Esercizio Momento angolare

[Dieselprogres]

Ciao a tutti ho bisogno di aiuto per quanto riguarda un esercizio, dice:
Un disco di raggio R e massa M è inizialmente sospeso sopra un piano orizzontale e ruota con velocità angolare $ omega $ attorno a un asse orizzontale passante per il suo centro. A un dato istante il disco viene lasciato cadere sul piano, con il quale esiste un certo coefficiente d'attrito dinamico $ mu d $ . Supponendo che dopo il contatto con il piano il disco non rimbalzi e rimanga verticale, determinare nel momento in cui il moto diventa il moto di puro rotolamento la sua velocità angolare $ omega ^{\prime} $.

Ora il libro ha anlizzato così l'esercizio: $ Ic $= momento d'inerzia del disco rispetto al suo centro di massa; $ Io $= momento d'inerzia del disco rispetto al punto di contatto una volta che tocca terra,
ora sappiamo che rispetto ad $ o $ la $ sum M^e = 0 $ quindi c'è conservazione della quantità del momento angolare di conseguenza si ha $ Ic * omega = Io * omega ^{\prime} $.

Ora io non riesco a capire un paio di cose, una è perchè è possibile paragonare due momenti calcolati con punti di riferimento diversi, poi secondo tale ragionamento per tutto il tragitto che compie il disco abbiamo la sommatoria dei momenti delle forze esterne nulla (rispetto ad o naturalmente), ciò significa che il disco non si ferma mai, ma com'è possibile? c'è l'attrito!!, allora ho pensato che la conservazione c'è solo nell'istante in cui tocca terra.

sò che l'ho fatta lunga ma ho bisogno di aiuto, a me non importa nulla dell'esercizio ma importa di capire la teoria, più la studio e più non ci capisco nulla, Ho bisogno di capire cosa succede in quest esercizio
Grazie in anticipo

[mathbells]

"Dieselprogres":Ho bisogno di capire cosa succede in quest esercizio

Conviene partire da questa ultima domanda, perché la risposta ci aiuta a rispondere anche alla prima.

Prima abbiamo un disco che ruota sospeso nel vuoto a velocità angolare \(\displaystyle \omega \). Quando tocca terra, esso inizia a scivolare. Tale scivolamento ha due effetti: da una parte dissipa energia cinetica e quindi fa diminuire la \(\displaystyle \omega \), dall'altra l' attrito dinamico fa traslare il disco con moto uniformemente accelerato. Ad un certo punto, la velocità angolare e la velocità di traslazione raggiungeranno valori che soddisfano la condizione di puro rotolamento e da quel momento in poi il disco rotolerà senza strisciare per sempre. Tieni presente che durante il puro rotolamento, non agisce più l'attrito dinamico perché non c'è più strisciamento, quindi non ti meravigliare se il disco non si ferma mai: succede proprio così, perché non c'è nessuna forza che dissipi energia. Ricapitolando, consideriamo la seguente timeline per il disco:

Per \(\displaystyle t<0 \), il disco ruota sospeso con velocità angolare \(\displaystyle \omega \) intorno al proprio asse
Per \(\displaystyle 0 Per \(\displaystyle t=t_{r} \), la velocità angolare \(\displaystyle \omega \) raggiunge il valore \(\displaystyle \omega ' \) e \(\displaystyle v_{t} \) il valore \(\displaystyle v_{t}' \) che soddisfano la condizione \(\displaystyle v_{t}'=\omega' R \) ed inizia il puro rotolamento
Per \(\displaystyle t>t_{r} \) il disco rotola senza strisciare con velocita angolare \(\displaystyle \omega' \).

Ricorda che il puro rotolamento lo puoi vedere come un moto rotatorio del disco intorno ad un asse passante per il suo punto di contatto con il suolo. Tale asse è sempre diverso ed è ad ogni istante fermo, infatti si parla di asse istantaneo di rotazione. La velocità angolare di tale moto rotatorio è uguale a quella \(\displaystyle \omega' \) di rotazione intorno all'asse passante passante per il centro del disco.

Ora passiamo alla prima domanda. Siamo d'accordo che rispetto al punto O, il momento risultante delle forze esterne è sempre nullo, sia prima che dopo che il disco tocchi terra. Quindi, il momento angolare rispetto ad O si conserva. In particolare, quindi, possiamo scrivere:

\(\displaystyle \vec L_{O,t<0}=\vec L_{O,t>t_{r}} \)---------(1)

Ora, per scrivere il momento angolare per \(\displaystyle t<0 \), conviene osservare che in generale il momento angolare rispetto ad un polo O si può scrivere come somma tra il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa C più il momento angolare del centro di massa rispetto ad O:

\(\displaystyle \vec L_{O}=\vec L_{C}+\vec r_{C}\times M\vec v_{C} \) ---------- (2)

Ora, per \(\displaystyle t<0 \), il centro di massa è fermo rispetto al suolo, e quindi per \(\displaystyle \vec v_{C}=0 \) si ha \(\displaystyle \vec L_{O}=\vec L_{C} \) e quindi, scrivendo i moduli, si ha

\(\displaystyle L_{O,t<0}= L_{C,t<0}=I_{C}\omega \)

Per \(\displaystyle t>t_{r} \), invece che usare la decomposizione (2), conviene considerare il moto rotatorio intorno ad O e quindi scrivere

\(\displaystyle L_{O,t>t_{r}}=I_{O}\omega' \)

e quindi la (1) diventa

\(\displaystyle I_{C}\omega=I_{O}\omega' \)

che è l'equazione del tuo libro. Spero di non averla fatta troppo lunga io ora...

[Dieselprogres]

Non ho parole sei stato formidabile, piu che esaustivo ti ringrazio davvero di cuore per l'aiuto,
Ti auguro una gran bella giornata