Esercizio mazzoldi centro di massa e oscillazioni
Ciao a tutti sto provando a fare questo esercizio ma non riesco a ricavarne niente, ho qualche idea su come farlo ma non riesco ad applicarle per bene.
Un semidisco di massa $m$ e raggio $R = 20 cm$ è appoggiato su un piano orizzontale, se viene spostato di poco dalla posizione di equilibrio stabile compie piccole oscillazioni armoniche. Calcolare:
1) la posizione del centro di massa.
2) l'espressione del momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa e ortogonale al disco.
3) il periodo delle oscillazioni
Io per ora sono ancora fermo alla 1 allora so che il centro di massa si trova con $ (int_(S)^() r*dm)/m $ però non capisco bene come applicarla, idem per quella del momento di inerzia.
Se riuscite a darmi una mano ve ne sarei grato!
Un semidisco di massa $m$ e raggio $R = 20 cm$ è appoggiato su un piano orizzontale, se viene spostato di poco dalla posizione di equilibrio stabile compie piccole oscillazioni armoniche. Calcolare:
1) la posizione del centro di massa.
2) l'espressione del momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa e ortogonale al disco.
3) il periodo delle oscillazioni
Io per ora sono ancora fermo alla 1 allora so che il centro di massa si trova con $ (int_(S)^() r*dm)/m $ però non capisco bene come applicarla, idem per quella del momento di inerzia.
Se riuscite a darmi una mano ve ne sarei grato!
Risposte
L'applicazione delle due formule del cdm e del momento di inerzia richiede solo un po di malizia.
Per esempio, se consideri la massa "contenuta" in una "fettuccia" larga $dr$ e lunga $\pi r$, ti aiuta ad applicare la formula?
Per esempio, se consideri la massa "contenuta" in una "fettuccia" larga $dr$ e lunga $\pi r$, ti aiuta ad applicare la formula?
Per il calcolo del cdm, basta fare un paio di considerazioni:
Prendiamo come riferimento il sistema con origine O nel punto medio della base del semidisco.
L'asse x e orientato lungo la base stessa. L'asse y ortogonale ad esso, e' orientato lungo il "semidiametro" (per intenderci, il semidisco occpua simmetricamente il primo e il terzo quadrante e tutti i suoi punti hanno y>0).
Per la simmetria, la $x_c=0$.
Per calcolare la $y_c$ basta considerare che una una striscia orizzontale sottile a distanza y dall'origine e larga dy ha una lunghezza pari a $2Rcos\theta$ dove $\theta$ e' l'angolo formato dal raggio vettore con l'asse x, quando il raggio vettore incrocia l'estremita' della striscia in questione.
Quindi $dm=\rho 2Rcos\thetacdotdy$, con $\rho=M/A=\frac{2M}{\pi R^2}$
Per definizione: [size=150]\( y_c=\frac{\int_ {m} ydm}{M} \)[/size] e quindi, sostituendo:
[size=150] \( y_c=\frac{\int \rho y2Rcos\theta dy}{M}=\frac{2\rho R}{M}\int ycos\theta dy \)[/size]
Ora occorre trovare la relazione tra y e $\theta$. Si ha banalmente: \( y=Rsin\theta \)
da cui: \( dy=Rcos\theta d\theta \)
Sostituendo di nuovo:
[size=150] \( y_c=\frac{2\rho R}{M}\int Rsin\theta cos^2\theta Rd\theta=\frac{2\rho R^3}{M}\int sin\theta cos^2\theta d\theta \).[/size]
L'integrale vale semplicemente: \( -\frac{1}{3}cos^3\theta \)
Integrando fra $\theta=0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$, l'integrale vale dunque $1/3$.
Quindi si arriva a:
[size=150]\( y_c=\frac{2\rho R^3}{M}\int sin\theta cos^2\theta d\theta=\frac{2\cdot\frac{2M}{\pi R^2}\cdot R^3}{M}\cdot\frac{1}3=\frac{4R}{3\pi} \)[/size]
Prendiamo come riferimento il sistema con origine O nel punto medio della base del semidisco.
