Esercizio Fisica Stazione Spaziale
Salve,
Sto riscontrando problemi nel risolvere il seguente problema fornito come esercizio nell'ambito dello studio della dinamica in sistemi di riferimento non inerziali:
"Sulla stazione spaziale internazionale (ISS) Samantha gioca a ping-pong spaziale ( in cui non c'è il tavolo perch ́e tanto la pallina non cade!) con il comandante Terry , che si trova a 20 mdi distanza da lei. Se Samantha colpisce la pallina in modo da imprimerle una velocit`a iniziale parallelaalla tangente dell’orbita dell’ISS, concorde con il verso di rotazione dell’orbita, di modulo pari a 10 m/s edesattamente diretta verso il centro della racchetta di Terry, di quanto deve spostare la racchetta Terry percolpire in pieno la pallina, e in che direzione? L’ISS completa un’orbita attorno alla Terra ogni 90 minuti."
Risultato:
Sono riuscito solo a concludere la seguente cosa:
Supponiamo di scegliere come sistema di riferimento non inerziale un sistema di riferimento $S'$ coerente con la stazione spaziale e centrato su Terry, e supponiamo di poter prendere il sistema di riferimento $S$ della terra come inerziale
Sia $ vec(F)' $ la forza che agisce sulla pallina osservata da $S'$ ; se $ vec(F) $ è la forza che agisce sulla pallina rispetto ad $S$, $ vec(F)_T$ la forza di trascinamento di $S'$ rispetto a $S$ e $ vec(F)_(co) $ la forza di Coriolis dovuta alla presenza contemporanea di rotazione e movimento dell'oggetto studiato, allora si ha la seguente relazione.
$ vec(F)' = vec(F) + vec(F)_T+vec(F)_(co) $
Nel nostro caso abbiamo:
> $ vec(F) $ sarà data dalla forza gravitazionale
> $ vec(F)_T $ sarà in modulo uguale ad $ F $ ma di verso opposto così da rendere nullo il peso efficace degli oggetti sulla stazione; infatti $ F_T = - m a_T $ e $ a_T $ nel nostro esempio è l'accelerazione a cui è soggetto $S'$, ovvero l'accelerazione radiale che lo tiene in orbita, data nel caso specifico da $g$.
> Ne consegue che $ vec(F)' = vec(F)_(co) = - m vec(a)_(co) = - 2m vec(w) ^^ vec(v)' $
Quindi dal punto di vista di $S'$ sulla pallina ci sarà una forza che la farà andare verso l'alto; quello che vorrei fare ora è trovarne la traiettoria rispetto a $S'$ centrato su Terry per poi stabilire a che altezza è la palla quando Terry viene raggiunto, ma non conosco il moto associato all'equazione differenziale $a' = 2 vec(w) ^^ vec(v)'$ non avendolo trattato a corso. Esiste una strada alternativa per semplificare il tutto e ottenere il risultato senza dover risolvere l'equazione differenziale associata al moto? O la sua risoluzione è piu' banale di quanto penso?
PS: mi scuso in anticipo per eventuali errori sui formalismi, ma non è da molto che studio questa materia.
Sto riscontrando problemi nel risolvere il seguente problema fornito come esercizio nell'ambito dello studio della dinamica in sistemi di riferimento non inerziali:
"Sulla stazione spaziale internazionale (ISS) Samantha gioca a ping-pong spaziale ( in cui non c'è il tavolo perch ́e tanto la pallina non cade!) con il comandante Terry , che si trova a 20 mdi distanza da lei. Se Samantha colpisce la pallina in modo da imprimerle una velocit`a iniziale parallelaalla tangente dell’orbita dell’ISS, concorde con il verso di rotazione dell’orbita, di modulo pari a 10 m/s edesattamente diretta verso il centro della racchetta di Terry, di quanto deve spostare la racchetta Terry percolpire in pieno la pallina, e in che direzione? L’ISS completa un’orbita attorno alla Terra ogni 90 minuti."
