Esercizio - Magnetismo
Salve ragazzi! Mi servirebbe qualche dritta su un esercizio di fisica 2... Ho cercato di svolgere tutto il testo ma alcuni passaggi restano bui..... 
Ecco il testo:
Un conduttore cillindrico cavo, d'altezza infinita raggio interno R1 e raggio esterno R2, è percorso da una corrente i, distribuita uniformemente lungo la sezione del cilindro.
1) Determinare I'intensità del campo magnetico H all'interno della cavità, nella regione di spazio occupata dal conduttore e all'esterno di esso.
2) All'esterno del conduttore è posta una spira quadrata di lato l, giacente in un piano meridiano del conduttore, Ia spira ha due lati paralleli all'asse del conduttore e quello più vicino al conduttore, si trova ad una distanza d=2l>R2 dall'asse del conduttore. Determinare il flusso dell'induzione magnetica B attraverso la spira.
3) Se la corrente che attraversa il conduttore cilindrico cavo varia con legge $ i(t)=sin(omega t) $ e la spira ha resistenza r, determinare Ia corrente che attraversa la spira.
1)
Per il primo punto ho utilizzato la legge di Ampére, trovando prima di tutto che il campo H è nullo all'interno.
$ R1< R
$ i = oint_(S)J*ds = Joint_(S)ds = J * (R2^2- R1^2) rArr J = i/(R2^2-R1^2) $
$ B*(2pi R) = mu 0 * Iconc = mu 0*J*oint_(S)ds=(mu 0*i)/((R2^2-R1^2))*(R^2-R1^2) $
$ H=B/(mu0)=i/(2pi R)*((R^2-R1^2))/((R2^2-R1^2)) $
$ R >R2 $
$ 2pi R*B=mu 0*i rArr H=B/(mu0)=i/(2piR) $
2)
Chiaramente ad un certo punto la spira ruoterà a causa di una coppia di forze con momento non nullo...
Per come ho visualizzato la faccenda, mi sembra che inizialmente il campo, essendo "tangente alle linee che circondano il cilindro", tagli completamente la spira... e sia perpendicolare al piano a cui la spira appartiene. Inoltre, se la spira ruota attorno all'asse passante per il centro, l'asse si troverà a distanza 2l+l/2=(5/2)l dall'asse...
Se chiamo $ alpha(t) $ l'angolo che la spira forma rispetto alla posizione iniziale al tempo t (osservo anche che $alpha(t)$ è uguale all'angolo che la normale forma con il campo), trovo che l'area "intercettata" dal campo è $ A(t)=l^2cos(alpha(t)) $.
A questo punto, essendo il flusso $ Phi (B)=B*A(t)*cos (alpha(t)) $, trovo:
$ Phi (B)= (mu0*i)/(2pi(5/2l))l^2cos^2(alpha(t)) = (mu0*i)/(5pi)lcos^2(alpha(t)) $
Dove ho utilizzato il valore di B calcolato sull'asse della spira....... è corretto??
Supponendo che la formula sia giusta, è corretto lasciare indicato l'angolo come $ alpha(t) $? Ovviamente posso esprimerlo come $alpha(t)=omega*t$ ma per trovare $omega$ come minimo dovrei risolvere una equazione differenziale.. almeno basandomi sugli esercizi fatti in precedenza...
3)
Nella situazione iniziale, utilizzando la legge di Faraday-Lenz trovo che la corrente vale:
$ I(t)=(2/5)(mu0*i*omega*l)/(r*pi)*cos(alpha(t))*sin(alpha(t)) $
Ma adesso se la corrente varia secondo $i(t)=sin(omega*t)$ devo rivedere tutte le considerazioni fatte all'inizio???
Sono andato molto a naso... quindi ogni consiglio/correzione mi sarebbe utile..
Grazie mille!
Ecco il testo:
Un conduttore cillindrico cavo, d'altezza infinita raggio interno R1 e raggio esterno R2, è percorso da una corrente i, distribuita uniformemente lungo la sezione del cilindro.
