Esercizio leggi di Keplero
Salve a tutti, ho un piccolo problema che non riesco a capire..il procedimento credo sia giusto ma il risultato viene \(\displaystyle 1/4 \) di quello mostrato sul libro 
Ecco il testo :
Un sistema stellare è formato da una coppia di stelle che percorrono un'orbita circolare attorno al centro di massa, coincidente con il loro punto di mezzo in quanto le stelle hanno stessa massa $ M $. La velocità orbitale di ciascuna stella è di $ 220 (Km)/s $ ed il periodo rotazione è di $ 14,4 $ giorni. Si determini la massa di ciascuna stella.
(Per confronto, la massa del Sole è $ 1,99 \times 10^(30) Kg $)
Innanzitutto non capisco perchè mi dice quest'ultima cosa (in grassetto), in ogni caso ho pensato di svolgerlo così :
Ciò significa che lo spazio linearmente percorso per compiere un'intera orbita deve essere :
Allora applicando la terza legge di Keplero si ha:
Mentre il libro mi da $ 1,26 \times 10^32 $ che è esattamente $ 4 $ volte il mio risultato..
Ho sbagliato qualcosa? Ed in particolare a cosa mi dovrebbe servire il "Per confronto, la massa del Sole è..." ?
Grazie a tutti
Ecco il testo :Un sistema stellare è formato da una coppia di stelle che percorrono un'orbita circolare attorno al centro di massa, coincidente con il loro punto di mezzo in quanto le stelle hanno stessa massa $ M $. La velocità orbitale di ciascuna stella è di $ 220 (Km)/s $ ed il periodo rotazione è di $ 14,4 $ giorni. Si determini la massa di ciascuna stella.
(Per confronto, la massa del Sole è $ 1,99 \times 10^(30) Kg $)
Innanzitutto non capisco perchè mi dice quest'ultima cosa (in grassetto), in ogni caso ho pensato di svolgerlo così :
$ v = 220 (Km)/s = 2,2 \times 10^5 m/s $
$ T = 14,4 $ giorni $ = 14,4 \times 24 \times 60 \times 60 = 1,24 \times 10^6 s $
$ T = 14,4 $ giorni $ = 14,4 \times 24 \times 60 \times 60 = 1,24 \times 10^6 s $
Ciò significa che lo spazio linearmente percorso per compiere un'intera orbita deve essere :
$ s = vT = 2 \pi r \Rightarrow r = (vT)/(2\pi) $
Allora applicando la terza legge di Keplero si ha:
$ M = (4\pi^2)/(GT^2) r^3 = (2^2 \pi^2v^3T^3)/(GT^2 2^3 \pi^3) = (v^3T)/(2\pi G) = 0.315 \times 10^32 Kg $
Mentre il libro mi da $ 1,26 \times 10^32 $ che è esattamente $ 4 $ volte il mio risultato..
Ho sbagliato qualcosa? Ed in particolare a cosa mi dovrebbe servire il "Per confronto, la massa del Sole è..." ?
Grazie a tutti
Risposte
Se invece di Keplero, che non mi sembra adatto qui, usi la forza gravitazionale di Newton su una singola stella e la uguagli alla forza centripeta, trovi il risultato del libro ...
l'esercizio si trova nella categoria "Leggi di keplero e moto dei pianeti", per questo avevo applicato quella formula, in ogni caso non ho capito bene cosa dovrei fare
$ G (M_{ste} M_{sol})/ r^2) = M_{sol} (v^2)/r $
Poichè $ r = (vT)/(2 \pi) $ , sostituisco e ricavo $ M_{ste} $ ?
$ G (M_{ste} M_{sol})/ r^2) = M_{sol} (v^2)/r $
Poichè $ r = (vT)/(2 \pi) $ , sostituisco e ricavo $ M_{ste} $ ?
Perché la massa del Sole? Si tratta di un sistema binario di stelle identiche di massa $M$. La massa del Sole è data solo per curiosità ...
La mia perplessità stà nel fatto in questo:
La forza gravitazionale di una singola stella è $ F_{g} = G M/r^2 $
Mentre la forza centripeta che agisce durante la rotazione della stella attorno al centro di massa è :
$ F_{c} = M a = M v^2/r $
Se le eguaglio, ottengo :
$ G M/r^2 = M v^2/r $
E qui le masse non si elidono?
La forza gravitazionale di una singola stella è $ F_{g} = G M/r^2 $
Mentre la forza centripeta che agisce durante la rotazione della stella attorno al centro di massa è :
$ F_{c} = M a = M v^2/r $
Se le eguaglio, ottengo :
$ G M/r^2 = M v^2/r $
E qui le masse non si elidono?
Tra due masse generiche la forza gravitazionale è $F= G(M_1M_2)/(r^2)$
La forza centripeta è $F=Mv^2/r$
Occhio però che nella forza gravitazionale la $r$ è la distanza tra le stelle, cioè il diametro delle orbite, che è due volte il raggio usato nella forza centripeta. Probabilmente hai confuso i due raggi e ti viene un fattore 4 di troppo.
La forza centripeta è $F=Mv^2/r$
Occhio però che nella forza gravitazionale la $r$ è la distanza tra le stelle, cioè il diametro delle orbite, che è due volte il raggio usato nella forza centripeta. Probabilmente hai confuso i due raggi e ti viene un fattore 4 di troppo.
Ecco finalmente mi hai risolto il mistero! Praticamente era:
$ G (M^2)/((2r)^2) = M v^2/r \Rightarrow M = (4 v^2 r^2)/(r G) = (4 v^3 T)/ (2 \pi G) = 1,26 \times 10^32 Kg $
Grazie mille! Finalmente è chiaro!
$ G (M^2)/((2r)^2) = M v^2/r \Rightarrow M = (4 v^2 r^2)/(r G) = (4 v^3 T)/ (2 \pi G) = 1,26 \times 10^32 Kg $
Grazie mille! Finalmente è chiaro!
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