Esercizio linea di trasmissione
Salve ragazzi, vi scrivo sperando che voi riusciate a farmi capire il giusto approccio ad una tipologia di esercizio sulle linee di trasmissioni. purtroppo non ho potuto seguire il corso e non ho appunti su questo argomento. sul libro consigliato dal professore, questa tematica è trattata in linea più teorica che pratica, perciò ho diversi problemi nello svolgere l'esercizio e su internet non ho trovato granchè. Perciò mi appello a voi!
l'esercizio in questione è questo:
si determini
l’andamento temporale della tensione e della corrente al centro dalla linea, sapendo
che l’interruttore T si chiude all’istante t = 0 s, e resta chiuso per il resto del tempo,
sapendo che RL = Zo/2, Zo = 50 Ω, L = 3 m, v = 2*10^8 m/s, Rg = 2 Zo, Vo = 10 V.
dove RL è la resistenza di carico; Rg è la resistenza del generatore; Vo è la tensione del generatore e Zo è l'impedenza caratteristica della linea.
Inizialmente mi posso trovare il tempo che impiega l'onda a percorrere la linea semplicemente da v=s / t e dividere per 2, visto che si tratta di studiare il comportamento al centro della linea. quindi l'onda impiega 15 ns per compiere tutta la linea, ergo 7,5 ns per compiere metà linea e fin qui, spero di non aver sbagliato nulla!
ora, appena si chiude l'interruttore, dopo 7,5 ns l'onda arriva a L/2 con una tensione pari a quella del generatore (giusto?) quindi 10 V. dopo altri 7,5 ns l'onda si "infrange" sul carico, di RL=25 Ω. qui il coefficiente di riflessione è pari a $(RL - Zo) / (RL + Zo)$ = -(?!) $1/3 $
al segno negativo mi viene da pensare che ho sbagliato qualcosa.
comunque, facendo finta che sia semplicemente $1 / 3$ e non $- 1 / 3$, ora quindi la tensione portata dall'onda riflessa è pari a $(Vo) / 3$, perciò la tensione a $L / 2$, dopo 22,5 ns, è di $Vo + (Vo) / 3$.
Intanto mi fermo qui, aspettando una vostra risposta.
Graaazieee

l'esercizio in questione è questo:
si determini
l’andamento temporale della tensione e della corrente al centro dalla linea, sapendo
che l’interruttore T si chiude all’istante t = 0 s, e resta chiuso per il resto del tempo,
sapendo che RL = Zo/2, Zo = 50 Ω, L = 3 m, v = 2*10^8 m/s, Rg = 2 Zo, Vo = 10 V.
dove RL è la resistenza di carico; Rg è la resistenza del generatore; Vo è la tensione del generatore e Zo è l'impedenza caratteristica della linea.
Inizialmente mi posso trovare il tempo che impiega l'onda a percorrere la linea semplicemente da v=s / t e dividere per 2, visto che si tratta di studiare il comportamento al centro della linea. quindi l'onda impiega 15 ns per compiere tutta la linea, ergo 7,5 ns per compiere metà linea e fin qui, spero di non aver sbagliato nulla!

ora, appena si chiude l'interruttore, dopo 7,5 ns l'onda arriva a L/2 con una tensione pari a quella del generatore (giusto?) quindi 10 V. dopo altri 7,5 ns l'onda si "infrange" sul carico, di RL=25 Ω. qui il coefficiente di riflessione è pari a $(RL - Zo) / (RL + Zo)$ = -(?!) $1/3 $
al segno negativo mi viene da pensare che ho sbagliato qualcosa.
comunque, facendo finta che sia semplicemente $1 / 3$ e non $- 1 / 3$, ora quindi la tensione portata dall'onda riflessa è pari a $(Vo) / 3$, perciò la tensione a $L / 2$, dopo 22,5 ns, è di $Vo + (Vo) / 3$.
Intanto mi fermo qui, aspettando una vostra risposta.
Graaazieee

Risposte
Qua non mi atteggerò a professore ma mi metto subito sul tuo piano, perché pur avendo studiato le linee di trasmissione la cosa risale a circa 35 anni fa
e da allora non me ne sono più occupato, per cui potrei dire delle sciocchezze.
Se accetti il rischio allora provo a dire cosa potrebbe succedere, da quanto posso ricordare.
Intanto il fatto che il coefficiente di riflessione sia negativo è normale tutte le volte in cui l'impedenza di carico è minore dell'impedenza caratteristica, e ciò significa semplicemente che l'onda riflessa ha segno opposto rispetto all'onda incidente. In questo caso l'onda riflessa è 1/3 dell'onda incidente ma con segno cambiato. Poi c'è anche da considerare che quando l'onda riflessa arriva sul generatore subisce una ulteriore riflessione, e questa volta con rapporto +1/3. E così via. Alla chiusura dell'interruttore parte la prima onda incidente il cui valore è determinato dal rapporto di partitore che si forma tra l'impedenza caratteristica e l'impedenza del generatore. Questo rapporto di partitore nel caso presentato è 1/3.
Dunque vediamo cosa succede poi con uno schemino:
onda incidente: $V_1=+1/3V_0$
onda riflessa sul carico: $V_2=-1/3V_1=-1/9V_0$
onda riflessa sul generatore: $V_3=+1/3V_2=-1/27V_0$
onda riflessa sul carico: $V_4=-1/3V_3=+1/81V_0$
onda riflessa sul generatore: $V_5=1/3V_4=+1/243V_0$
...
A metà della linea all'inizio non succede niente, poi a 7,2 ns arriva la $V_1=0,333V_0=3,33 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_2$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2=0,222V_0=2,22 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_3$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3=0,185V_0=1,85 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_4$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3+V_4=0,197V_0=1,97 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_5$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3+V_4+V_5=0,202V_0=2,02 V$....
Appare dunque evidente che la tensione finale dopo un tempo infinito tende a 2 V, che è proprio la tensione che ci si aspetta in c.c. su un carico di 25 ohm alimentato da un generatore di 10 V con resisrtenza interna 100 ohm.
Se ho detto cavolate per favore qualcuno mi corregga!!!

