Esercizio Lavoro di Cariche all'Infinito
Ciao a tutti, l'esercizio è il seguente:
Risposta esatta: A [visualizzate l'immagine per intero, un pezzo a destra è nascosto.]
Qualcuno mi sa spiegare perchè la risposta è la particella A?
Grazie
Risposta esatta: A [visualizzate l'immagine per intero, un pezzo a destra è nascosto.]
Qualcuno mi sa spiegare perchè la risposta è la particella A?
Grazie
Risposte
Potresti provare a spiegartelo da solo andando a ricavare il campo risultante, dovuto alle due esterne, in un generico punto P:(0,x) della retta x=0; una delle possibili "strade" per l'infinito.
Non ho ben capito come dovrei procedere.
Devo calcolarmi inizialmente il campo risultante in un punto qualsiasi della retta x che passa per "a"?
Devo calcolarmi inizialmente il campo risultante in un punto qualsiasi della retta x che passa per "a"?
Up!
l'energia potenziale del sistema formato dalle 3 cariche vale
$k_0q^2/l-k_0q^2/l-k_0q^2/(2l)=-k_0q^2/(2l)$
che è lo stesso valore dell'energia potenziale del sistema formato solo dalle 2 cariche esterne
quindi,quando la carica di mezzo va all'infinito non viene compiuto lavoro
$k_0q^2/l-k_0q^2/l-k_0q^2/(2l)=-k_0q^2/(2l)$
che è lo stesso valore dell'energia potenziale del sistema formato solo dalle 2 cariche esterne
quindi,quando la carica di mezzo va all'infinito non viene compiuto lavoro
Allora, sò che il lavoro di particelle cariche è uguale all'energia potenziale elettrica.
$ Ep,e=V\cdot q=k (Q\cdot q/r)\cdot q $
Ognuna delle 3 cariche dell'esercizio genera una propria Ep,e; in cui la "Q" è proprio la carica stessa che genera l'energia potenziale elettrica, Giusto? Se si, quello che non capisco è nelle tre formule quale sia la carica di prova "q" che compare.
Dalle tue formule si può dedurre che in ognuna delle tre formule la carica di prova, è una delle altre 2 cariche; però non capisco il perchè e secondo quale criterio vengono scelte.
$ Ep,e=V\cdot q=k (Q\cdot q/r)\cdot q $
Ognuna delle 3 cariche dell'esercizio genera una propria Ep,e; in cui la "Q" è proprio la carica stessa che genera l'energia potenziale elettrica, Giusto? Se si, quello che non capisco è nelle tre formule quale sia la carica di prova "q" che compare.
Dalle tue formule si può dedurre che in ognuna delle tre formule la carica di prova, è una delle altre 2 cariche; però non capisco il perchè e secondo quale criterio vengono scelte.
Per costruire il sistema delle tre cariche tu parti con una sola carica $q_1$ in una posizione, che non richiede lavoro. Poi porti un'altra carica $q_2$ in posizione attraverso il potenziale della prima e quindi spendi il lavoro pari a $ U_e=q_2V_1 $ e infine porti $ q_3 $ in posizione attraverso il potenziale di $ q_1 $ e $ q_2 $ e spendi l'ulteriore lavoro $ U_e=q_3(V_1+V_2) $. I potenziali sono tutti calcolati nei punti dove vanno a finire le cariche. Se osservi che aggiungendo una carica al sistema il lavoro speso per costruire il sistema (e quindi l'energia potenziale che si trova immagazzinata in esso) non varia, significa che anche togliendola (ovvero portandola dalla sua posizione a distanza infinita) non spendi lavoro.
Il generico potenziale generato nel vuoto da una carica puntiforme è $ V=q/(4pi epsilon_0 r) $, per cui un'altra carica avrà energia potenziale pari a $ U_e=(Qq)/(4pi epsilon_0 r) $ in quanto per metterla in posizione devi spendere un lavoro visto che è presente un campo che esercita una forza. Comunque continuo a non capire da dove tiri fuori quelle formule assurde, guardare su un libro nel caso di dubbi, no?
Il generico potenziale generato nel vuoto da una carica puntiforme è $ V=q/(4pi epsilon_0 r) $, per cui un'altra carica avrà energia potenziale pari a $ U_e=(Qq)/(4pi epsilon_0 r) $ in quanto per metterla in posizione devi spendere un lavoro visto che è presente un campo che esercita una forza. Comunque continuo a non capire da dove tiri fuori quelle formule assurde, guardare su un libro nel caso di dubbi, no?
