Esercizio momento di inerzia
Salve a tutti e scusate se sto postando tante domande e tanti esercizi ma ho qualche dubbio
vorrei sapere se ho fatto giusto questo esercizio oppure sbaglio qualcosa
allora io ho calcolato la densita \(\displaystyle \rho=m/L^2-l^2\)
ho calcolato poi le masse dei due quadrati (quadrato 1 quello di lato EF e quadrato 2 quello di lato AB)
\(\displaystyle m1=ml^2/(L^2-l^2)\) e \(\displaystyle m2=mL^2/(L^2-l^2) \)
Momenti d'inerzia:
I12=I21=0
I31=I13=0
I23=I32=0
I11=I22
I33=I11+I22=2*I11
\(\displaystyle I11=m(L^4-l^4)/12 \)
spero di aver fatto bene e di non aver dimenticato nulla
vorrei sapere se ho fatto giusto questo esercizio oppure sbaglio qualcosa
allora io ho calcolato la densita \(\displaystyle \rho=m/L^2-l^2\)
ho calcolato poi le masse dei due quadrati (quadrato 1 quello di lato EF e quadrato 2 quello di lato AB)
\(\displaystyle m1=ml^2/(L^2-l^2)\) e \(\displaystyle m2=mL^2/(L^2-l^2) \)
Momenti d'inerzia:
I12=I21=0
I31=I13=0
I23=I32=0
I11=I22
I33=I11+I22=2*I11
\(\displaystyle I11=m(L^4-l^4)/12 \)
spero di aver fatto bene e di non aver dimenticato nulla
Risposte
Prima di tutto, non devi postare lo stesso esercizio sia in ingegneria che in fisica. Il crossposting è vietato.
Poi, supponendo che la massa $m$ sia quella della piastra già forata, la densità superficiale vale :
$rho = m/ (L^2-l^2) [ (kg)/m^2 ] $
Conviene calcolare prima i momenti di inerzia di area rispetto ai tre assi centrali di inerzia: la matrice qui è diagonale, e si ha :
$I_x = I_y = (L^4 - l^4)/12$
$I_z = I_x+I_y = (L^4 - l^4)/6$
e poi moltiplichi per la densità prima detta i tre valori trovati, non per $m$ .
Poi, supponendo che la massa $m$ sia quella della piastra già forata, la densità superficiale vale :
$rho = m/ (L^2-l^2) [ (kg)/m^2 ] $
Conviene calcolare prima i momenti di inerzia di area rispetto ai tre assi centrali di inerzia: la matrice qui è diagonale, e si ha :
$I_x = I_y = (L^4 - l^4)/12$
$I_z = I_x+I_y = (L^4 - l^4)/6$
e poi moltiplichi per la densità prima detta i tre valori trovati, non per $m$ .
Ok grazie chiedo scusa per il doppio post
Perché é sbagliato come ho fatto io?Perché moltiplichi per la densitá?
Perché é sbagliato come ho fatto io?Perché moltiplichi per la densitá?
Perché $dm = rho*ds$ , e in generale $dI = dm*l^2$ ; ds è una superficie elementare, di dimensioni uguali al quadrato di una lunghezza; “l” è una lunghezza. Devi rispettare l’omogeneità dimensionale, alla fine il momento di inerzia dev’essere espresso in “massa x lunghezza al quadrato “ , non $l^4$ : controlla.
Si hai perfettamente ragione
Grazie per l'aiuto
Su questo forum trovo sempre persone che mi aiutano a capire gli errori in modo chiaro
Grazie per l'aiuto
Su questo forum trovo sempre persone che mi aiutano a capire gli errori in modo chiaro
Ho una domanda
Se il sistema di assi rispetto al quale voglio calcolare i momenti fosse passante per lo spigolo inferiore sinistro?
I11=\(\displaystyle \rho/3*(L^4-l^4) \)
I22=I11
I33=2*I11
I12=I21=\(\displaystyle -\rho(L^4+l^4)/4=-m(L^4+l^4)/4*(L^2-l^2)\)
spero di aver fatto giusto stavolta
Se il sistema di assi rispetto al quale voglio calcolare i momenti fosse passante per lo spigolo inferiore sinistro?