Risultato:
Sono riuscito solo a concludere la seguente cosa:
Supponiamo di scegliere come sistema di riferimento non inerziale un sistema di riferimento $S'$ coerente con la stazione spaziale e centrato su Terry, e supponiamo di poter prendere il sistema di riferimento $S$ della terra come inerziale
Sia $ vec(F)' $ la forza che agisce sulla pallina osservata da $S'$ ; se $ vec(F) $ è la forza che agisce sulla pallina rispetto ad $S$, $ vec(F)_T$ la forza di trascinamento di $S'$ rispetto a $S$ e $ vec(F)_(co) $ la forza di Coriolis dovuta alla presenza contemporanea di rotazione e movimento dell'oggetto studiato, allora si ha la seguente relazione.
$ vec(F)' = vec(F) + vec(F)_T+vec(F)_(co) $
Nel nostro caso abbiamo:
> $ vec(F) $ sarà data dalla forza gravitazionale
> $ vec(F)_T $ sarà in modulo uguale ad $ F $ ma di verso opposto così da rendere nullo il peso efficace degli oggetti sulla stazione; infatti $ F_T = - m a_T $ e $ a_T $ nel nostro esempio è l'accelerazione a cui è soggetto $S'$, ovvero l'accelerazione radiale che lo tiene in orbita, data nel caso specifico da $g$.
> Ne consegue che $ vec(F)' = vec(F)_(co) = - m vec(a)_(co) = - 2m vec(w) ^^ vec(v)' $
Quindi dal punto di vista di $S'$ sulla pallina ci sarà una forza che la farà andare verso l'alto; quello che vorrei fare ora è trovarne la traiettoria rispetto a $S'$ centrato su Terry per poi stabilire a che altezza è la palla quando Terry viene raggiunto, ma non conosco il moto associato all'equazione differenziale $a' = 2 vec(w) ^^ vec(v)'$ non avendolo trattato a corso. Esiste una strada alternativa per semplificare il tutto e ottenere il risultato senza dover risolvere l'equazione differenziale associata al moto? O la sua risoluzione è piu' banale di quanto penso?
PS: mi scuso in anticipo per eventuali errori sui formalismi, ma non è da molto che studio questa materia.
Risposte
Forse è possibile ragionare così:
Considerando la forza di Coriolis costante per il tratto interessato, possiamo facilmente ottenere un risultato approssimato nel seguente modo:
Dal punto di vista di $ S' $ dunque la $ a_(co) $ risulterà essere una accelerazione verso l'alto di modulo costante $2 wv' $ ottenuto dal fatto che $a_(co) = 2 w ^^ v $ e che $w$ e $v'$ sono perpendicolari tra loro.
Quindi il moto della pallina visto da $ S' $ può essere spezzato lungo due assi come la combinazione di un moto rettilineo uniforme orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato verticale.
Trovato quanto impiega la pallina a percorrere i 20 metri orizzontalmente, $ t = s / v = (20 (m) )/ (10 (m/s)) = 2 $ secondi, basterà stabilire quanto il moto verticale percorra in 2 secondi; il moto verticale sarà dato da $ y(t) = 1/2 a t^2 = (1/2)2wv' t^2 $ dato che è un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale 0 e posizione iniziale 0 rispetto alla direzione verticale.
Quindi sostituendo: $ y(2) = (1/2)2 ((2pi) / (90 * 60 s)) 10 (m/s) 4(s^2) = 0,0465 m $ ovvero all'incirca $ 4cm $.
Può essere corretto ragionare così?
Considerando la forza di Coriolis costante per il tratto interessato, possiamo facilmente ottenere un risultato approssimato nel seguente modo:
Dal punto di vista di $ S' $ dunque la $ a_(co) $ risulterà essere una accelerazione verso l'alto di modulo costante $2 wv' $ ottenuto dal fatto che $a_(co) = 2 w ^^ v $ e che $w$ e $v'$ sono perpendicolari tra loro.
Quindi il moto della pallina visto da $ S' $ può essere spezzato lungo due assi come la combinazione di un moto rettilineo uniforme orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato verticale.
