/5(t-75)] rarr [x=3/5t-20]$
e non mi pare che passi per $M(50,5)$ e $R(100,45)$.
P.S.
Ho supposto l'equazione oraria continua e derivabile passante per $O(0,0)$, $A(25,5)$, $B(75,25)$ e $C(125,45)$.
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta, il problema è che deve passare per forza per R ed M (è una condizione del problema), facendolo su carta millimetrata ci passa perfettamente. Seconda cosa, dai calcoli vedo che anche a te torna che le due accelerazioni ti tornano a1= 80 m/s^(2) e a2=-80 m/s^(2). Il problema è che in realtà dovrebbe risultare |a2|>|a1|. Infatti dal grafico delle velocità si nota (se non si vede bene provo ad inviare un altra foto, mi rendo conto che quella che ho mandato è pessima) che il primo lato del triangolo ha una pendenza diversa dalla pendenza del secondo tratto. Infatti imponendo che per t= ts+t0 v2 (velocità del tratto 2) sia uguale a zero si trova che a2 = -120 m/s^(2). Misteriosamente però integrando nel tempo e risolvendo il problema imponendo le varie condizioni trovo anche io che a2 = -80 m/s^(2). Questo semplice problema mi sta facendo impazzire.
Ti conviene decodificare il testo assegnando i valori numerici ed elencando dettagliatamente le uniche condizioni del problema. Altrimenti si perde del tempo inutilmente. Sempre che non sia stato assegnato graficamente.
Magari potessi farlo, purtroppo devo fare tutto a mano a dimostrare nell'esercitazione il risultato che ho ottenuto.
Visto che il grafico della velocità è sufficientemente chiaro e che la velocità massima è assegnata nel grafico della posizione mostrando la tangente inflessionale passante per due punti:
$0<=t<=25 rarr [v(t)=1/5]$
$25
$75
Integrando:
$0<=t<=25 rarr [x(t)=1/5t]$
$25
$75
Quindi, se riteniamo di poterci fidare del grafico della velocità e del valore della velocità massima, ipotesi più che plausibile, eventuali incongruenze nel grafico della posizione non potranno essere risolte.
L'equazione oraria è ancora continua e derivabile passante per $O(0,0)$, $A(25,5)$. Purtroppo, essa non passa per $B(75,25)$ e $C(125,45)$, bensì per $B(75,30)$ e $C(125,50)$. Imponendo, come nella prima soluzione, il passaggio per $B(75,25)$ e $C(125,45)$ non è più possibile soddisfare il vincolo rappresentato dal valore della velocità massima. Tra l'altro, in quella soluzione le accelerazioni hanno lo stesso modulo, mentre il grafico della velocità indica, senza ombra di dubbio, che l'accelerazione è in modulo maggiore nella fase di moto decelerato.
$0<=t<=25 rarr [v(t)=1/5]$
$25
$75
Integrando:
$0<=t<=25 rarr [x(t)=1/5t]$
$25
$75
Quindi, se riteniamo di poterci fidare del grafico della velocità e del valore della velocità massima, ipotesi più che plausibile, eventuali incongruenze nel grafico della posizione non potranno essere risolte.
"anonymous_0b37e9":
Ho supposto l'equazione oraria continua e derivabile passante per $O(0,0)$, $A(25,5)$, $B(75,25)$ e $C(125,45)$.
L'equazione oraria è ancora continua e derivabile passante per $O(0,0)$, $A(25,5)$. Purtroppo, essa non passa per $B(75,25)$ e $C(125,45)$, bensì per $B(75,30)$ e $C(125,50)$. Imponendo, come nella prima soluzione, il passaggio per $B(75,25)$ e $C(125,45)$ non è più possibile soddisfare il vincolo rappresentato dal valore della velocità massima. Tra l'altro, in quella soluzione le accelerazioni hanno lo stesso modulo, mentre il grafico della velocità indica, senza ombra di dubbio, che l'accelerazione è in modulo maggiore nella fase di moto decelerato.