I11=\(\displaystyle \rho/3*(L^4-l^4) \)
I22=I11
I33=2*I11
I12=I21=\(\displaystyle -\rho(L^4+l^4)/4=-m(L^4+l^4)/4*(L^2-l^2)\)
spero di aver fatto giusto stavolta
"Shackle":
Perché $dm = rho*ds$ , e in generale $dI = dm*l^2$ ; ds è una superficie elementare, di dimensioni uguali al quadrato di una lunghezza; “l” è una lunghezza. Devi rispettare l’omogeneità dimensionale, alla fine il momento di inerzia dev’essere espresso in “massa x lunghezza al quadrato “ , non $l^4$ : controlla.
fatto bene stavolta?
Lo spigolo è un lato; il punto di incontro di 2 lati si chiama vertice; forse vuoi dire che metti l’origine delle coordinate nel vertice inferiore sinistro? E gli assi come sono orientati? Sono traslati parallelamente a quelli di prima o anche ruotati? Svolgi l’esercizio che proponi, usando le formule per la traslazione e per la rotazione degli assi. C’è solo un orientamento degli assi, che fa essere la terna ancora principale di inerzia, con origine nel vertice detto.
Hai conoscenze approfondite della geometria delle masse?
Hai conoscenze approfondite della geometria delle masse?
intendevo il vertice inferiore sinistro e gli assi sono orientati come in precedenza e paralleli a quelli precedenti senza rotazione
Perciò ora gli assi rispetto a cui vuoi calcolare i momenti di inerzia sono AB e AD (v.figura), e sono uguali. Lascia perdere per ora la densità, ti ho spiegato come devi fare alla fine, cioè dopo calcolati i m.i. di figura.
Calcola il m.i. di figura rispetto ad AB , ma devi stare attento al buco !
Lo puoi fare in due modi.
Nel primo modo: l’area della figura vale : $ A = L^2-l^2$ , e il m.i. rispetto all’asse baricentrico parallelo ad AB vale :
$I_x = (L^4 - l^4) /12 $
Perciò hai : $ I _(AB) = I_x + A (L/2)^2$
Nel secondo modo : calcola direttamente i m.i. del quadrato di lato $L$ e del buco di lato $l$ rispetto ad AB . Il m.i. della figura rispetto ad AB è la differenza tra i due, visto che il buco...è un buco!
Scommetto che in entrambi i modi hai lo stesso risultato, che scrivo per non farti cadere nel buco:
$ L^4/3 - l^4/12 - (l^2L^2)/4 $
Calcola il m.i. di figura rispetto ad AB , ma devi stare attento al buco !
Lo puoi fare in due modi.
Nel primo modo: l’area della figura vale : $ A = L^2-l^2$ , e il m.i. rispetto all’asse baricentrico parallelo ad AB vale :
$I_x = (L^4 - l^4) /12 $
Perciò hai : $ I _(AB) = I_x + A (L/2)^2$
Nel secondo modo : calcola direttamente i m.i. del quadrato di lato $L$ e del buco di lato $l$ rispetto ad AB . Il m.i. della figura rispetto ad AB è la differenza tra i due, visto che il buco...è un buco!
Scommetto che in entrambi i modi hai lo stesso risultato, che scrivo per non farti cadere nel buco:
$ L^4/3 - l^4/12 - (l^2L^2)/4 $
innanzitutto grazie per il grande aiuto che mi stai dando e per la tua disponibilita e le spiegazioni
nel primo modo da te suggerito hai usato il teorema del trasporto per passare da momento di inerzia baricentrico a quello richiesto se ho capito bene
nel secondo modo credo che il primo termine sia il momento di inerzia riferito al quadrato di lato AB e gli altri due termini siano il momento rispetto al quadrato di lato EF (il cosiddetto buco) giusto?
a questi risultati poi devo aggiungere la densita vero?
Se scompongo la figura in due quadrati,calcolo separatamente il momento di inerzia dei due quadrati rispetto al baricentro e poi ne faccio la somma trovando cosi il momento di inerzia baricentrico della figura va bene lo stesso?
trovato il momento di inerzia baricentrico della figura totale applico il teorema del trasporto facendo come hai fatto tu nel primo metodo
nel secondo metodo da te proposto non mi è chiaro come hai calcolato il momento di inerzia del buco
nel primo modo da te suggerito hai usato il teorema del trasporto per passare da momento di inerzia baricentrico a quello richiesto se ho capito bene
nel secondo modo credo che il primo termine sia il momento di inerzia riferito al quadrato di lato AB e gli altri due termini siano il momento rispetto al quadrato di lato EF (il cosiddetto buco) giusto?
a questi risultati poi devo aggiungere la densita vero?
