Esercizio lagrangiana...forse sbaglio qualcosa!
Ho un esercizio sulle equazioni di Eulero-Lagrange e forse sbaglio qualche conto o scelgo le coordinate lagrangiane in modo errato... spero che qualcuno mi possa seguire e vedere se procedo nel modo giusto!
Il testo dell'esercizio dice:
sono sul piano xy e ho un'asta omogenea AB di massa m e lunghezza L, incernierata nel punto fisso O=A. L'altro estremo B dell'asta è legata attraverso una molla di costante elastica positiva e lunghezza a riposo nulla, al centro C di un disco omogeneo di massa m e raggio L che è vincolato a rotolare senza strisciare lungo la direzione orizzontale x. Tutti i vincoli sono lisci e devo trovare i punti di equilibrio e verificare quali sono i punti stabili (poi equazioni del moto e integrali primi, etc..)
Il mio problema è che mi trovo il potenziale del sistema (che è conservativo... c'è la forza d'attrito tra il disco e il piano, ma all'equilibrio la considero nulla) e quando mi voglio trovare i punti critici, quindi derivare il potenziale per le coordinate generalizzate, mi viene una cosa che in tutti gli esercizi che ho fatto fin'ora non mi è mai capitata. Vi spiego:
io scelgo come coordinate lagrangiane l'angolo che l'asta forma con l'asse x e la distanza che il punto di contatto tra il disco e l'asse ha dall'origine del sistema di riferimento O: ($x$,$\theta$).
$V=V_{gravit}+V_{elast}=mg\frac{L}{2}\sin \theta +0+\frac{1}{2}k |C-B|^2$
Fin qui credo che sia giusto, quando vado a calcolare le derivate parziali $ \frac{del V}{del x} $ e $\frac{del V}{del \theta}$ mi vengono in funzione entrambe di $x$ e di $\theta$ (cosa che non mi era mai capitato) (per trovare i punti di equilibrio devo porre le due derivate parziali uguali a zero ... )
Vi scrivo anche come mi calcolo questa distanza $|C-B|^2= (L \sin \theta-L)^2+(x-L\cos \theta)^2$.
Scusatemi se sono stato abbastanza lungo, ma volevo essere il più preciso possibile...spero che qualcuno sappia aiutarmi. Grazie in anticipo!
Il testo dell'esercizio dice:
sono sul piano xy e ho un'asta omogenea AB di massa m e lunghezza L, incernierata nel punto fisso O=A. L'altro estremo B dell'asta è legata attraverso una molla di costante elastica positiva e lunghezza a riposo nulla, al centro C di un disco omogeneo di massa m e raggio L che è vincolato a rotolare senza strisciare lungo la direzione orizzontale x. Tutti i vincoli sono lisci e devo trovare i punti di equilibrio e verificare quali sono i punti stabili (poi equazioni del moto e integrali primi, etc..)
Il mio problema è che mi trovo il potenziale del sistema (che è conservativo... c'è la forza d'attrito tra il disco e il piano, ma all'equilibrio la considero nulla) e quando mi voglio trovare i punti critici, quindi derivare il potenziale per le coordinate generalizzate, mi viene una cosa che in tutti gli esercizi che ho fatto fin'ora non mi è mai capitata. Vi spiego:
io scelgo come coordinate lagrangiane l'angolo che l'asta forma con l'asse x e la distanza che il punto di contatto tra il disco e l'asse ha dall'origine del sistema di riferimento O: ($x$,$\theta$).
$V=V_{gravit}+V_{elast}=mg\frac{L}{2}\sin \theta +0+\frac{1}{2}k |C-B|^2$
Fin qui credo che sia giusto, quando vado a calcolare le derivate parziali $ \frac{del V}{del x} $ e $\frac{del V}{del \theta}$ mi vengono in funzione entrambe di $x$ e di $\theta$ (cosa che non mi era mai capitato) (per trovare i punti di equilibrio devo porre le due derivate parziali uguali a zero ... )
Vi scrivo anche come mi calcolo questa distanza $|C-B|^2= (L \sin \theta-L)^2+(x-L\cos \theta)^2$.
Scusatemi se sono stato abbastanza lungo, ma volevo essere il più preciso possibile...spero che qualcuno sappia aiutarmi. Grazie in anticipo!
Risposte
Non devi allarmarti se le derivate di V dipendono da entrambe le variabili, devi semplicemente risolvere un sistema di equazioni accoppiate, anche se a volte può essere difficile. Ti posso consigliare un'altra scelta di coordinate lagrangiane, che semplifica un po' il sistema, anche se non disaccoppia le equazioni. Puoi scegliere come prima coordinata l'angolo [tex]\theta[/tex]formato dall'asta rispetto all'asse[tex]x[/tex], e come seconda coordinata l'angolo[tex]\psi[/tex]che determina lo spostamento del cerchio rispetto dalla posizione in cui la molla è a riposo. Per determinarlo consideri quest'ultima configurazione e tracci il raggio che congiunge il centro con l'asse delle[tex]x[/tex]. Poi consideri una configurazione con il disco spostato verso destra, e segui il punto che prima era tangente all'asse[tex]x[/tex]. Allora è facile vedere che il centro del cerchio si può esprimere come:
[tex]C=(x_{0}+R\psi, R)[/tex],
dove [tex]x_{0}[/tex] è l'ascissa del punto [tex]C[/tex] nella configurazione in cui la molla è a riposo.
Prova a calcolare il potenziale su queste coordinate e a farne le derivate.
[tex]C=(x_{0}+R\psi, R)[/tex],
dove [tex]x_{0}[/tex] è l'ascissa del punto [tex]C[/tex] nella configurazione in cui la molla è a riposo.
Prova a calcolare il potenziale su queste coordinate e a farne le derivate.
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