Esercizio gravitazione
"Quale deve essere la velocità di un corpo di massa m lanciato lungo la verticale verso la Luna, perchè si fermi nel punto in cui il campo gravitazionale dovuto alla Terra e quello dovuto alla Luna sono uguali in modulo e direzione, ma hanno verso opposto? Si usino i segenti dati:
- distanza media Terra - Luna, $d=3.84*10^8m$ (lungo la congiungente dei due nuclei)
- rapporto massa Luna massa Terra: $M_L/M_T=1.23*10^(-2)
- g nel punto di lancio: $g=9.82m/s^2
- raggio della Terra: $R_T=6.37*10^6m$"
soluzione:
per determinare la distanza a cui il campo gravitazionale sarà uguale, essedo che $H=^(def)F_0/m$, devo trovare quando $H_L/H_T=1=F_L/F_T$
chiamata x questa distanza dal centro della Terra ottengo che $F_L/F_T=((GM_Lm)/(d-x)^2)/((GM_Tm)/x^2)=1=>M_L/M_T=((d-x)/x)^2=>sqrt(M_L/M_T)=(d-x)/x=>x=d/((sqrt(M_L/M_T)+1)
ora per ricavare la velocità deve essere soddisfatta la seguente equazione:
$-U_(T_(R_T))+U_(L_d-R_T)+K_m=-U_(T_x)+U_(L_x)
scritto esplicitamente l'equzione diventa $-G(M_Tm)/(R_T)+G(M_Lm)/(d-R_T)+1/2mv^2=-G(M_Tm)/x+G(M_Lm)/(d-x)=>
$v=sqrt(2G((M_T(1/R_T-1/x))+(M_L(1/(d-x)-1/(d-R_T)))
dove la massa della Terra la ricavo imponendo che $gm=G(M_Tm)/R_T^2$ e la massa della luna $M_L=M_L/M_T*M_T$ in quanto il rapporto noto.
due domande:
- (ovviamente) è giusto?
- se volessi risolverlo con la massa ridotta come potrei fare? ho seri problemi a impostare il modello
nel senso: posso dire che $mu=(M_T+M_L)/(M_T*M_L)
ricavo x massa della terra e della luna come sopra e fisso la massa ridotta del sistema nel suo centro di massa che avrà una distanza y rispetto al centro della Terra, a questo punto la distanza da cui parte è $R_T-y$ e quella a cui arriva $x-y$ giusto? quindi l'equazione finale sarebbe $-G(mum)/(R_T-y)+1/2mv^2=-G(mum)/(x-y)=>v=sqrt(2G(mu(1/(R_T-y)-1/(x-y)))
è giusto? mi servirebbe una conferma che è molto importante, questo è l'unico problema che avevo nel compito di fisica su cui ho dubbi, visto che martedì ho l'orale, io nel compito l'ho risolto seguendo il primo modo, ma il prof come nota a fine comnpito ha accennato che si poteva usare la massa ridotta, quindi questa mattina stavo provando a risolverlo così... giusto?
- distanza media Terra - Luna, $d=3.84*10^8m$ (lungo la congiungente dei due nuclei)
- rapporto massa Luna massa Terra: $M_L/M_T=1.23*10^(-2)
- g nel punto di lancio: $g=9.82m/s^2
- raggio della Terra: $R_T=6.37*10^6m$"
soluzione:
per determinare la distanza a cui il campo gravitazionale sarà uguale, essedo che $H=^(def)F_0/m$, devo trovare quando $H_L/H_T=1=F_L/F_T$
chiamata x questa distanza dal centro della Terra ottengo che $F_L/F_T=((GM_Lm)/(d-x)^2)/((GM_Tm)/x^2)=1=>M_L/M_T=((d-x)/x)^2=>sqrt(M_L/M_T)=(d-x)/x=>x=d/((sqrt(M_L/M_T)+1)
ora per ricavare la velocità deve essere soddisfatta la seguente equazione:
$-U_(T_(R_T))+U_(L_d-R_T)+K_m=-U_(T_x)+U_(L_x)
scritto esplicitamente l'equzione diventa $-G(M_Tm)/(R_T)+G(M_Lm)/(d-R_T)+1/2mv^2=-G(M_Tm)/x+G(M_Lm)/(d-x)=>
$v=sqrt(2G((M_T(1/R_T-1/x))+(M_L(1/(d-x)-1/(d-R_T)))
dove la massa della Terra la ricavo imponendo che $gm=G(M_Tm)/R_T^2$ e la massa della luna $M_L=M_L/M_T*M_T$ in quanto il rapporto noto.
due domande:
- (ovviamente) è giusto?