1) Determinare I'intensità del campo magnetico H all'interno della cavità, nella regione di spazio occupata dal conduttore e all'esterno di esso.
2) All'esterno del conduttore è posta una spira quadrata di lato l, giacente in un piano meridiano del conduttore, Ia spira ha due lati paralleli all'asse del conduttore e quello più vicino al conduttore, si trova ad una distanza d=2l>R2 dall'asse del conduttore. Determinare il flusso dell'induzione magnetica B attraverso la spira.
3) Se la corrente che attraversa il conduttore cilindrico cavo varia con legge $ i(t)=sin(omega t) $ e la spira ha resistenza r, determinare Ia corrente che attraversa la spira.
1)
Per il primo punto ho utilizzato la legge di Ampére, trovando prima di tutto che il campo H è nullo all'interno.
$ R1< R
$ i = oint_(S)J*ds = Joint_(S)ds = J * (R2^2- R1^2) rArr J = i/(R2^2-R1^2) $
$ B*(2pi R) = mu 0 * Iconc = mu 0*J*oint_(S)ds=(mu 0*i)/((R2^2-R1^2))*(R^2-R1^2) $
$ H=B/(mu0)=i/(2pi R)*((R^2-R1^2))/((R2^2-R1^2)) $
$ R >R2 $
$ 2pi R*B=mu 0*i rArr H=B/(mu0)=i/(2piR) $
2)
Chiaramente ad un certo punto la spira ruoterà a causa di una coppia di forze con momento non nullo...
Per come ho visualizzato la faccenda, mi sembra che inizialmente il campo, essendo "tangente alle linee che circondano il cilindro", tagli completamente la spira... e sia perpendicolare al piano a cui la spira appartiene. Inoltre, se la spira ruota attorno all'asse passante per il centro, l'asse si troverà a distanza 2l+l/2=(5/2)l dall'asse...
Se chiamo $ alpha(t) $ l'angolo che la spira forma rispetto alla posizione iniziale al tempo t (osservo anche che $alpha(t)$ è uguale all'angolo che la normale forma con il campo), trovo che l'area "intercettata" dal campo è $ A(t)=l^2cos(alpha(t)) $.
A questo punto, essendo il flusso $ Phi (B)=B*A(t)*cos (alpha(t)) $, trovo:
$ Phi (B)= (mu0*i)/(2pi(5/2l))l^2cos^2(alpha(t)) = (mu0*i)/(5pi)lcos^2(alpha(t)) $
Dove ho utilizzato il valore di B calcolato sull'asse della spira....... è corretto??
Supponendo che la formula sia giusta, è corretto lasciare indicato l'angolo come $ alpha(t) $? Ovviamente posso esprimerlo come $alpha(t)=omega*t$ ma per trovare $omega$ come minimo dovrei risolvere una equazione differenziale.. almeno basandomi sugli esercizi fatti in precedenza...
3)
Nella situazione iniziale, utilizzando la legge di Faraday-Lenz trovo che la corrente vale:
$ I(t)=(2/5)(mu0*i*omega*l)/(r*pi)*cos(alpha(t))*sin(alpha(t)) $
Ma adesso se la corrente varia secondo $i(t)=sin(omega*t)$ devo rivedere tutte le considerazioni fatte all'inizio???
Sono andato molto a naso... quindi ogni consiglio/correzione mi sarebbe utile..
Grazie mille!