Vedendo che dalla legge oraria ti torna a2= -160 m/s^2 potrei chiederti come hai proceduto per calcolarla? Se impongo che v2 uguale a zero per t = ts+t0 e v2 = v1 = V1max per t= ts/2 +t0 allora mi torna anche a me il tuo risultato essendo a2= (v2 -v1)/t2-t1. Se invece procedo da a(t) = a2 integrando trovo v2(t) e infine s2(t) usando le varie condizioni che servono a trovare le costanti di integrazione, mi torna a2=-200 m/s^2. Hai ragione tu ci sono troppe incongruenze, cioè tutti i vincoli noti dal grafico non riescono a valere tutte contemporaneamente. Scusa ancora per il disturbo.
"Noel_91":
Vedendo che dalla legge oraria ti torna a2= -160 m/s^2 potrei chiederti come hai proceduto per calcolarla? Se impongo che v2 uguale a zero per t = ts+t0 e v2 = v1 = V1max per t= ts/2 +t0 allora mi torna anche a me il tuo risultato essendo a2= (v2 -v1)/t2-t1.
Proprio così, basandomi esclusivamente sul grafico della velocità che non può essere frainteso. Tra l'altro, al valore della velocità massima, deducibile da quello della posizione, è necessario attribuire la priorità assoluta, visto l'impegno profuso nell'indicarlo. Se vogliamo un'equazione oraria continua e derivabile la soluzione è la seconda. Su questo non ci piove.
Grazie mille! Quindi questa discordanza tra quello che è il grafico e quella invece che è la legge analitica che la rappresenta può nascere dal fatto che i dati indicati siano sbagliati? Nella mia carriera universitaria nonostante abbia affrontato ormai quasi tutti gli esami sinceramente è la prima volta che mi trovo davanti ad un fatto del genere e cioè al fatto che non riesco a trovare un riscontro al livello grafico, cosa che mi induce a pensare appunto che vi sia qualche dato sbagliato nel problema. Mi scuso ancora per il disturbo.
Riassumendo, io mi sarei basato sul grafico della velocità integrato dal valore della velocità massima deducibile dal grafico della posizione, la seconda soluzione per l'appunto, tralasciando la prima che si fonda soprattutto sul grafico della posizione, di difficile interpretazione, al netto delle incongruenze evidenziate.
Io non ho ancora ben capito quali siano i dati di questo problema e quali le deduzioni di Noel_91. Tuttavia, la logica mi porta ad assumere che i dati siano quelli riferiti al grafico della legge oraria con i relativi valori numerici per $H$, $p_0$, $t_0$ e $t_s$, mentre il grafico della velocità sia una deduzione fatta da Noel_91 in base a quei dati. Basandosi dunque sui dati, si trova che per il primo tratto la legge oraria è \(\displaystyle x(t)=\frac{p_0}{t_0}t=0.2t \) e qui siamo d'accordo. Per la prima parabola, le condizioni da imporre sono:
1. passaggio per $(t_0;p_0)$
2. derivabilità in $(t_0;p_0)$, cioè la velocità data dalla parabola deve essere la stessa di quella data dalla retta del primo tratto
3. derivata in $F$ uguale al coefficiente angolare della tangente
Assumendo per la parabola la generica forma $x(t)=at^2+bt+c$, imponendo le tre condizioni si trova
\(\displaystyle a=(\frac{2H}{t_s}-\frac{p_0}{t_0})\frac{1}{t_s}=60 \)
\(\displaystyle b=\frac{p_0}{t_0}-\frac{4Ht_0}{t_s^2}+\frac{2p_0}{t_s}=-0.1 \)
\(\displaystyle c=0.000375 \)
(per $c$ non ho ricavato l'espressione analitica...troppi calcoli.) Dunque la prima parabola è:
\(\displaystyle x(t)=60t^2-0.1t+0.000375 \)
NB: @anonymous_0b37e9: sei sicuro della correttezza dell'espressione trovata da te? ho verificato e mi pare che la tua parabola non passi per il punto $(t_0;p_0)$
Ora, questa legge oraria verifica tutte e tre le condizioni poste ma, in accordo a quanto trovato da sergeant Elias, non soddisfa la condizione sul passaggio per il punto $F$. Quindi i dati del problema sono incoerenti. A meno che non si rinunci alla derivabilità della legge oraria...
