Esercizio Grafico Potenziale e Campo Elettrico
Salve a tutti, ho problemi con questo esercizio di elettrostatica.
Risposta esatta: C [visualizzate l'immagine per intero, un pezzo a destra è nascosto.]
Il mio ragionamento mi ha portato a rispondere erratamente A:
- Indico con rA e rB le distanze di a e b sull'asse x dall'origine.
- La formula per calcolare il campo elettrico è $ \vec E = k\cdot Q-: r^2 $
- Dalla formula sò che più grande è "r" e più è piccolo il campo elettrico
- Conclusione: Rispondo A perchè secondo il mio ragionamento il campo elettrico in A è piu grande di quello di B, visto che la distanza rA < rB.
La risposta corretta invece è come ho detto la C, qualcuno sa spiegarmi perchè?
Risposta esatta: C [visualizzate l'immagine per intero, un pezzo a destra è nascosto.]
Il mio ragionamento mi ha portato a rispondere erratamente A:
- Indico con rA e rB le distanze di a e b sull'asse x dall'origine.
- La formula per calcolare il campo elettrico è $ \vec E = k\cdot Q-: r^2 $
- Dalla formula sò che più grande è "r" e più è piccolo il campo elettrico
- Conclusione: Rispondo A perchè secondo il mio ragionamento il campo elettrico in A è piu grande di quello di B, visto che la distanza rA < rB.
La risposta corretta invece è come ho detto la C, qualcuno sa spiegarmi perchè?
Risposte
La relazione tra campo elettrostatico e potenziale è \( \overrightarrow{E} =-\nabla V= -\frac{\partial^{}V}{\partial x} \overrightarrow{i} \) nel tuo caso unidimensionale in coordinate cartesiane, il campo rappresenta l'opposto della derivata del potenziale che come puoi vedere dal grafico è diversa in quei due punti. In particolare il potenziale è crescente in $ a $ (quindi il campo è negativo, cioè opposto al versore dell'asse delle ascisse) e decrescente in $ b $ (quindi il campo è positivo).
In secondo luogo, il campo da te citato è il campo relativo a una carica puntiforme, diverse distribuzioni di carica generano campi e potenziali totalmente diversi nello spazio. Il potenziale in figura chiaramente non è quello di una carica puntiforme, che come sai è radiale, e dipende quindi in qualche modo da $ r=sqrt(x^2+y^2+z^2) $ ovvero anche dalle altre coordinate cartesiane.
In secondo luogo, il campo da te citato è il campo relativo a una carica puntiforme, diverse distribuzioni di carica generano campi e potenziali totalmente diversi nello spazio. Il potenziale in figura chiaramente non è quello di una carica puntiforme, che come sai è radiale, e dipende quindi in qualche modo da $ r=sqrt(x^2+y^2+z^2) $ ovvero anche dalle altre coordinate cartesiane.
Ciao, se ho capito bene il ragionamento che hai fatto è il seguente:
- Sai che $ vec(E) = - grad V $ (Teorema di Helmholtz, che non avevo fatto)
- Dal grafico ricavi che in A il potenziale è positivo perchè crescente, e in B il potenziale è negativo perchè decrescente.
- Ti ricavi che E(a) deve essere negativo (+*-) e E(b) deve essere positivo (-*-) e quindi sai che E(b)>E(a).
Se è giusto il ragionamento non ho capito una cosa.. dal grafico abbiamo come varia la ddp in base allo spostamento. Giusto?
Anche se da a, V tende a crescere, e in b a descrescere; nei punti specifici a e b la ddp mi sembra sia la stessa o sbaglio?
- Sai che $ vec(E) = - grad V $ (Teorema di Helmholtz, che non avevo fatto)
- Dal grafico ricavi che in A il potenziale è positivo perchè crescente, e in B il potenziale è negativo perchè decrescente.
- Ti ricavi che E(a) deve essere negativo (+*-) e E(b) deve essere positivo (-*-) e quindi sai che E(b)>E(a).
Se è giusto il ragionamento non ho capito una cosa.. dal grafico abbiamo come varia la ddp in base allo spostamento. Giusto?
Anche se da a, V tende a crescere, e in b a descrescere; nei punti specifici a e b la ddp mi sembra sia la stessa o sbaglio?