Ho visto solo ora di aver inserito due volte "q" nella formula, quella corretta è appunto $ Ep,e=V\cdot q=k (Q\cdotq/r) $.
Se ho ben capito procedi cosi:
- Scegli un punto tra le tre cariche
- Sai che in quel punto non si compie lavoro.
- La altre due cariche, per arrivare in quel punto, compiono lavoro.
Quindi in conclusione metti in riferimento il lavoro delle tre cariche rispetto ad un punto a scelta tra le tre, giusto?
Intanto vediamo se ho capito fin qui, il resto del procedimento ancora non mi è molto chiaro.
Se ho ben capito procedi cosi:
- Scegli un punto tra le tre cariche
- Sai che in quel punto non si compie lavoro.
- La altre due cariche, per arrivare in quel punto, compiono lavoro.
Quindi in conclusione metti in riferimento il lavoro delle tre cariche rispetto ad un punto a scelta tra le tre, giusto?
Intanto vediamo se ho capito fin qui, il resto del procedimento ancora non mi è molto chiaro.
Prima di tutto il lavoro non lo compiono le cariche ma le forze del campo, o le forze che tu imponi per far avvenire un certo spostamento, se questo non avviene naturalmente grazie alle forze del campo. Le cariche al limite lo subiscono, quando si spostano.
Essenzialmente immagina di avere le cariche infinitamente distanti tra di loro, in modo che le interazioni mutue tra le cariche siano nulle. A questo punto tiri fuori la prima carica e la posizioni portandola dall'infinito in una certa posizione. Poichè non c'è nessuno campo generato da altre cariche mentre fai questo procedimento, posizionare la carica non richiede lavoro. Puoi anche dire che una carica singolarmente non possiede energia potenziale nel campo di se stessa.
Inizi a compiere lavoro quando devi spostare la seconda carica dall'infinito a una posizione fissata vicina alla prima carica, infatti adesso sulla seconda carica agisce il campo della prima tramite una certa forza e spesa di lavoro. L'energia potenziale della seconda carica nel campo della prima è proprio questo lavoro. Per cui finora hai speso il lavoro $ W=k(q_1 q_2)/r_(12) $ che infatti è sia l'energia potenziale della prima carica nel campo della seconda, sia quella della seconda nel campo della prima. Infatti il processo di avvicinamento può avvenire nei due modi equivalenti, tenendo ferma una carica e spostando l'altra.
Quando avvicini la terza carica, devi sommare al lavoro speso finora, quello che devi fare per portare la terza carica vicino alle altre due, che adesso fai contro le forze del campo sia della prima che della seconda carica. $ W=k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
E così via, alla fine quindi il lavoro totale speso è pari all'energia potenziale del sistema da te costruito, che si può calcolare facendo questo ragionamento.
L'energia potenziale di una coppia di cariche puntiformi ha proprio questo significato. Il fatto che si dica che sia la carica $q_2 $a possederla nel campo di $q_1$ o viceversa è essenzialmente una convenzione, potresti darne metà a una e metà all'altra.
Essenzialmente immagina di avere le cariche infinitamente distanti tra di loro, in modo che le interazioni mutue tra le cariche siano nulle. A questo punto tiri fuori la prima carica e la posizioni portandola dall'infinito in una certa posizione. Poichè non c'è nessuno campo generato da altre cariche mentre fai questo procedimento, posizionare la carica non richiede lavoro. Puoi anche dire che una carica singolarmente non possiede energia potenziale nel campo di se stessa.
Inizi a compiere lavoro quando devi spostare la seconda carica dall'infinito a una posizione fissata vicina alla prima carica, infatti adesso sulla seconda carica agisce il campo della prima tramite una certa forza e spesa di lavoro. L'energia potenziale della seconda carica nel campo della prima è proprio questo lavoro. Per cui finora hai speso il lavoro $ W=k(q_1 q_2)/r_(12) $ che infatti è sia l'energia potenziale della prima carica nel campo della seconda, sia quella della seconda nel campo della prima. Infatti il processo di avvicinamento può avvenire nei due modi equivalenti, tenendo ferma una carica e spostando l'altra.
