Esercizio fisica1
salve a tutti,
non riesco a risolvere il seguente esercizio di fisica 1.
si lasci cadere un oggetto di massa m, puntiforme, dal bordo superiore di una scodella di forma emisferica. sia μ il coefficiente di attrito dinamico, supposto sufficientemente piccolo da consentire alla massa m di arrivare sul fondo.
il problema chiede di calcolare la velocità della massa m all'istante in cui essa tocca il fondo della calotta.
ricavo la reazione normale N=mgsinθ+m(v^2)/R , dove R è il raggio della calotta e θ è la posizione angolare di m rispetto al centro di questa, con θ=0 nell'istante iniziale.
da qui ricavo l'accelerazione nella direzione del moto:
a=dv/dt=gcosθ-μgsinθ-μ(v^2)/R.
quali sono le soluzioni di questa equazione?
grazie in anticipo
non riesco a risolvere il seguente esercizio di fisica 1.
si lasci cadere un oggetto di massa m, puntiforme, dal bordo superiore di una scodella di forma emisferica. sia μ il coefficiente di attrito dinamico, supposto sufficientemente piccolo da consentire alla massa m di arrivare sul fondo.
il problema chiede di calcolare la velocità della massa m all'istante in cui essa tocca il fondo della calotta.
ricavo la reazione normale N=mgsinθ+m(v^2)/R , dove R è il raggio della calotta e θ è la posizione angolare di m rispetto al centro di questa, con θ=0 nell'istante iniziale.
da qui ricavo l'accelerazione nella direzione del moto:
a=dv/dt=gcosθ-μgsinθ-μ(v^2)/R.
quali sono le soluzioni di questa equazione?
grazie in anticipo
Risposte
penso che sia opportuno applicare il teorema dell'energia cinetica
il lavoro compiuto dalla forza peso è $mgR$
chiamiamo A il punto corrispondente al fondo della scodella,P il generico punto della traiettoria ed O il centro della semicirconferenza
detto $theta$ l'angolo formato da OP ed OA,la forza d'attrito in P vale $mumgcostheta$ ed il lavoro infinitesimo fatto da essa sul tratto $ds=Rd theta$ corrispondente a P vale $-mumgcosthetaRd theta$
la velocità cercata si ottiene risolvendo l'equazione
$ 1/2mv^2=mgR-int_(0)^(pi/2) mumgRcosthetad theta $
il lavoro compiuto dalla forza peso è $mgR$
chiamiamo A il punto corrispondente al fondo della scodella,P il generico punto della traiettoria ed O il centro della semicirconferenza
detto $theta$ l'angolo formato da OP ed OA,la forza d'attrito in P vale $mumgcostheta$ ed il lavoro infinitesimo fatto da essa sul tratto $ds=Rd theta$ corrispondente a P vale $-mumgcosthetaRd theta$
la velocità cercata si ottiene risolvendo l'equazione
$ 1/2mv^2=mgR-int_(0)^(pi/2) mumgRcosthetad theta $
innanzi tutto ti ringrazio per avermi risposto. 
venendo all'esercizio, il problema è che tu hai supposto che la forza di attrito valga -μN dove N è semplicemente uguale (in modulo) alla componente della forza peso nella direzione normale alla traiettoria circolare, cioè N=mgcosθ. però considerando che il moto è circolare si ha che la risultante delle forze in quella direzione è:
[size=150]N-mgcosθ=ma=m(v^2)/R[/size]
cioè è uguale alla forza centripeta sulla massa m. il valore di N lo ricavi da qui e quando fai l'integrale per calcolare direttamente il lavoro totale delle forze hai:
[size=150]1/2m(v^2)=mgR−μmR∫[gcosθ+(v^2)/R]dθ[/size]
che non riesco a calcolare perchè non ho la velocità in funzione dell'angolo.
la tua supposizione è valida finché la forza centripeta è trascurabile, cioè finchè la velocità della particella è piccola rispetto al raggio di curvatura R..
venendo all'esercizio, il problema è che tu hai supposto che la forza di attrito valga -μN dove N è semplicemente uguale (in modulo) alla componente della forza peso nella direzione normale alla traiettoria circolare, cioè N=mgcosθ. però considerando che il moto è circolare si ha che la risultante delle forze in quella direzione è:
[size=150]N-mgcosθ=ma=m(v^2)/R[/size]
cioè è uguale alla forza centripeta sulla massa m. il valore di N lo ricavi da qui e quando fai l'integrale per calcolare direttamente il lavoro totale delle forze hai:
[size=150]1/2m(v^2)=mgR−μmR∫[gcosθ+(v^2)/R]dθ[/size]
che non riesco a calcolare perchè non ho la velocità in funzione dell'angolo.
la tua supposizione è valida finché la forza centripeta è trascurabile, cioè finchè la velocità della particella è piccola rispetto al raggio di curvatura R..
la forza centripeta non compie lavoro perchè è costantemente perpendicolare alla tangente alla traiettoria
si infatti non c'è il lavoro della forza centripeta, c'è il lavoro della forza di attrito che però varia in funzione della forza centripeta..