"Zed92":
Ciao, se ho capito bene il ragionamento che hai fatto è il seguente:
- Sai che $ vec(E) = - grad V $ (Teorema di Helmholtz, che non avevo fatto)
- Dal grafico ricavi che in A il potenziale è positivo perchè crescente, e in B il potenziale è negativo perchè decrescente.
- Ti ricavi che E(a) deve essere negativo (+*-) e E(b) deve essere positivo (-*-) e quindi sai che E(b)>E(a).
Se è giusto il ragionamento non ho capito una cosa.. dal grafico abbiamo come varia la ddp in base allo spostamento. Giusto?
Anche se da a, V tende a crescere, e in b a descrescere; nei punti specifici a e b la ddp mi sembra sia la stessa o sbaglio?
Dunque correggo quello che hai scritto. Tu hai il potenziale $ V $ in funzione di una cordinata $ x $.
In $ a $ il potenziale è nullo, ma è cresciente, quindi la sua derivata (pendenza) è positiva, essendo il campo elettrico meno la derivata del potenziale (visto che qui sei in una dimensione, altrimenti meno il gradiente) esso è sicuramente negativo (opposto al verso dell'asse $ x $).
Inoltre puoi vedere che la pendenza del potenziale (cioè il campo) tra $ a $ e $ b $ non fa altro che diminuire (sembra che passi da $ pi/4 $ a $ -pi/4 $ e quindi il campo non deve far altro che aumentare (derivata seconda o concavità verso il basso come puoi notare).
Ora chiaramente la differenza di potenziale, (che non è il potenziale, ovvero non ha senso dire la d.d.p in $ a $), $ V(a)-V(b)=0 $ e questo non significa che che quello che abbiamo detto è assurdo, ma che il campo cambia direzione (infatti ha componento lungo $ x $ prima negativa e poi positiva, aumentando da un valore negativo a uno positivo sempre più grande nella sua componente lungo l'asse) e quindi il lavoro (anche detta d.d.p.) per unità di carica se la spostiamo lungo un tale percorso è nullo. In particolare puoi vedere che il campo è nullo quando si inverte in mezzo tra $ a $ e $ b $.
In conclusione quindi il Campo Elettrico è la retta tangente alla curva (derivata) del Potenziale, ma di segno opposto in quanto è definito come $ vec(E) = - grad V $.
Giusto?
Giusto?
No. La derivata non è la retta tangente, è il coefficiente angolare di tale retta tangente (in una dimensione). Ti consiglio di ripassare un pò il calcolo differenziale in più variabili e queste cose poi ti sembreranno ovvie.
Il fatto che il potenziale sia nullo in un punto non significa niente, perchè il potenziale è definito a meno di una costante. Quello che ti interessa è la pendenza della retta tangente in un punto.
Il fatto che il potenziale sia nullo in un punto non significa niente, perchè il potenziale è definito a meno di una costante. Quello che ti interessa è la pendenza della retta tangente in un punto.
Okay, grazie mille 
Credo di averlo capito meglio adesso, grazie mille.
Praticamente io sò che $ vec(E) = - grad V $, nel caso unidimensionale (x) è $ vec(E) = - derivata V $
A questo punto trovo il valore del coefficiente angolare nei punti a e b: in a è sicuramente maggiore di 0, in b è sicuramente minore di 0. Si vede graficamente dalla retta tangente ai due punti.
Concludo quindi che:
- Per a: E = - (numero positivo), e quindi ho un numero negativo.
- Per b: E = - (numero negativo), e quindi ho un numero positivo.
E quindi il campo elettrico di a < b. Risposta C.
Adesso che ho capito, mi sembra davvero una banalità. Grazie per la sopportazione xD
Praticamente io sò che $ vec(E) = - grad V $, nel caso unidimensionale (x) è $ vec(E) = - derivata V $
A questo punto trovo il valore del coefficiente angolare nei punti a e b: in a è sicuramente maggiore di 0, in b è sicuramente minore di 0. Si vede graficamente dalla retta tangente ai due punti.
Concludo quindi che:
- Per a: E = - (numero positivo), e quindi ho un numero negativo.
- Per b: E = - (numero negativo), e quindi ho un numero positivo.
E quindi il campo elettrico di a < b. Risposta C.
Adesso che ho capito, mi sembra davvero una banalità. Grazie per la sopportazione xD
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