Quando avvicini la terza carica, devi sommare al lavoro speso finora, quello che devi fare per portare la terza carica vicino alle altre due, che adesso fai contro le forze del campo sia della prima che della seconda carica. $ W=k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
E così via, alla fine quindi il lavoro totale speso è pari all'energia potenziale del sistema da te costruito, che si può calcolare facendo questo ragionamento.
L'energia potenziale di una coppia di cariche puntiformi ha proprio questo significato. Il fatto che si dica che sia la carica $q_2 $a possederla nel campo di $q_1$ o viceversa è essenzialmente una convenzione, potresti darne metà a una e metà all'altra.
Ho capito tutto il ragionamento fin'ora, sei stato davvero molto chiaro.
In un sistema a tre cariche quindi, se ho ben capito, il lavoro totale speso è:
$ W=k(q_1 q_2)/r_(12) + k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
Inoltre quindi, possiamo spostare cariche a distanze infinite, ma l'unica distanza che conterà alla fine è quella che c'è tra di loro.
Ora però vorrei capire perchè se "sposto" la carica "a" all'infinito, non c'è differenza di lavoro.
Capisco se questo avviene lungo l'asse x che passa per "a", in quanto le distanze tra le altre due cariche rispetto ad "a" rimangono uguali anche spostando "a", e quindi non c'è una variazione del lavoro rispetto a prima.
Però genericamente se la sposto in un punto qualsiasi del piano che non sia sull'asse x, le distanze tra le due cariche ed "a" dovrebbero differire tra di loro.
Inoltre in tutto questo, il segno delle cariche non conta nulla?
In un sistema a tre cariche quindi, se ho ben capito, il lavoro totale speso è:
$ W=k(q_1 q_2)/r_(12) + k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
Inoltre quindi, possiamo spostare cariche a distanze infinite, ma l'unica distanza che conterà alla fine è quella che c'è tra di loro.
Ora però vorrei capire perchè se "sposto" la carica "a" all'infinito, non c'è differenza di lavoro.
Capisco se questo avviene lungo l'asse x che passa per "a", in quanto le distanze tra le altre due cariche rispetto ad "a" rimangono uguali anche spostando "a", e quindi non c'è una variazione del lavoro rispetto a prima.
Però genericamente se la sposto in un punto qualsiasi del piano che non sia sull'asse x, le distanze tra le due cariche ed "a" dovrebbero differire tra di loro.
Inoltre in tutto questo, il segno delle cariche non conta nulla?
E' una proprietà delle forze conservative e dei campi da esse ottenuti (come il campo elettrostatico di cui parliamo), il lavoro compiuto da tali forze quando spostano il proprio punto di applicazione (per esempio se agiscono su una particella che si sposta) non dipende dal percorso, ma solo dal punto iniziale e finale. Per cui se esiste un percorso a lavoro nullo che unisce due punti, anche tutti gli altri lo saranno. Non significa che la forza è nulla lungo tale percorso (da cui ovviamente discenderebbe che il lavoro è nullo), ma che ci saranno dei tratti in cui la forza è concorde allo spostamento e quindi il lavoro $ dW=F*ds $ è positivo, e dei tratti in cui essa sarà discorde e quindi il lavoro è negativo, complessivamente sull'intero percorso la forza in media è come se non ci fosse.
Dalle considerazione sul lavoro totale puoi dire ben poco sull'effettiva traiettoria di un sistema, ma semplicemente valutare una sorta di effetto medio.
il segno delle cariche certamente conta. Se hai una coppia di cariche positive, le forze dei loro campi tenderanno ad allontanarle sponstaneamente, questo significa che devi spendere lavoro per tenerle insieme, ovvero costruire il sistema. Infatti sai che il lavoro compiuto dalle forze del campo è $ W=-[U_(f)-U_(i)] $ per il processo da distanza $ r $ all'infinito $ W=-[U_(infty)-U_(r)]=U(r) $ avendo posto $ U(infty)=0 $ visto che anche campo e forza si annullano all'infinito. Come vedi l'energia posseduta dal sistema è pari al lavoro delle forze del campo quando questo viene distrutto, o equivalentemente il lavoro necessario a crearlo $W=U(r)$.