- se volessi risolverlo con la massa ridotta come potrei fare? ho seri problemi a impostare il modello
nel senso: posso dire che $mu=(M_T+M_L)/(M_T*M_L)
ricavo x massa della terra e della luna come sopra e fisso la massa ridotta del sistema nel suo centro di massa che avrà una distanza y rispetto al centro della Terra, a questo punto la distanza da cui parte è $R_T-y$ e quella a cui arriva $x-y$ giusto? quindi l'equazione finale sarebbe $-G(mum)/(R_T-y)+1/2mv^2=-G(mum)/(x-y)=>v=sqrt(2G(mu(1/(R_T-y)-1/(x-y)))
è giusto? mi servirebbe una conferma che è molto importante, questo è l'unico problema che avevo nel compito di fisica su cui ho dubbi, visto che martedì ho l'orale, io nel compito l'ho risolto seguendo il primo modo, ma il prof come nota a fine comnpito ha accennato che si poteva usare la massa ridotta, quindi questa mattina stavo provando a risolverlo così... giusto?
Risposte
Forse sono solo un pò rincoglionita, ma non ho capito un passaggio (puramente matematico). Da
$sqrt[(M_L/M_T)]=(d-x)/x$
non dovresti ottenere
$x=d/[sqrt(M_L/M_T)+1]$
?
Ripeto, potrei essermi rincoglionita io...
$sqrt[(M_L/M_T)]=(d-x)/x$
non dovresti ottenere
$x=d/[sqrt(M_L/M_T)+1]$
?
Ripeto, potrei essermi rincoglionita io...
"elios":
Forse sono solo un pò rincoglionita, ma non ho capito un passaggio (puramente matematico). Da
$sqrt[(M_L/M_T)]=(d-x)/x$
non dovresti ottenere
$x=d/[sqrt(M_L/M_T)+1]$
?
Ripeto, potrei essermi rincoglionita io...
no no son io che ho i neuroni alle cozze, ora edito, grazie
per non far finire in seconda pagina edito a sproposito 
a nessuno prorpio interessa vedere con quanto partire per fermarsi in mezzo allo spazio nel nulla e morire li vero?
sinceramente lo comprendo
a nessuno prorpio interessa vedere con quanto partire per fermarsi in mezzo allo spazio nel nulla e morire li vero?
sinceramente lo comprendo
Io sono davvero intenzionata ad aiutarti perche mi interessa morire a metà strada fra Terra e Luna! 
Una cosa, siccome questi giorni sono un po' lenta, ti vorrei chiedere una cosa:
Come mai l'energia potenziale rispetto alla luna è preceduta dal segno +?
Una cosa, siccome questi giorni sono un po' lenta, ti vorrei chiedere una cosa:
"fu^2":
ora per ricavare la velocità deve essere soddisfatta la seguente equazione:
$-U_(T_(R_T))+U_(L_d-R_T)+K_m=-U_(T_x)+U_(L_x)
Come mai l'energia potenziale rispetto alla luna è preceduta dal segno +?
Capito, capito... Perché sono di segno opposto, giusto?
Per tutto il resto dei passaggi sono d'accordo.
Non ho capito cosa tu intenda con "massa ridotta"..
Non ho capito cosa tu intenda con "massa ridotta"..
"elios":
Capito, capito... Perché sono di segno opposto, giusto?
si esattamente
per massa ridotta intendo un modo di modellizzare il sistema come se la massa fosse una sola, essa vale $mu=(M_T*M_L)/(M_T+M_L)
grazie..
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