Risposte
Ciao! Allora il punto1) fatto bene (a parte qualche $\pi$ che è sparito dalle aree ma poi nei risultati finali si sarebbe semplificato)
Nel punto 2) ti sei incartato
Nella spira non circola corrente e quindi su di essa non agisce nessuna forza. Essa rimane quindi nella posizione descritta dal testo e la sua sezione viene attraversata perpendicolarmente dalle linee di forza di $B$. La sezione della spira si estende, rispetto all'asse del cilindro, dalla distanza $2l$ alla distanza $3l$. Quindi il flusso è
\(\displaystyle \Phi_S (B)=\int_S \vec B\cdot \vec {ds}=\int_{2l}^{3l}B(R)ldR=\frac{\mu_0il}{2\pi}\int_{2l}^{3l}\frac{dR}{R}= \frac{\mu_0il}{2\pi}\ln\frac{3}{2}\)
Per il punto 3) tieni presente che anche se ora è presente una forza sulla spira, il testo non ne tiene conto: esso assume che la posizione della spira sia fissa. Qui hai che (a parte qualche segno meno che non interessa )
\(\displaystyle I_{spira}=\frac{f.e.m.}{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi_S (B)}{\partial t}= \frac{\omega\mu_0l}{2\pi r}\ln\frac{3}{2}\cos {\omega t} \)
Nel punto 2) ti sei incartato
Nella spira non circola corrente e quindi su di essa non agisce nessuna forza. Essa rimane quindi nella posizione descritta dal testo e la sua sezione viene attraversata perpendicolarmente dalle linee di forza di $B$. La sezione della spira si estende, rispetto all'asse del cilindro, dalla distanza $2l$ alla distanza $3l$. Quindi il flusso è\(\displaystyle \Phi_S (B)=\int_S \vec B\cdot \vec {ds}=\int_{2l}^{3l}B(R)ldR=\frac{\mu_0il}{2\pi}\int_{2l}^{3l}\frac{dR}{R}= \frac{\mu_0il}{2\pi}\ln\frac{3}{2}\)
Per il punto 3) tieni presente che anche se ora è presente una forza sulla spira, il testo non ne tiene conto: esso assume che la posizione della spira sia fissa. Qui hai che (a parte qualche segno meno che non interessa )
\(\displaystyle I_{spira}=\frac{f.e.m.}{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi_S (B)}{\partial t}= \frac{\omega\mu_0l}{2\pi r}\ln\frac{3}{2}\cos {\omega t} \)
Grazie mille per la risposta! 
Si, mi sono incartato alla grande .... 
Ma comunque questo è un punto di cui non ho la certezza... Ovvero, ipotizzando una corrente nella spira, il flusso che ho scritto è una formula corretta? In quel caso, è corretto utilizzare il campo B valutato sull'asse nella formula del flusso?
Dovessi scrivere le componenti delle forze che agiscono sui due lati durante la rotazione, posso farlo in modo semplice?
Per il punto 3)
Si, giustamente non essendoci corrente la posizione resta fissa...
Qui però la corrente è variabile secondo $ i(t)=sin(omegat) $, quindi anche $J$ non è costante... di conseguenza non dovrebbe cambiare anche l'espressione del campo $B$ utilizzato per il calcolo della $I$nella spira?
Mi spiego meglio.. Per il calcolo dell'ultima $I$ hai utlizzato il flusso trovato nel calcolo precedente (calcolato con una i costante), sostituendo semplicemente la nuova forma... Non ho bisogno di ricalcolare il campo B?
Si, mi sono incartato alla grande
.... Ma comunque questo è un punto di cui non ho la certezza... Ovvero, ipotizzando una corrente nella spira, il flusso che ho scritto è una formula corretta? In quel caso, è corretto utilizzare il campo B valutato sull'asse nella formula del flusso?
Dovessi scrivere le componenti delle forze che agiscono sui due lati durante la rotazione, posso farlo in modo semplice?
Per il punto 3)
Si, giustamente non essendoci corrente la posizione resta fissa...
Qui però la corrente è variabile secondo $ i(t)=sin(omegat) $, quindi anche $J$ non è costante... di conseguenza non dovrebbe cambiare anche l'espressione del campo $B$ utilizzato per il calcolo della $I$nella spira?
Mi spiego meglio.. Per il calcolo dell'ultima $I$ hai utlizzato il flusso trovato nel calcolo precedente (calcolato con una i costante), sostituendo semplicemente la nuova forma... Non ho bisogno di ricalcolare il campo B?
Oppure essendo $i(t)$ dipendente unicamente dal tempo posso comunque portare J fuori dall'integrale di linea?
Esattamente
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