Ora $ U(r)=k (q_1 q_2) /r $ per cui questa è positiva se le cariche sono di segno opposto e quindi il lavoro per crearlo è positivo (bisogna cedere energia al sistema per crearlo, che si trasforma in energia potenziale che il sistema ora possiede), che è anche quello delle forze quando il sistema viene distrutto. Se le cariche sono di segno opposto, l'energia del sistema è negativa, è negativo il lavoro necessario per costruirlo, ovvero il sistema si costruisce spontaneamente, e il lavoro delle forze quando il sistema viene distrutto è negativo, ovvero esse agiscono contro la separazione delle cariche, cosa che si aspetta essendo le cariche di segni opposti.
Se hai più cariche in gioco, alla dei calcoli il tuo sistema avrà una certa energia potenziale, che sarà o positiva o negativa. Se positiva (negativa) seguendo la solita logica, significa che devi spendere lavoro pari a tale energia per costruire (separare) il sistema, equivalentemente le forze del campo facilitano (ostacolano) la distruzione del sistema.
A questo punto però devo chiederti se possiedi un manuale di fisica generale, e se sì, se l'hai mai sfogliato, perchè il 90% delle cose che chiedi sono spiegate esaustivamente nei manuali. Se no, me ne procurerei uno al più presto e inizieri a darci dentro. Senza offesa ovviamente ma ridurrebbe il tempo che passi a farti domande notevolmente.
Dalle considerazione sul lavoro totale puoi dire ben poco sull'effettiva traiettoria di un sistema, ma semplicemente valutare una sorta di effetto medio.
il segno delle cariche certamente conta. Se hai una coppia di cariche positive, le forze dei loro campi tenderanno ad allontanarle sponstaneamente, questo significa che devi spendere lavoro per tenerle insieme, ovvero costruire il sistema. Infatti sai che il lavoro compiuto dalle forze del campo è $ W=-[U_(f)-U_(i)] $ per il processo da distanza $ r $ all'infinito $ W=-[U_(infty)-U_(r)]=U(r) $ avendo posto $ U(infty)=0 $ visto che anche campo e forza si annullano all'infinito. Come vedi l'energia posseduta dal sistema è pari al lavoro delle forze del campo quando questo viene distrutto, o equivalentemente il lavoro necessario a crearlo $W=U(r)$.
Ora $ U(r)=k (q_1 q_2) /r $ per cui questa è positiva se le cariche sono di segno opposto e quindi il lavoro per crearlo è positivo (bisogna cedere energia al sistema per crearlo, che si trasforma in energia potenziale che il sistema ora possiede), che è anche quello delle forze quando il sistema viene distrutto. Se le cariche sono di segno opposto, l'energia del sistema è negativa, è negativo il lavoro necessario per costruirlo, ovvero il sistema si costruisce spontaneamente, e il lavoro delle forze quando il sistema viene distrutto è negativo, ovvero esse agiscono contro la separazione delle cariche, cosa che si aspetta essendo le cariche di segni opposti.
Se hai più cariche in gioco, alla dei calcoli il tuo sistema avrà una certa energia potenziale, che sarà o positiva o negativa. Se positiva (negativa) seguendo la solita logica, significa che devi spendere lavoro pari a tale energia per costruire (separare) il sistema, equivalentemente le forze del campo facilitano (ostacolano) la distruzione del sistema.
A questo punto però devo chiederti se possiedi un manuale di fisica generale, e se sì, se l'hai mai sfogliato, perchè il 90% delle cose che chiedi sono spiegate esaustivamente nei manuali. Se no, me ne procurerei uno al più presto e inizieri a darci dentro. Senza offesa ovviamente ma ridurrebbe il tempo che passi a farti domande notevolmente.
Ciao, sapevo che il lavoro non dipende dal percorso che si effettua, ma per la risoluzione dell'esercizio mi era passato di mente.
Quindi inizialmente abbiamo messo a sistema le tre cariche e ne abbiamo calcolato il lavoro totale speso:
$ W=k(q_1 q_2)/r_(12) + k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
Ci basta vedere nella situazione attuale in figura quale delle cariche produce un lavoro nullo.
Analogamente il risultato sarà lo stesso all'infinito, in quanto come detto il lavoro non varia in base al percorso.
Nel nostro caso abbiamo quindi:
- Un lavoro negativo che dipende da una distanza l, che è quello che produce la prima e la seconda carica.
- All'avvicinarsi della terza carica; si produce un lavoro uguale e opposto rispetto alla seconda carica; e quindi viene fuori che l'unico lavoro che conta è quello che produce la terza carica rispetto la prima (che dipende da una distanza di 2l).