Se accetti il rischio allora provo a dire cosa potrebbe succedere, da quanto posso ricordare.
Intanto il fatto che il coefficiente di riflessione sia negativo è normale tutte le volte in cui l'impedenza di carico è minore dell'impedenza caratteristica, e ciò significa semplicemente che l'onda riflessa ha segno opposto rispetto all'onda incidente. In questo caso l'onda riflessa è 1/3 dell'onda incidente ma con segno cambiato. Poi c'è anche da considerare che quando l'onda riflessa arriva sul generatore subisce una ulteriore riflessione, e questa volta con rapporto +1/3. E così via. Alla chiusura dell'interruttore parte la prima onda incidente il cui valore è determinato dal rapporto di partitore che si forma tra l'impedenza caratteristica e l'impedenza del generatore. Questo rapporto di partitore nel caso presentato è 1/3.
Dunque vediamo cosa succede poi con uno schemino:
onda incidente: $V_1=+1/3V_0$
onda riflessa sul carico: $V_2=-1/3V_1=-1/9V_0$
onda riflessa sul generatore: $V_3=+1/3V_2=-1/27V_0$
onda riflessa sul carico: $V_4=-1/3V_3=+1/81V_0$
onda riflessa sul generatore: $V_5=1/3V_4=+1/243V_0$
...
A metà della linea all'inizio non succede niente, poi a 7,2 ns arriva la $V_1=0,333V_0=3,33 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_2$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2=0,222V_0=2,22 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_3$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3=0,185V_0=1,85 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_4$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3+V_4=0,197V_0=1,97 V$, dopo altri 15 ns arriva la $V_5$, dunque la tensione totale nel punto di mezzo sarà $V_m=V_1+V_2+V_3+V_4+V_5=0,202V_0=2,02 V$....
Appare dunque evidente che la tensione finale dopo un tempo infinito tende a 2 V, che è proprio la tensione che ci si aspetta in c.c. su un carico di 25 ohm alimentato da un generatore di 10 V con resisrtenza interna 100 ohm.
Se ho detto cavolate per favore qualcuno mi corregga!!!


Allora, innanzitutto ti ringrazio per l'ottima risposta: mi ha fatto vedere che stavo facendo un grosso errore già dall'inizio, scordandomi completamente la resistenza del generatore e il conseguente errore nel calcolo della $V1$. Il tuo ragionamento mi ha convinto così tanto da lasciare perdere ora il comportamento temporale della tensione e passare ora all'altra faccia della stessa medaglia, ossia la corrente 
Dunque, il mio dubbio qui è : per la corrente si esegue lo stesso ragionamento?
Se fosse così, allora, la corrente che passa in $ L / 2 $ dopo 7,5 ns , sarebbe esattamente pari a $ (V1) / (Zo) $ ? e dopo 22,5 ns sarebbe allora $ (V1) / (Zo) + (V2) / (Zo) $ ?

Dunque, il mio dubbio qui è : per la corrente si esegue lo stesso ragionamento?
Se fosse così, allora, la corrente che passa in $ L / 2 $ dopo 7,5 ns , sarebbe esattamente pari a $ (V1) / (Zo) $ ? e dopo 22,5 ns sarebbe allora $ (V1) / (Zo) + (V2) / (Zo) $ ?
"Dani0lo":
Se fosse così, allora, la corrente che passa in $ L / 2 $ dopo 7,5 ns , sarebbe esattamente pari a $ (V1) / (Zo) $ ? e dopo 22,5 ns sarebbe allora $ (V1) / (Zo) + (V2) / (Zo) $ ?
Non proprio. I contributi delle onde di corrente sono sì l'onda di tensione divisa per l'impedenza caratteristica, però questo vale per le onde dal generatore verso il carico, mentre per le onde dal carico verso il generatore occorre cambiare il segno.
Così facendo la corrente finale, somma di tutti gli infiniti contributi, deve tendere a 80 mA (10 V/125 ohm). Se non lo fa c'è un errore.
Perfetto, ho fatto i calcoli e dopo 5 correnti calcolate, la somma è 79,8 mA !
Ti ringrazio ancora per l'aiuto. Sei stato molto gentile e chiaro
Ti ringrazio ancora per l'aiuto. Sei stato molto gentile e chiaro