Se scompongo la figura in due quadrati,calcolo separatamente il momento di inerzia dei due quadrati rispetto al baricentro e poi ne faccio la somma trovando cosi il momento di inerzia baricentrico della figura va bene lo stesso?
trovato il momento di inerzia baricentrico della figura totale applico il teorema del trasporto facendo come hai fatto tu nel primo metodo
nel secondo metodo da te proposto non mi è chiaro come hai calcolato il momento di inerzia del buco
"dok78":
nel primo modo da te suggerito hai usato il teorema del trasporto per passare da momento di inerzia baricentrico a quello richiesto se ho capito bene
Si, hai capito bene, rileggi, non farmi riscrivere di nuovo quello che ho già scritto. Segui questa strada se la seconda ti sembra più difficile.
nel secondo modo credo che il primo termine sia il momento di inerzia riferito al quadrato di lato AB e gli altri due termini siano il momento rispetto al quadrato di lato EF (il cosiddetto buco) giusto?
Nel secondo modo, il m.i. del quadrato grande rispetto ad AB è uguale a $L^4/3$ . Il quadrato di lato $l$ ha momento di inerzia, rispetto ad AB , dato da :
$ l^4/12 + l^2*(L/2)^2 $
Chiaro perchè ? Siccome i momenti di inerzia, riferiti ad uno stesso asse ovviamente, sono algebricamente additivi, e siccome il quadrato piccolo è un buco, devi sottrarre il secondo dal primo, e hai per la figura data :
$I_(AB) = L^4/3 - ( l^4/12 + l^2*(L/2)^2) $ .
Se scompongo la figura in due quadrati,calcolo separatamente il momento di inerzia dei due quadrati rispetto al baricentro e poi ne faccio la somma trovando cosi il momento di inerzia baricentrico della figura va bene lo stesso?
trovato il momento di inerzia baricentrico della figura totale applico il teorema del trasporto facendo come hai fatto tu nel primo metodo
Non ho capito che vuoi dire.
nel secondo metodo da te proposto non mi è chiaro come hai calcolato il momento di inerzia del buco
Te l’ho spiegato sopra.
Alla fine, per avere il m.i. di massa devi moltiplicare per la densità, che è sempre la stessa di prima.
Grazie infinite
tutto chiaro
anche il secondo metodo adesso mi è chiaro
ultima cosa è come calcolare il momento centrifugo della figura
ora sapendo che il momento centrifugo rispetto al baricentro è nullo posso utilizzare il teorema del trasporto per calcolare il momento centrifugo I12 rispetto all'asse AB giusto?
tutto chiaro
anche il secondo metodo adesso mi è chiaro
ultima cosa è come calcolare il momento centrifugo della figura
ora sapendo che il momento centrifugo rispetto al baricentro è nullo posso utilizzare il teorema del trasporto per calcolare il momento centrifugo I12 rispetto all'asse AB giusto?
Il momento centrifugo rispetto alla coppia di assi AB e AD è uguale al prodotto dell’area A per le distanze di G dai due assi, perchè il momento centrifugo rispetto alla coppia di assi centrali paralleli è nullo. Guarda il paragrafo relativo ai sistemi continui e ai teoremi di trasposizione di questa dispensa , pag 45.
Anzi, guardala tutta, questa dispensa, che ti fa solo bene.
Anzi, guardala tutta, questa dispensa, che ti fa solo bene.
ok perfetto
esattamente quello che pensavo io
anche se mi sono espresso male
grazie ancora per l'aiuto e per la dispensa
esattamente quello che pensavo io
anche se mi sono espresso male
grazie ancora per l'aiuto e per la dispensa
curiosita
se volessi calcolare il baricentro della figura?naturalmente nel caso in cui il vertice inferiore sinistro si trovasse in A
se volessi calcolare il baricentro della figura?naturalmente nel caso in cui il vertice inferiore sinistro si trovasse in A
Una figura a simmetria centrale ha il baricentro nel centro
Dopo aver parlato in tanti post di terna centrale di inerzia e compagnia bella, fai una domanda così? La posizione del baricentro può mai dipendere dal sistema di riferimento?
"Shackle":
Dopo aver parlato in tanti post di terna centrale di inerzia e compagnia bella, fai una domanda così? La posizione del baricentro può mai dipendere dal sistema di riferimento?
anche tu hai ragione
perdonami
ancora purtroppo tentenno sull'argomento
oggi mi metterò a guardare la dispensa che mi hai dato
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