Non ho fatto i calcoli per trovare la seconda parabola; comunque lì le condizioni da porre sarebbero:
-passaggio per $F$
-derivata in $F$ pari al coefficiente angolare della tangente
-passaggio per $(t_0+t_s;p_0+H)$
PS: il problema, oltre ad essere incoerente, mi pare pure che fornisca dati inutili; per la tangente in $F$, ad esempio, è inutile dare entrambi i punti $M$ ed $R$. Una retta è determinata da due soli punti, quindi se so che deve passare per $F$ e per $M$, allora è perfettamente inutile dire che deve passare anche per $R$ poiché o $R$ è sulla retta determinata da $F$ ed $M$ (e quindi è inutile) o $R$ non è su quella retta (e quindi il dato è sbagliato).
1. passaggio per $(t_0;p_0)$
2. derivabilità in $(t_0;p_0)$, cioè la velocità data dalla parabola deve essere la stessa di quella data dalla retta del primo tratto
3. derivata in $F$ uguale al coefficiente angolare della tangente
Assumendo per la parabola la generica forma $x(t)=at^2+bt+c$, imponendo le tre condizioni si trova
\(\displaystyle a=(\frac{2H}{t_s}-\frac{p_0}{t_0})\frac{1}{t_s}=60 \)
\(\displaystyle b=\frac{p_0}{t_0}-\frac{4Ht_0}{t_s^2}+\frac{2p_0}{t_s}=-0.1 \)
\(\displaystyle c=0.000375 \)
(per $c$ non ho ricavato l'espressione analitica...troppi calcoli.) Dunque la prima parabola è:
\(\displaystyle x(t)=60t^2-0.1t+0.000375 \)
NB: @anonymous_0b37e9: sei sicuro della correttezza dell'espressione trovata da te? ho verificato e mi pare che la tua parabola non passi per il punto $(t_0;p_0)$
Ora, questa legge oraria verifica tutte e tre le condizioni poste ma, in accordo a quanto trovato da sergeant Elias, non soddisfa la condizione sul passaggio per il punto $F$. Quindi i dati del problema sono incoerenti. A meno che non si rinunci alla derivabilità della legge oraria...
Non ho fatto i calcoli per trovare la seconda parabola; comunque lì le condizioni da porre sarebbero:
-passaggio per $F$
-derivata in $F$ pari al coefficiente angolare della tangente
-passaggio per $(t_0+t_s;p_0+H)$
PS: il problema, oltre ad essere incoerente, mi pare pure che fornisca dati inutili; per la tangente in $F$, ad esempio, è inutile dare entrambi i punti $M$ ed $R$. Una retta è determinata da due soli punti, quindi se so che deve passare per $F$ e per $M$, allora è perfettamente inutile dire che deve passare anche per $R$ poiché o $R$ è sulla retta determinata da $F$ ed $M$ (e quindi è inutile) o $R$ non è su quella retta (e quindi il dato è sbagliato).
"mathbells":
...sei sicuro della correttezza dell'espressione...
Premesso che avevo deciso di misurare il tempo in $[10^-4 s]$ e la posizione in $[10^-4 m]$, a me pare che:
$25
passi per $(25,5)$.
"anonymous_0b37e9":
[quote="mathbells"]
...sei sicuro della correttezza dell'espressione...
Premesso che avevo deciso di misurare il tempo in $[10^-4 s]$ e la posizione in $[10^-4 m]$, a me pare che:
$25
passi per $(25,5)$.[/quote]
Sì hai ragione, volevo dire che non rispetta il vincolo sul valore della derivata in $F$. Ma è normale; mi pare assodato, come hai trovato anche tu, che sia impossibile conciliare tutte le condizioni poste sul grafico della legge oraria. Se passa per $F$, la derivata in $F$ non può essere quella indicata; se si impone il valore della derivata allora non può passare in $F$: non se ne esce. A meno che non si rinunci alla derivabilità in $(t_0;p_0)$. Del resto, nella traccia non è richiesta questa condizione e spesso nei problemi si lavora con leggi orarie ideali che non hanno questa caratteristica: si pensi ad esempio alla classica automobile che si muove secondo una legge oraria assegnata costituita da una spezzata; sono tanti moti rettilinei uniformi consecutivi, ma la legge oraria risultante non è derivabile nei punti di congiunzione. Rinunciando alla derivabilità in $(t_0;p_0)$ credo si riesca a trovare le due parabole cercate poiché si hanno tre condizioni e tre parametri per ciascuna parabola (non ho fatto i conti).
Concordo.
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