L'asse x e orientato lungo la base stessa. L'asse y ortogonale ad esso, e' orientato lungo il "semidiametro" (per intenderci, il semidisco occpua simmetricamente il primo e il terzo quadrante e tutti i suoi punti hanno y>0).
Per la simmetria, la $x_c=0$.
Per calcolare la $y_c$ basta considerare che una una striscia orizzontale sottile a distanza y dall'origine e larga dy ha una lunghezza pari a $2Rcos\theta$ dove $\theta$ e' l'angolo formato dal raggio vettore con l'asse x, quando il raggio vettore incrocia l'estremita' della striscia in questione.
Quindi $dm=\rho 2Rcos\thetacdotdy$, con $\rho=M/A=\frac{2M}{\pi R^2}$
Per definizione: [size=150]\( y_c=\frac{\int_ {m} ydm}{M} \)[/size] e quindi, sostituendo:
[size=150] \( y_c=\frac{\int \rho y2Rcos\theta dy}{M}=\frac{2\rho R}{M}\int ycos\theta dy \)[/size]
Ora occorre trovare la relazione tra y e $\theta$. Si ha banalmente: \( y=Rsin\theta \)
da cui: \( dy=Rcos\theta d\theta \)
Sostituendo di nuovo:
[size=150] \( y_c=\frac{2\rho R}{M}\int Rsin\theta cos^2\theta Rd\theta=\frac{2\rho R^3}{M}\int sin\theta cos^2\theta d\theta \).[/size]
L'integrale vale semplicemente: \( -\frac{1}{3}cos^3\theta \)
Integrando fra $\theta=0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$, l'integrale vale dunque $1/3$.
Quindi si arriva a:
[size=150]\( y_c=\frac{2\rho R^3}{M}\int sin\theta cos^2\theta d\theta=\frac{2\cdot\frac{2M}{\pi R^2}\cdot R^3}{M}\cdot\frac{1}3=\frac{4R}{3\pi} \)[/size]
Oppure col teorema di Guldino.
Giusto.
Se lo conosce. Ma e' preferibile che impari ad usare la definizione in generale. A parte tutto, e' un'ottima palestra di integrali
Se lo conosce. Ma e' preferibile che impari ad usare la definizione in generale. A parte tutto, e' un'ottima palestra di integrali
Grazie ad entrambi per le risposte, ho capito la soluzione ma continuo a non avere la malizia per risolvere questo genere di problemi, adesso stavo provando a calcolare il momento di inerzia, e penso dovrei sostituire $dm$ in $ int_()^() R^2 dx $ però non riesco a capire cosa devo scegliere per effettuale la sostituzione.
Guarda come si trova il momento di inerzia per un cilindro o un disco.
Prende un'area $2\pirdr$ (che e' tutta a distanza r dall'asse per simmetria).
Vedrai che integrando, il momento di inerzia e' $MR^2/2$.
Allora, se il cilindro fosse intero (non a meta') il momento di inerzia rispetto all'asse, varrebbe $2MR^2/2=MR^2$. Ma siccome hai solo mezzo cilindro, il momento vale $MR^2/2$ (rispetto all'asse passante per l'origine del sistema che ho indicato prima)
Prende un'area $2\pirdr$ (che e' tutta a distanza r dall'asse per simmetria).
Vedrai che integrando, il momento di inerzia e' $MR^2/2$.
Allora, se il cilindro fosse intero (non a meta') il momento di inerzia rispetto all'asse, varrebbe $2MR^2/2=MR^2$. Ma siccome hai solo mezzo cilindro, il momento vale $MR^2/2$ (rispetto all'asse passante per l'origine del sistema che ho indicato prima)
Ok! Penso finalmente di aver capito, adesso per sicurezza ricontrollo!
Risolto! Grazie mille, credo di aver capito una volta per tutte come risolvere questo tipo di esercizi!!!!
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