Se proviamo a calcolare il lavoro del sistema escludendo una carica alla volta; vediamo che appunto solamente togliendo la carica di mezzo abbiamo lo stesso lavoro di prima, e quindi la carica di mezzo non spende lavoro.
Tutto corretto?
Comunque si, possiedo un testo di Fisica. Il problema è che molte cose le capisco solamente quando le ritrovo in un esercizio pratico. Sinceramente penso di aver imparato (e collegato) davvero molto da quando ho iniziato a postare esercizi qui. Se non è un problema per gli altri utenti preferirei continuare cosi, anche perchè tra una settimana ho l'esame ed esercizi simili a questi capiteranno quasi sicuramente.
Quindi inizialmente abbiamo messo a sistema le tre cariche e ne abbiamo calcolato il lavoro totale speso:
$ W=k(q_1 q_2)/r_(12) + k(q_3 q_1)/r_(31)+k(q_3 q_2)/r_(32) $
Ci basta vedere nella situazione attuale in figura quale delle cariche produce un lavoro nullo.
Analogamente il risultato sarà lo stesso all'infinito, in quanto come detto il lavoro non varia in base al percorso.
Nel nostro caso abbiamo quindi:
- Un lavoro negativo che dipende da una distanza l, che è quello che produce la prima e la seconda carica.
- All'avvicinarsi della terza carica; si produce un lavoro uguale e opposto rispetto alla seconda carica; e quindi viene fuori che l'unico lavoro che conta è quello che produce la terza carica rispetto la prima (che dipende da una distanza di 2l).
Se proviamo a calcolare il lavoro del sistema escludendo una carica alla volta; vediamo che appunto solamente togliendo la carica di mezzo abbiamo lo stesso lavoro di prima, e quindi la carica di mezzo non spende lavoro.
Tutto corretto?
Comunque si, possiedo un testo di Fisica. Il problema è che molte cose le capisco solamente quando le ritrovo in un esercizio pratico. Sinceramente penso di aver imparato (e collegato) davvero molto da quando ho iniziato a postare esercizi qui. Se non è un problema per gli altri utenti preferirei continuare cosi, anche perchè tra una settimana ho l'esame ed esercizi simili a questi capiteranno quasi sicuramente.
L'ho detto solo come consiglio, tutte le cose che ti ho spiegato infatti ci sono esattamente pari pari nei manuali, e a mio giudizio ti gioverebbe parecchio dare un paio di letture, anche solo per rivedere i concetti che hai già capito.
Il metodo infallibile per il tuo esercizio è questo.
$ 1) $ Se individui un percorso lungo cui puoi allontanare la carica in cui le forze del campo compiono lavoro nullo, sai che ciò vale per ogni percorso e hai trovato la carica che puoi allontanare senza spesa di lavoro.
$ 2) $ Altrimenti calcoli l'energia potenziale dell'intero sistema, poi inizi a togliere una carica singolarmente e ti ricalcoli l'energia potenziale del sistema (la rimetti e ripeti per le altre), se questa non varia hai di nuovo trovato la carica che cercavi.
$ 3) $ Se trovi un punto a potenziale nullo quando consideri il potenziale di un sottosistema di cariche (per esempio nell'esercizio quelle esterne), essendo l'energia potenziale di una carica pari al lavoro necessario a portarla in posizione $ V=0 ; W=U_e=qV=0 $ trovi che per portare lì la carica non spendi lavoro.
Il metodo infallibile per il tuo esercizio è questo.
$ 1) $ Se individui un percorso lungo cui puoi allontanare la carica in cui le forze del campo compiono lavoro nullo, sai che ciò vale per ogni percorso e hai trovato la carica che puoi allontanare senza spesa di lavoro.
$ 2) $ Altrimenti calcoli l'energia potenziale dell'intero sistema, poi inizi a togliere una carica singolarmente e ti ricalcoli l'energia potenziale del sistema (la rimetti e ripeti per le altre), se questa non varia hai di nuovo trovato la carica che cercavi.
$ 3) $ Se trovi un punto a potenziale nullo quando consideri il potenziale di un sottosistema di cariche (per esempio nell'esercizio quelle esterne), essendo l'energia potenziale di una carica pari al lavoro necessario a portarla in posizione $ V=0 ; W=U_e=qV=0 $ trovi che per portare lì la carica non spendi lavoro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo