Esercizio momento angolare
Ciao, qualcuno potrebbe dare un'occhiata a come ho risolto questo problema e dirmi se ho ragionato bene?
"Un asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $L$ è posta su un piano orizzontale privo di attrito. Due proiettili di massa $m$ colpiscono l'asta come mostrato in figura con velocità in modulo pari a $v$. Dopo l'urto i due proiettili rimangono attaccati alle estremità dell'asta e questa inizia il suo moto rototraslatorio. Determinare la velocità del centro di massa del sistema costituito dall'asta e dai due proiettili e la velocità angolare di questo dopo l'urto."
Siano $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ i versori degli assi cartesiani di un opportuno sistema di riferimanto [nota]Il sistema di riferimento ha origine nel baricentro dell'asta, asse delle ascisse orizzontale e asse delle ordinate verticale[/nota].
L'urto in questione è totalmente anaelastico. Inoltre dalla mancanza di vincoli si può dedurre che si conserva la quantità di moto. Infine, poichè i momenti delle forze esterne sono nulli, si conserva anche il momento angolare.
Conservazione della quantità di moto:
cioè il sistema si muoverà in direzione sud-est con velocità in modulo pari a $\frac{mv}{2m+M}\sqrt{2}$.
Conservazione del momento angolare:
(Ho considerato solo il modulo dei momenti angolare. Nella (1) l'unico momento angolare non nullo prima dell'urto è quello relativo al proiettile che si muove orizzontalmente).
Ringrazio chiunque sappia dirmi se il ragionamento che ho fatto è corretto.
"Un asta rigida omogenea di massa $M$ e lunghezza $L$ è posta su un piano orizzontale privo di attrito. Due proiettili di massa $m$ colpiscono l'asta come mostrato in figura con velocità in modulo pari a $v$. Dopo l'urto i due proiettili rimangono attaccati alle estremità dell'asta e questa inizia il suo moto rototraslatorio. Determinare la velocità del centro di massa del sistema costituito dall'asta e dai due proiettili e la velocità angolare di questo dopo l'urto."
Siano $\vec{u}_x$ e $\vec{u}_y$ i versori degli assi cartesiani di un opportuno sistema di riferimanto [nota]Il sistema di riferimento ha origine nel baricentro dell'asta, asse delle ascisse orizzontale e asse delle ordinate verticale[/nota].
L'urto in questione è totalmente anaelastico. Inoltre dalla mancanza di vincoli si può dedurre che si conserva la quantità di moto. Infine, poichè i momenti delle forze esterne sono nulli, si conserva anche il momento angolare.
Conservazione della quantità di moto:
$\vec{Q}_i=mv\vec{u}_x-mv\vec{u}_y$
$\vec{Q}_{f} =(2m+M)\vec{V}_{CM}$
quindi
$\vec{V}_{CM}=\frac{mv}{2m+M}\vec{u}_x-\frac{mv}{2m+M}\vec{u}_y$
quindi
$\vec{V}_{CM}=\frac{mv}{2m+M}\vec{u}_x-\frac{mv}{2m+M}\vec{u}_y$
cioè il sistema si muoverà in direzione sud-est con velocità in modulo pari a $\frac{mv}{2m+M}\sqrt{2}$.
Conservazione del momento angolare:
$L_i=mv\frac{L}{2}$ (1)
$L_{f}=(\frac{LM}{12}+m\frac{L}{2}+m\frac{L}{2})\omega$
quindi
$\omega=\frac{mvL/2}{LM/12+mL}$
$L_{f}=(\frac{LM}{12}+m\frac{L}{2}+m\frac{L}{2})\omega$
quindi
$\omega=\frac{mvL/2}{LM/12+mL}$
(Ho considerato solo il modulo dei momenti angolare. Nella (1) l'unico momento angolare non nullo prima dell'urto è quello relativo al proiettile che si muove orizzontalmente).
Ringrazio chiunque sappia dirmi se il ragionamento che ho fatto è corretto.
Risposte
Nel calcolare $L_f$ , hai scritto i momenti di inerzia senza elevare al quadrato le distanze (dal CM ovviamente).
Grazie per la risposta. Si ho dimenticato il quadrato quindi
per il resto va bene?
$L_i=mv\frac{L^2}{4}$
$L_{f}=(\frac{LM}{12}+m\frac{L^2}{4}+m\frac{L^2}{4})\omega$
$\omega=\frac{mvL^2/4}{LM/12+mL^2/2}$
$L_{f}=(\frac{LM}{12}+m\frac{L^2}{4}+m\frac{L^2}{4})\omega$
$\omega=\frac{mvL^2/4}{LM/12+mL^2/2}$
per il resto va bene?
Anche per la massa M devi elevare L al quadrato . Va bene.
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