Trovato quanto impiega la pallina a percorrere i 20 metri orizzontalmente, $ t = s / v = (20 (m) )/ (10 (m/s)) = 2 $ secondi, basterà stabilire quanto il moto verticale percorra in 2 secondi; il moto verticale sarà dato da $ y(t) = 1/2 a t^2 = (1/2)2wv' t^2 $ dato che è un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale 0 e posizione iniziale 0 rispetto alla direzione verticale.
Quindi sostituendo: $ y(2) = (1/2)2 ((2pi) / (90 * 60 s)) 10 (m/s) 4(s^2) = 0,0465 m $ ovvero all'incirca $ 4cm $.
Può essere corretto ragionare così?
Devi fare delle approssimazioni, ma tutte ragionevoli.
Puoi supporre che la pallina si sposti di molto poco rispetto all'orbita della ISS e che pertanto l'unica forza che agisce sulla pallina nel sistema della ISS sia la forza di Coriolis (forza centrifuga e di attrazione gravitazionale sono bilanciate in questo sistema di riferiemento).
Tale forza agisce in senso radiale a allontanare la pallina dal centro della Terra e il suo modulo sarà pari a $2*m*omega*v_r$.
Dato che la pallina si discosta di poco dall'orbita della ISS si può assumere pure che la direzione di tale forza sia, durante il moto della pallina, sempre costante in direzione, nel sistema della ISS. Per cui lo spostamento in quella direzione sarà pari a $1/2 *2*omega*v_r *t^2$ con $t$ tempo impiegato dalla pallina a percorrere i 20 m (quindi 2 secondi).
Facendo i conti si ottiene $4.6 cm$....
Un conto più preciso (ma non è richiesto infatti per quello ti manca un dato) si può fare mettendosi nel sistema di riferimento assoluto. In tale riferimento se conoscessi il raggio dell'orbita della ISS allora conosceresti la nuova orbita che percorre la pallina, conosceresti infatti la velocità della pallina al perigeo, saresti quindi in grado di calcolare l'orbita ellittica della pallina e confrontandola con quella della ISS troveresti il risultato.
EDIT: Ovviamente non avevo visto il precedente messaggio quando ho scritto questo mio.... non capisco come sia possibile. La mia risposta altrimenti poteva essere più breve....
Puoi supporre che la pallina si sposti di molto poco rispetto all'orbita della ISS e che pertanto l'unica forza che agisce sulla pallina nel sistema della ISS sia la forza di Coriolis (forza centrifuga e di attrazione gravitazionale sono bilanciate in questo sistema di riferiemento).
Tale forza agisce in senso radiale a allontanare la pallina dal centro della Terra e il suo modulo sarà pari a $2*m*omega*v_r$.
Dato che la pallina si discosta di poco dall'orbita della ISS si può assumere pure che la direzione di tale forza sia, durante il moto della pallina, sempre costante in direzione, nel sistema della ISS. Per cui lo spostamento in quella direzione sarà pari a $1/2 *2*omega*v_r *t^2$ con $t$ tempo impiegato dalla pallina a percorrere i 20 m (quindi 2 secondi).
Facendo i conti si ottiene $4.6 cm$....
Un conto più preciso (ma non è richiesto infatti per quello ti manca un dato) si può fare mettendosi nel sistema di riferimento assoluto. In tale riferimento se conoscessi il raggio dell'orbita della ISS allora conosceresti la nuova orbita che percorre la pallina, conosceresti infatti la velocità della pallina al perigeo, saresti quindi in grado di calcolare l'orbita ellittica della pallina e confrontandola con quella della ISS troveresti il risultato.
EDIT: Ovviamente non avevo visto il precedente messaggio quando ho scritto questo mio.... non capisco come sia possibile. La mia risposta altrimenti poteva essere più breve....
Ciao Faussone! Credo che tu non sia riuscito inizialmente a vedere la mia risposta perchè prima di essere pubblicata è rimasta nascosta in attesa che un moderatore la approvasse (penso perchè sono iscritto da poco al forum).
Grazie infinite comunque per la tua conferma sul risultato!
Grazie infinite comunque per la tua conferma sul risultato!
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