"salom":
si infatti non c'è il lavoro della forza centripeta, c'è il lavoro della forza di attrito che però varia in funzione della forza centripeta..
per dir meglio,la forza di attrito(che è tangente alla traiettoria) varia al variare della forza premente
più alta è la velocità della particella maggiore è la forza centripeta necessaria a tenerla in traiettoria. Poichè è la reazione normale a generare fisicamente questa forza, all'aumentare della forza centripeta (cioè all'aumentare della velocità) aumenta anche la normale e quindi, contestualmente, la forza di attrito
e infatti la formula da me scritta dice che la forza di attrito vale $mumgcostheta$
francamente non riesco a capire quale sia il problema
abbiamo stabilito che il lavoro lo compie solo la forza peso e l'attrito,sappiamo quanto vale l'attrito punto per punto della traiettoria......
francamente non riesco a capire quale sia il problema
abbiamo stabilito che il lavoro lo compie solo la forza peso e l'attrito,sappiamo quanto vale l'attrito punto per punto della traiettoria......
la forza di attrito scritta da te non varia in funzione della velocità, ma solo in funzione dell'angolo θ, cioè è funzione solo della componente della forza peso che agisce normalmente sulla massa.. basta scrivere la risultante delle forze sull'asse perpendicolare alla traiettoria e uguagliarlo alla massa per la sua accelerazione lungo tale direzione.. se questa fosse nulla (cioè nel caso di un moto rettilineo uniforme in questa direzione) avresti per la normale la formula che dici tu, ma l'accelerazione non è nulla, è uguale all'accelerazione centripeta, (v^2)/R !
se ti ricavi la reazione normale vedi che devi tener conto della forza centripeta perchè il moto è circolare!
l'equazione del moto nella direzione perpendicolare al moto è:
[size=150]N-mgcosθ=ma=m(v^2)/R[/size]
da qui ti ricavi:
[size=150]N=mgcosθ+m(v^2)/R[/size]
quindi la forza di attrito F:
[size=150]F=μ[mgcosθ+m(v^2)/R][/size]
il lavoro della forza di attrito è:
[size=150]L=-∫μ[mgcosθ+m(v^2)/R]dx=-μm∫[gcosθ+(v^2)/R]=-μm[∫gcosθRdθ+1/R∫(v^2)dx][/size]
è l'ultimo termine [size=150]1/R∫(v^2)dx[/size] a dare problemi
l'equazione del moto nella direzione perpendicolare al moto è:
[size=150]N-mgcosθ=ma=m(v^2)/R[/size]
da qui ti ricavi:
[size=150]N=mgcosθ+m(v^2)/R[/size]
quindi la forza di attrito F:
[size=150]F=μ[mgcosθ+m(v^2)/R][/size]
il lavoro della forza di attrito è:
[size=150]L=-∫μ[mgcosθ+m(v^2)/R]dx=-μm∫[gcosθ+(v^2)/R]=-μm[∫gcosθRdθ+1/R∫(v^2)dx][/size]
è l'ultimo termine [size=150]1/R∫(v^2)dx[/size] a dare problemi
la formula che ho scritto dà il valore della forza premente
ed è quella che conta per il calcolo dell'attrito
l'equivoco è nato dal fatto che forza premente e reazione normale hanno lo stesso valore su un piano orizzontale
ed è quella che conta per il calcolo dell'attrito
l'equivoco è nato dal fatto che forza premente e reazione normale hanno lo stesso valore su un piano orizzontale
come puo la forza premente essere solo generata dalla componente della forza peso quando il moto è circolare come in questo caso? la forza centripeta genera un effetto [size=150]centrifugo[/size] nel riferimento accelerato della massa, quindi contribuisce a ''premerla'' contro il supporto sul quale si muove..
la forza premente è data dalla somma di queste forze, cioè:
[size=150]mgcosθ+m(v^2)/R[/size]
che è appunto uguale a N
la forza premente è data dalla somma di queste forze, cioè:
[size=150]mgcosθ+m(v^2)/R[/size]
che è appunto uguale a N
ok,va bene,per il 3° principio della dinamica la reazione normale è uguale alla forza premente
ma,a mio parere,se non si considera trascurabile il valore $mumv^2/R$ rispetto al valore $mumgcostheta$(magari considerando R molto grande),non se ne esce
sfido un qualsiasi docente di Analisi II a risolvere l'equazione differenziale, nell'incognita $theta(t)$,da te scritta
ma,a mio parere,se non si considera trascurabile il valore $mumv^2/R$ rispetto al valore $mumgcostheta$(magari considerando R molto grande),non se ne esce
sfido un qualsiasi docente di Analisi II a risolvere l'equazione differenziale, nell'incognita $theta(t)$,da te scritta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo